基于線性與力學特征分析對稱性結構內力★

程時宇，黃志強，李冬梅

(桂林理工大學土木與建筑工程學院,廣西 桂林 541004)

在超靜定問題求解方法中,力法是重要的方法之一,也是其他超靜定解法的基礎。在結構力學的基本知識點中,對稱性問題不但可以深化基本概念的理解,同時可分析結構的內力特征與變形特征。應用對稱性內力特征與變形特征可簡化結構體系,這為手算或定性分析超靜定結構體系帶來了極大的便利。同時,由于對稱性所形成的內力特征與變形特征蘊含豐富的數學知識與力學知識,深入討論其內在聯系,可開闊在其中的“小天地”。在眾多的教學教材描述中,對其中的內在描述未深入探究,教與學中也帶來了盲點。

1 對稱性結構在對稱荷載下內力特征

從楊茀康[1]編寫的教材可知,對稱結構在對稱荷載作用下,對稱軸軸線處內力特征可依據力法方程:

δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0；δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0；δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0。

其中,X1，X3均為對稱軸處正對稱的多余未知力；X2為正稱軸處反對稱的多余未知力。

若荷載也關于對稱軸對稱,則自由項:

即正對稱荷載作用下,力法的典型方程為:

δ11X1+δ13X3+Δ1P=0；

δ31X1+δ33X3+Δ3P=0。

由此得到正對稱荷載作用下,對稱軸處只存在正對稱的內力?；诰€性代數的理論,理解上述過程容易。然而反對稱荷載作用在對稱結構上,問題帶來了一定的不確定性。

在反對稱荷載作用下的彎矩圖是反對稱的。由圖乘法及自由項的定義可知：

因此典型方程可化簡為:

δ11X1+δ13X3=0;
δ22X2+Δ2P=0;
δ31X1+δ33X3=0。

很顯然,此時未知力X2已與其他方程解耦,只需要分析δ11X1+δ13X3=0,δ31X1+δ33X3=0即可。

但從數學角度上無非直接得出X1=X3=0的結論,教材上普遍對于此結論做了簡單說明,然而不經過嚴格證明無法使讀者理解該結論的正確性。

2 線性代數分析齊次線性方程組

結合線性代數[3]的理論知識可知:

δ11X1+δ13X3=0；

δ31X1+δ33X3=0。

屬于齊次線性方程組,齊次線性方程組有兩種解答,一是只有零解,二是有無窮多組解(包含零解);齊次線性方程組只有零解的條件是系數行列式不為零;齊次線性方程組有非零解的條件是系數行列式為零,實質上系數行列式為零,即方程組間系數對應成比例,這相當于方程組中方程的數目小于未知數的數目,因此它有無數組解[4]。

由柔度系數形成的過程可知:

顯然,若對一般的彎矩方程函數而言,上式絕對有機會為零,那么就不能得到X1=X3=0的結論。因此為了進一步研究分析,首先討論直桿,由于單位荷載作用下的內力圖均是直線,不妨假設:

所以：

顯然,若a=b=c=d時,該系數行列式是為零的,即使c=d=0時,亦滿足行列式為零,因此簡單滿足單位荷載下的彎矩圖,仍然無法得到X1=X3=0的結論,因此通過上述解析解答,還無法得到結論,僅憑數學推導仍然解決不了問題。

3 結合力學特征求證在反對稱荷載下內力特征

此時,對于反對稱荷載作用下,可得出:X1=X3=0。

為了驗證該結論的一般性,將對稱結構中的構件分成兩大類:一類與對稱軸垂直相交的構件;一類與對稱軸不相交(或斜交)的構件。如圖1所示的水平桿件為與對稱相交的構件,豎向構件為與對稱不相交的構件。

由前述,多余未知力取為對稱軸處的截面內力。而正對稱的內力為軸力X1與X3,產生彎矩圖時在兩類構件中是不一樣的。在與對稱軸相交的構件中,由于X1為該構件的軸力,不產生彎矩,而X3產生的彎矩無論在哪類構件中均表現出彎矩均布。因此可得出如下系數關系:

1)與對稱軸相交的構件:

此時圖乘的結果滿足:δ11δ33-δ31δ13=0。

2)與對稱軸不相交(或斜交)的構件:

顯然,若結構同時具有與上述兩類構件,則算式可寫成:

顯然,對于上式而言恒為負值,即不會發生正負相加為零的結果,于是滿足δ11δ33-δ31δ13≠0,因此可嚴謹得出X1=X3=0的結論。

然而,有些結構是只存在與對稱相交的構件，如圖2，圖3所示。

對于圖2,它的多余未知力如圖4所示。

由于X1不產生彎矩,因此,δ11=0,δ13=δ31=0。在反對稱荷載作用,典型方程簡化結果表達式:

δ11X1+δ13X3=0;

δ31X1+δ33X3=0。

可得到X3=0,即對稱軸處無彎矩內力的結論。然而X1軸力可為任意值,均可滿足上述數學表達式。但在實際力學狀態中,X1是由軸向拉壓變形而產生的內力分量,而兩端為固定端時,在小變形狀態下,軸向是無伸縮量的,因此可進一步由物理力學概念確定X1=0。

對于圖3所討論桿軸線為曲線的情況,顯然,該曲桿中,M1=1×(R-Rcosφ),M3=1。

δ11δ33-δ31δ13≠0。

因此對于曲桿而言,可由齊次方程組得到X1=X3=0的結論。

4 結語

由齊次方程組得到X1=X3=0的結論并非由于純數學解答,基于對稱結構在反對稱荷載作用下,受力有明顯特征,正是基于這種特征,使得內力圖具有特定性,也因此,此時系數行列式不等于零。所以,通過力學問題轉化為數學問題,再進一步結合力學特征才能完整解釋在對稱軸處不存在對稱性內力的問題。