基于自耦PID控制的四旋翼無人機姿態控制

楊 旭,曹立佳,劉 洋

(1.四川輕化工大學 自動化與信息工程學院，四川 宜賓 643000；2.人工智能四川省重點實驗室，四川 自貢 643000;3.四川輕化工大學 計算機科學與工程學院，四川 宜賓 643000)

1 引言

四旋翼飛行器作為無人機的一種，因其具有結構簡單、體積小、重量輕、成本低、易于維護等優點，使得其在軍事和民用領域都得到了廣泛的應用[1-5]。雖然經過多年的研究，設計出了許多較為復雜的控制算法[6-8]，且控制精度和速度都有很大的提升。目前國內比較普遍的飛行器控制算法主要包括：反步法、自適應控制、滑模控制、自抗擾控制等，但這些復雜的算法對于硬件的要求很高，所以四旋翼飛行器應用領域的主流控制方法仍是PID控制算法[9]。

文獻[10]中介紹了基于傳統PID算法設計的姿態控制系統，雖然能夠很好地實現飛行器的自穩定控制，但是只能夠在低動態狀態下保證良好的工作性能，長時間運行，陀螺儀的漂移現象比較嚴重。文獻[11]提出了一種不完全微分PID控制算法，在姿態控制環單級PID基礎上，通過對3個方向的角運動進行仿真驗證，仿真結果表明其具有相應速度快、魯棒性強和自適應能力高等優點。但未說明濾波系數大小對系統影響的規律，并且串級PID控制的響應速度、干擾能力等明顯優于單級PID。文獻[12]中設計了一種PI-PD控制方式，PI和PD 兩個控制器可以很好地在抑制系統超調量的同時克服PID控制器參數不易整定的缺點，但響應時間過長，魯棒性也有待提高。

本文基于牛頓-歐拉定律和四旋翼六自由度剛體運動模型[13-19]，建立一個四旋翼飛行器的簡化非線性數學模型。采用自耦PID控制方法設計姿態控制回路，并通過Matlab/Simulink仿真平臺，搭建相應的仿真模型來進行仿真測試和結果分析，最后，驗證了本文控制方法的有效性和良好的控制性能。

2 四旋翼空氣動力學模型

本文中所建立的四旋翼飛行器非線性數學模型，是采用空心杯電機作為驅動部件的微小型四旋翼飛行器。并且，使用文獻[19]第四章的模型數據，進行仿真實驗。

2.1 坐標系及變量的定義

要建立飛行器的動力學模型方程[14-15]，參考坐標系的確定是必要的。為此引入地面坐標系和載體坐標系2個參考坐標系。

地面坐標系E(oexeyeze)位于地面上，取原點為地面上某一點Oe；Oexe軸在水平方向內，并指向飛行航跡方向；Oeze軸為過原點Oe的地面法線，且指向地心(垂直地面向下)；Oeye亦在地平面內，并且垂直于Oexe軸，指向按右手定則確定。

載體坐標系B(Obxbybzb)與載體固連，為動坐標系。原點Ob取為飛行器的質心；Obxb軸在飛行器的對稱平面內指向機頭方向；Obzb軸在飛行器對稱平面內與Obxb軸垂直并指向飛行器下方；Obyb軸垂直于飛行器對稱平面并指向飛行器右方。

載體運動時，地面坐標系保持不變，載體坐標系隨著飛行器運動而不斷變化。地面坐標系與載體坐標系的關系如圖1所示。

圖1 地面坐標系和載體坐標系的關系示意圖

相關變量的定義：飛行器相對于地面坐標系的位置變量由(x,y,z)確定；飛行器相對于地面坐標系中的速度變量由(u,v,w)確定；飛行器相對于地面坐標系的姿態角由(φ,θ,ψ)確定；飛行器相對于載體坐標系的旋轉角速度由(p,q,r)確定。

地面坐標系E到載體坐標系B的轉換可以通過轉動偏航角ψ、俯仰角θ和滾轉角φ實現，其轉換矩陣Rbe[6,16]可表示為：

Rbe=[cosθcosψcosθsinψ-sinθ;

-cosφsinψ+sinφsinθcosψcosφcosψ+sinφsinθsinψsinφcosθ;

sinφsinψ+cosφsinθcosψ-sinφcosψ+cosφsinθsinψcosφcosθ]

(1)

2.2 數學模型

四旋翼飛行器的空間運動可以通過6個自由度來描述(3個平移速度和3個旋轉速度)[6,17]。在此基礎上，我們做出如下假設：飛行器為均勻對稱剛體；機體幾何中心和飛行器幾何中心重合；忽略阻力系數。根據牛頓第二定律，動能定理和動量定理，可得四旋翼飛行器的剛體運動模型和動力學模型如下：

(2)

(3)

式(2)～(3)中：m為四旋翼機體質量；g為重力加速度；(x,y,z)為在地面坐標系下四旋翼在空間中的位置；(φ,θ,ψ)為四旋翼飛行器的姿態角；Ui(i=1,2,3,4)為旋翼在機體上產生的總升力和三軸力矩；Ix、Iy、Iz為旋翼和電機分別繞x軸、y軸、z軸旋轉時的轉動慣量；l為飛行器機體質心與其旋翼旋轉軸二者之間的距離。

(4)

(5)

3 自耦PID控制算法

傳統PID控制原理是將誤差的過去(I)、現在(P)和將來(變化趨勢D)進行加權求和來形成控制信號。這不異于強行將比例、積分和微分3個同屬性的物理環節割離開來獨立對待，由此導致了比例、積分和微分3個環節在控制過程中相互獨立、各自為陣，因而缺乏協同控制的科學思想。

SC-PID控制器通過引入速度因子Zc，將比例、積分和微分3個不同屬性的物理環節緊密耦合在一起，形成協同控制。使得在控制過程中表現出功能各異而目標一致的協同控制機理，且具有重要物理意義和應用價值。

文獻[18]中給出的自適應速度因子模型如下:

Zc=α[1-0.9exp(-βt)]

(6)

傳統的PID控制律為：

u=(kpe1+kie0+kde2)/b0

(7)

式(7)中：kp>0、ki=kp/ki和kd=kpTd分別是PID的比例、積分和微分增益，Td和Ti分別是微分時間常數和積分時間常數；e1、e0和e2分別為跟蹤誤差、積分誤差和微分誤差；b0≠0為控制通道增益的估計值(不要求精確)。

根據文獻的設計思想，可得SC-PID控制器為：

(8)

將式(7)和式(8)進行比較可以得出SC-PID的整定規則為：

(9)

由上述SC-PID的增益整定規則，可得基于SC-PID的閉環控制系統模型如圖2所示。

圖2 SC-PID閉環控制系統模型框圖

在SC-PID控制器合理性分析環節，文獻[18]通過對SC-PID中不同環節的物理屬性進行類比定性分析，明確了不同屬性的環節通過速度因子進行量綱轉換后，都成為了力的屬性單元，并通過加權求和形成了控制器的合力，從而保證了該控制器設計的合理性。

將SC-PID控制器帶入誤差動態系統，分別從復頻域和時域進行分析，可以得出SC-PID控制器組成的閉環控制系統是全局漸近穩定的，而且SC-PID控制器具有良好的抗總和擾動魯棒性。詳細的分析過程可以參考文獻[18]。

由上述SC-PID的整定規則以及控制器的合理性穩定性分析，可以看出，SC-PID的控制方法與傳統PID在理論證明上是具有相似性的。同樣采用比例、積分和微分3個不同屬性的物理環節進行控制，只是將PID調節過程中的3個參數，通過其內在聯系減少為一個，但究其本質仍然是PID控制，具有和PID控制器等價甚至更好的控制效果。

4 飛行器姿態回路控制器的構建與仿真

4.1 姿態控制回路傳遞函數

為了方便對四旋翼飛行器姿態控制系統進行仿真，需要表示出姿態回路的傳遞函數。根據文獻[19]中所設計的四旋翼飛行器，通過實驗測定以及相關資料和特定參數的匯總，再結合模型函數，可以得到相關重要參數如表1所示。

表1 四旋翼飛行器重要參數

根據上述建立的四旋翼飛行器的非線性數學模型，再結合表1中給出的實驗數據以及一些相關環境參數，代入到飛行器的系數矩陣，參照系統傳遞函數求解公式，可得到飛行器的姿態控制律。詳細的求解過程可以參考文獻[19]。

由此可得出，四旋翼飛行器姿態控制回路偏航、滾轉、俯仰通道的傳遞函數分別為：

(10)

(11)

(12)

4.2 SC-PID控制器的設計

根據4.1節得出的四旋翼飛行器姿態控制回路偏航、滾轉、俯仰通道的傳遞函數，結合前面給出的自耦PID控制算法。從而可以得出基于自耦PID控制算法設計的四旋翼無人機姿態回路控制器，其控制器結構如圖3所示。

圖3 基于SC-PID控制器的姿態回路結構框圖

圖3中Gi(s)(i=θ,ψ,φ)代表俯仰、偏航和滾轉通道的傳遞函數。r表示各姿態通道的輸入值，在本次實驗中，定義r為階躍輸入：俯仰通道的輸入rθ=1；滾轉通道的輸入rφ=1.5；偏航通道rψ=2。y為各姿態回路經過SC-PID控制器計算后的實際姿態角，y經過反饋與期望姿態角r相計算，從而得出各姿態角的跟蹤誤差e1、積分誤差e0和微分誤差e2。

關于α1值范圍的確定，為了便于實際應用，對于快系統α1通常取10<α1<100；對于慢系統α1通常取1<α1<10。α1越大，系統的響應速度越快，抗擾動能力越強；否則反之。然而，在無人飛行器的姿態控制中α1不能過大，否則，因速度因子過大，在控制過程中很可能因為控制力過大而出現超調與振蕩現象，因此要求α1<10。

4.3 SC-PID控制器的仿真分析

在Matlab/Simulink仿真平臺中搭建姿態控制回路的仿真模型，再分別調節出了各個通道最優的速度因子Zc對應的α值，最終得到相應的階躍響應曲線。然后將各個通道的傳遞函數與SC-PID增益整定規則相結合，根據4.2節中介紹的控制器設計方案，得到各個通道的Simulink仿真模型和實驗仿真結果。在仿真的調節中，主要是對于速度因子Zc中的α的調節整定。由于前面SC-PID部分已經給出了β值的確定方法，β=1/Tt(Tt是由動態過渡到穩態的過渡過程時間)，因此β的值在后續的調節中是固定值，不做任何調整。本次調節中因為各個姿態通道的傳遞函數不同，為了體現出系統耦合時的控制情況，各姿態回路采取不同的期望輸入。同時所對應的最優α值也會有所不同，具體各個姿態通道α的對應值為：αψ=5.6、αφ=2.9、αθ=3.0。具體姿態控制回路的Simulink仿真模型和調節完善后的仿真結果分別如圖4和圖5所示。

圖4 姿態控制回路仿真模型框圖

圖5 姿態控制回路仿真曲線

由圖5可以看出，3個通道的控制系統約在2.0 s內便可以調節到穩定狀態。在超調量方面通過圖4可以觀察到各個姿態通道仿真波形的超調量，均控制在20%左右。這表明，該控制方法能很好地降低系統的超調量，使系統的運行更加的穩定。對比于文獻[20]中所給出的傳統PID設計控制器，SC-PID控制器能夠很好地降低超調量，并且使后續的穩態誤差穩定接近于零。

為了解速度因子對于各個姿態通道的調節作用，選取俯仰通道為例，分別取用不同的α值進行仿真實驗。α=2.5，用圓點線表示；α=3.5，用虛線表示；將α=3.0加入其中并用雙點劃線表示。仿真結果如圖6所示。

圖6 仿真結果曲線

根據圖5和圖6可知，系統在α=3.0時超調為8%，α=2.5時超調為6%，α=3.5時超調為19%，存在穩態誤差范圍內的震蕩；系統到達穩態的時間分別為2.5 s、5 s、3.5 s；到達穩態后，穩態誤差均維持在0.005%左右。可見在0<α1<100內，系統的超調量與α呈正相關，系統到達穩態的時間與α呈負相關，并且會隨著α的變化而快速變化。經過上述對比可得，自適應速度因子Zc在調節系統時β是根據Tt確定下來的定常數，α起到主要調節作用，且α過高會增加超調量、α過低會增加系統到達穩態的時間。

為驗證本文提出的SC-PID控制方法對非線性系統模型控制性能的影響。根據上文建立的四旋翼飛行器非線性數學模型以及姿態回路傳遞函數，融合SC-PID控制算法，對四旋翼飛行器非線性系統模型進行仿真試驗。以系統中的偏航角控制為例，通過采用不同的速度因子α 值進行對比仿真試驗，試驗結果如圖6所示。

根據圖7可以看出當α=2時超調為30%，系統穩定時間為0.7 s;α=1 時超調為10%，系統穩定時間為0.8 s;α=0.5時超調為2%，系統穩定時間為1.5 s。根據試驗結果可以看出，SC-PID控制器能實現非線性系統的有效控制，并且響應速度快，超調低，速度因子α對非線性系統的控制效果和線性系統的控制效果一致。同時，結合線性姿態控制回路的仿真實驗結果，驗證了SC-PID控制器對于線性模型和非線性模型等各種數學模型的被控對象的控制都是有效的。并且，本文的SC-PID控制方法將比例、積分和微分環節耦合在一起，使得控制結構更為簡單，整定更加方便快捷。

圖7 偏航角仿真曲線

5 結論

本文以四旋翼飛行器的姿態控制回路為實驗對象，采用SC-PID控制器設計了整個四旋翼飛行器的姿態控制系統。通過對四旋翼飛行器的數學模型的建立、解耦和忽略次要影響因素，得到了3個姿態通道的傳遞函數，再結合SC-PID控制器在Matlab/Simulink仿真平臺上搭建了各個姿態通道的仿真模型并進行仿真實驗和結果分析。為了驗證SC-PID對不同數學模型的被控對象的控制效果，設計了相應的非線性系統模型進行仿真實驗分析。本文采用的SC-PID控制器可以很好地滿足四旋翼飛行器對于姿態角控制和非線性系統控制的需求，而且有很好的穩定性。另外，對比于傳統PID算法，SC-PID控制算法需要設計的控制參數少，也能夠很好地降低超調量和穩定誤差，進一步保障四旋翼飛行器飛行過程中的穩定性。