平面圓形螺線圈電感參數(shù)計(jì)算

曹 娟，張婉青，徐年富，胡德福

(1.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210023；2.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094；3 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十八研究所，江蘇 無(wú)錫 214000)

1 引言

引信作為武器系統(tǒng)的終端控制系統(tǒng)，在信息化作戰(zhàn)中不再是一個(gè)孤立單元，通過(guò)信息交聯(lián)技術(shù)，也稱引信裝定技術(shù)，與武器平臺(tái)間進(jìn)行信息、能量等的交互，以便獲取目標(biāo)信息、戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境信息、引信作用方式等參數(shù)，提高彈藥對(duì)目標(biāo)的打擊精度和毀傷效能[1-2]。基于電磁感應(yīng)和磁共振耦合原理的無(wú)線裝定技術(shù)，因裝定過(guò)程不需要裝定器與引信間發(fā)生直接物理接觸，操作靈活方便、反應(yīng)迅速，在國(guó)內(nèi)外得到廣泛應(yīng)用[3-5]。采用銅導(dǎo)線纏繞成各種結(jié)構(gòu)的線圈，作為裝定器和引信裝定接收電路間能量發(fā)送和接收的電磁耦合結(jié)構(gòu)，其中平面線圈是廣泛采用的一種。線圈自感及互感是裝定系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)的關(guān)鍵參數(shù)，決定了裝定系統(tǒng)性能，準(zhǔn)確且高效計(jì)算線圈參數(shù)值對(duì)系統(tǒng)性能優(yōu)化提高至關(guān)重要，具有重要的工程實(shí)用價(jià)值。

如何計(jì)算線圈自感和互感，是一個(gè)早已存在并被學(xué)者持續(xù)關(guān)注和研究的問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]給出了較為全面的各種不同結(jié)構(gòu)下線圈自感和互感計(jì)算模型，一般需要查找特定表格或曲線，利用插值近似，以確定一些待定參數(shù)，然后代入近似公式繼續(xù)計(jì)算，計(jì)算精度不高且限制了使用的方便性。文獻(xiàn)[7]通過(guò)引入Bessel及Struve函數(shù)，推導(dǎo)出矩形截面的圓柱線圈自感及兩平行軸圓柱線圈間互感，但存在計(jì)算效率低的問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]針對(duì)該問(wèn)題，提出以變形Bessel函數(shù)和變形Struve函數(shù)表示的平行軸圓柱線圈互感的新表達(dá)式，雖簡(jiǎn)化了處理過(guò)程，但又涉及眾多的特殊函數(shù)，如：n階第一類、第二類Bessel和變形Bessel函數(shù)以及Appell和Gauss超幾何函數(shù)等，公式復(fù)雜繁瑣。文獻(xiàn)[9]在推導(dǎo)圓柱線圈電感參數(shù)時(shí)，表達(dá)式中含第一類和第二類橢圓積分、lambda函數(shù)及高斯數(shù)值積分項(xiàng)，同樣存在公式復(fù)雜的問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]利用阿基米德螺旋計(jì)算單層和多層線圈自感，利用恒流導(dǎo)線諾依曼積分的泰勒展開，表達(dá)正對(duì)或偏離條件下的兩線間互感。文獻(xiàn)[11]針對(duì)片上平面螺旋線圈，基于電流片近似、數(shù)據(jù)擬合的方法，給出了包括正方形、圓形等在內(nèi)的4種平面螺旋線圈的3種簡(jiǎn)單自感計(jì)算公式。總體來(lái)說(shuō)，目前關(guān)于圓形螺線圈電感參數(shù)計(jì)算方法的研究文獻(xiàn)較多，平面螺線圈電感計(jì)算方法相關(guān)研究相對(duì)薄弱。

根據(jù)圓形平面線圈中各匝導(dǎo)線之間是否緊密纏繞，可分為緊密纏繞型和非緊密纏繞型[12-13]。本文針對(duì)該2種結(jié)構(gòu)，分別建立自感和互感計(jì)算模型，推導(dǎo)出電感參數(shù)計(jì)算解析式，提供一種準(zhǔn)確高效的平面螺線圈電感參數(shù)理論計(jì)算方法。

2 平面圓形螺線圈幾何模型

本文所研究的2種平面圓形螺線圈結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中圖1(a)中各匝緊密纏繞成平面螺旋狀，導(dǎo)線直徑d，線圈最大直徑r1，匝數(shù)為N1，理論計(jì)算時(shí)，為降低數(shù)學(xué)分析難度，可近似等效為N1個(gè)半徑不同且各匝緊靠的同心圓形線圈。圖1(b)中各匝導(dǎo)線間具有一定間隙a，理論計(jì)算時(shí)，等效為N1個(gè)半徑不同且各匝間具有一定間隙的同心圓形線圈。

3 自感計(jì)算模型

針對(duì)圖1(a)緊密纏繞的平面線圈自感，可看成是其內(nèi)部每單匝圓形線圈的自感以及內(nèi)部任意兩匝線圈之間的互感之和。記N1匝線圈中由外向內(nèi)的第i匝線圈的自感為L(zhǎng)i，由經(jīng)驗(yàn)公式如下[14]：

(1)

N1匝平面線圈中由外向內(nèi)的第i匝和第j匝線圈之間的互感記為Mij，第i匝和第j匝線圈視為同心圓環(huán)結(jié)構(gòu)，半徑分別記作ri與rj，且ri=r1-(i-1)·d，rj=r1-(j-1)·d，其中i、j為小于等于N1的正整數(shù)。兩圓環(huán)上分別有電流元矢量dIili、dIjlj，由于線圈間互感與線圈中的電流大小無(wú)關(guān)，因此可忽略電流的影響，將內(nèi)外圈圓環(huán)中的電流矢量元簡(jiǎn)化成矢量元dli、dlj；矢量元和圓心的連線與x軸的夾角分別為α、β；矢量元所對(duì)應(yīng)的圓弧夾角分別為dα、dβ；兩矢量元之間的距離記作D。幾何關(guān)系如圖2所示。

圖2 平面同心圓環(huán)載流線圈間互感模型示意圖

由圖2可知：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

緊密纏繞平面線圈的自感可進(jìn)一步表示為

(7)

對(duì)于圖1(b)非緊密纏繞的平面線圈自感計(jì)算方法與上述推導(dǎo)過(guò)程相同，只是因線圈各匝間隙a的存在，由外向內(nèi)的第i匝和第j匝線圈半徑需分別修改為ri=r1-(i-1)(a+d)，rj=r1-(j-1)(a+d)，則非緊密纏繞平面線圈的自感仍可由式(7)表示。

4 互感計(jì)算模型

兩同軸放置緊密纏繞平面螺線圈結(jié)構(gòu)如圖3(a)所示，首先求解線圈1中由外向內(nèi)第m匝與線圈2中由外向內(nèi)第n匝，兩單匝線圈間的互感，半徑分別記作rm、rn。分別以兩線圈中心為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系Omxyz與Onx′y′z′，如圖3(b)所示。

圖3 兩同軸平面螺線圈結(jié)構(gòu)互感計(jì)算幾何模型示意圖

兩單匝線圈的半徑可分別表示為

rm=r1-(m-1)d1

(8)

rn=r1-(n-1)d2

(9)

兩矢量元dlm、dln間的距離S可表示為

(10)

根據(jù)諾依曼公式可知，兩同軸單匝圓形線圈間互感Mmn可表示為：

(11)

兩緊密纏繞的同軸平面線圈間互感M12，可看作兩線圈內(nèi)部各單匝線圈之間互感之和，因此：

(12)

當(dāng)兩線圈軸線平行但非同軸時(shí)，其幾何模型如圖4所示，其中兩軸線間垂直距離記作p。

圖4 軸線平行的兩平面線圈幾何模型示意圖

則式(10)重新表示成如下形式：

(13)

對(duì)于非緊密纏繞的同軸平面線圈，同樣可用式(12)表示，只是因?yàn)榫€圈間存在間隙，式(8)、式(9)需重新表示如下：

rm=r1-(m-1)·(d1+a1)

(14)

rn=r2-(n-1)·(d2+a2)

(15)

式中a1、a2分別為線圈1和線圈2中相鄰兩匝之間的間隙。當(dāng)兩線圈共軸時(shí)，Smn用式(10)表示。當(dāng)兩線圈軸線平行但非共軸時(shí)，Smn用式(13)表示。

因此，平面線圈間互感，不論線圈為緊密纏繞還是非緊密纏繞，兩線圈軸線共軸還是非共軸，最終互感計(jì)算公式均可表示為式(12)的形式，只是根據(jù)具體線圈結(jié)構(gòu)，代入相應(yīng)的rm、rn、Smn表達(dá)式即可。

5 實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證文中模型準(zhǔn)確性，設(shè)計(jì)了不同線圈參數(shù)的自感和互感測(cè)試實(shí)驗(yàn)。采用尼龍塑料制作線圈骨架，將直徑0.69 mm的銅漆包導(dǎo)線各匝密繞成平面線圈。非緊密纏繞平面線圈自感實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，為排除手工纏繞引入的誤差，利用Altium Designer 設(shè)計(jì)非緊密纏繞螺線圈，線寬0.5 mm，相鄰兩匝間隙0.5 mm，制作成PCB板，然后進(jìn)行模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證。制作完成的待測(cè)平面螺線圈如圖5所示。

圖5 線圈實(shí)物圖

利用HIOKI 3532-50 LCR測(cè)試儀進(jìn)行電感值測(cè)試，測(cè)試頻率1 MHz。理論自感值與測(cè)試值見表1，算例中，理論值與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差最大值為-3.23%。

表1 自感模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證數(shù)據(jù)表

互感值測(cè)試實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示。兩線圈固定在測(cè)試架上，軸線平行且位于同一水平面，固定線圈的兩支架可分別沿所在軌道平移，以測(cè)試兩線圈不同軸向和徑向距離下的互感值。兩軸線平行的緊密纏繞的平面線圈互感模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證時(shí)，導(dǎo)線直徑0.69 mm，線圈直徑均為50 mm，其中一端線圈匝數(shù)為5匝，另一端分為5匝和7匝2種情況。非緊密纏繞的平面螺線圈互感模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證時(shí)，與自感測(cè)試所用線圈制作方法相同，采用PCB平面螺線圈代替手工纏繞，線寬0.5 mm，相鄰兩匝間隙0.5 mm，其余參數(shù)與緊密纏繞平面螺線圈實(shí)驗(yàn)參數(shù)相同。

圖6 互感值測(cè)試實(shí)驗(yàn)裝置圖

互感理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)如表2所示，算例中，理論值與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差最大值為3.94%。

表2 互感模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證數(shù)據(jù)

由表1和表2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知：理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)試間雖有一定誤差，但兩者較為吻合，模型計(jì)算精度較高，證明了本文理論模型的正確性。誤差產(chǎn)生原因主要來(lái)自兩方面，一是來(lái)自計(jì)算模型自身誤差，理論建模時(shí)為降低數(shù)學(xué)計(jì)算難度，進(jìn)行了必要的近似，將螺旋纏繞線圈近似成了相同匝數(shù)的同心圓形線圈。另一方面來(lái)自實(shí)驗(yàn)線圈制作誤差，手工緊密纏繞的平面螺線圈存在纏繞誤差，而采用Altium Designer軟件設(shè)計(jì)制作的非緊密纏繞PCB平面螺線圈的導(dǎo)線橫截面實(shí)際為矩形。

6 結(jié)論

將螺旋纏繞的平面螺線圈近似為相同匝數(shù)的同心圓形線圈，推導(dǎo)出自感計(jì)算解析表達(dá)式及軸線共軸和平行但非共軸的兩平面螺線圈間互感計(jì)算解析表達(dá)式，驗(yàn)證了模型的正確性，算例中，自感和互感的理論值與實(shí)驗(yàn)值最大相對(duì)誤差為-3.23%和3.94%，理論模型在不含復(fù)雜函數(shù)的前提下，計(jì)算準(zhǔn)確度較高。文中所建平面線圈的自感和互感計(jì)算模型，可為引信無(wú)線裝定及其他相關(guān)領(lǐng)域提供參考。