對(duì)兩個(gè)“圖解法求解平衡問(wèn)題”典例的解法商榷

戎 杰 葉晟波 葉 春

(浙江省慈溪中學(xué) 浙江 寧波 315300)

求解平衡問(wèn)題的方法有很多，如正交分解法、函數(shù)求解法、圖解法、正弦定理法、力矩平衡法、虛功原理法等.其中，圖解法是一種簡(jiǎn)單、直觀、易于掌握的方法，因其拋卻繁瑣復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，為提高解題速度提供便捷，師生在解題中使用頻率普遍較高.但任何一種方法絕非萬(wàn)能，在具體的使用過(guò)程中，一不小心也容易犯錯(cuò).

文獻(xiàn)[1]通過(guò)理論分析及典型例證的方式，對(duì)“作圖法求解動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題”展開(kāi)深入研究，邏輯清晰，討論嚴(yán)謹(jǐn).此文對(duì)“平衡問(wèn)題”的教學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生積極的指導(dǎo)作用，筆者拜讀后深受啟示.但筆者在研讀學(xué)習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一處值得商榷的典例研討，謹(jǐn)提粗鄙之見(jiàn)解.

【例1】[1]如圖1所示，保持結(jié)點(diǎn)O的位置不動(dòng)，在上面兩根繩都拉直的情況下(設(shè)兩繩間夾角為鈍角)，下面一根繩的拉力F1保持大小不變，方向由F3的反向延長(zhǎng)線逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)到F2的反向延長(zhǎng)線的過(guò)程中，F(xiàn)2和F3的大小怎么變化？

圖1 例1題圖

文獻(xiàn)[1]通過(guò)作圖法給出了結(jié)論：F3逐漸減小到零，F(xiàn)2先增大后減小到F1等大.筆者認(rèn)為此答案有待商榷，分析如下.

如圖2所示，以F1大小為半徑r，結(jié)點(diǎn)O為圓心作輔助圓，圓上任意一點(diǎn)到O點(diǎn)的距離都表示拉力F1的大小.作輔助線mn平行于OR且與輔助圓相切于P點(diǎn)，此時(shí)OP垂直于切線mn(即F2方向).作m′n′平行于OA，與圓相切于Q點(diǎn)，此時(shí)OQ垂直于切線m′n′(即F3方向).

圖2 筆者針對(duì)例1分析圖

拉力F1從OA→OP→OR過(guò)程中，通過(guò)作圖和平行四邊形分析可得：

(1)F1方向從OA→OP過(guò)程中，F(xiàn)3增大(F3大小由圓半徑r→|OA|).

(2)F1方向從OP→OR過(guò)程中，F(xiàn)3減小(F3大小由|OA|→0).

由此可得，F(xiàn)1方向轉(zhuǎn)到OP處時(shí)，F(xiàn)3max=|OA|，即F1在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，F(xiàn)3先變大后變小.

同理，拉力F1方向從OA→OQ→OR過(guò)程中，有：

(1)F1方向從OA→OQ過(guò)程中，F(xiàn)2增大(F3大小由0→|OR|).

(2)F1方向從OQ→OR過(guò)程中，F(xiàn)2減小(F3大小由|OR|→圓半徑r).

由此可知，F(xiàn)1轉(zhuǎn)到OQ處時(shí)，F(xiàn)2max=|OR|，即F1在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，F(xiàn)2也是先變大后變小.

由上述分析可知，此例的正確結(jié)論應(yīng)是：F3先變大后逐漸減小到零，F(xiàn)2由零先增大，后逐漸減小到F1.

小結(jié)：由此例來(lái)看，在使用圖解法求解動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題時(shí)，要注意臨界狀態(tài)時(shí)各力的大小是否達(dá)到最大(最小)的臨界值.因題設(shè)條件兩繩間夾角為鈍角，必然會(huì)有F1分別與F2和F3垂直的狀態(tài)，當(dāng)F1垂直于F2時(shí)，F(xiàn)3達(dá)到最大值；當(dāng)F1垂直于F3時(shí)，F(xiàn)2達(dá)到最大值.故整個(gè)動(dòng)態(tài)平衡過(guò)程中，F(xiàn)2和F3的大小變化趨勢(shì)，必然是相同的(都是先變大后變小)，而這點(diǎn)從對(duì)稱性的角度也很好理解.

針對(duì)“平衡問(wèn)題”中的一類臨界極值問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]“拋卻”了常規(guī)的正交分解法和函數(shù)求解法，引入“全反力”“摩擦錐”等概念，并采用圖解法巧妙求解，事半功倍，展示了科學(xué)思維培養(yǎng)的良好路徑，不失為一篇實(shí)用而富有技巧性的好文.但對(duì)于文中典例題2的求解過(guò)程，筆者有一些粗淺見(jiàn)解.

【例2】[2]如圖3所示，在傾角為θ的粗糙固定斜面上，有一個(gè)質(zhì)量為m的物體在水平力F作用下，恰好靜止在斜面上.已知物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且μ

圖3 例2題圖

文獻(xiàn)[2]根據(jù)臨界狀態(tài)的特征，把“恰好靜止”分為“恰好不上滑”和“恰好不下滑”兩種情況，并引入“全反力”“摩擦錐”等概念，用圖解法進(jìn)行了分類討論，整體思路值得借鑒學(xué)習(xí).

(1)恰好不下滑

如圖4所示，重力mg與水平推力F的合力(全反力F全)恰好在摩擦錐的邊緣，此時(shí)物塊恰好不下滑.

圖4 文獻(xiàn)[2]針對(duì)恰好不下滑分析圖

此時(shí)全反力的反向延長(zhǎng)線與豎直方向的夾角為α(α=θ-φ)，有

F=mgtanα=mgtan(θ-φ)

(1)

又由于μ=tanφ，可以算出

(2)

(2)恰好不上滑

對(duì)于“恰好不上滑”的臨界狀態(tài)，全反力F全指向左上方，全反力反向延長(zhǎng)線與豎直方向夾角為β(β=θ+φ).因θ+φ大小未知，因此還需分兩種情況討論.

情況1：0<β<90°，如圖5所示.

圖5 文獻(xiàn)[2]針對(duì)恰好不上滑0<β<90°情形分析圖

F=mgtanθ=mgtan(θ+β)

(3)

(4)

文獻(xiàn)[2]僅討論了上述(0<β<90°)這種情況，對(duì)于β≥90°的情況，筆者認(rèn)為有必要進(jìn)一步討論.

情況2：β≥90°，如圖6所示.

圖6 筆者針對(duì)恰好不上滑β≥90°情形分析圖

在F>mgtanθ的情況下，無(wú)論F多大，重力mg與F的合力總在摩擦角φ范圍內(nèi).故無(wú)論F多大，物塊都能保持靜止，物塊處于“自鎖”狀態(tài).

小結(jié)：由此例來(lái)看，β≥90°的這種情況雖不滿足題干所述的“物塊恰好靜止在斜面上”這種臨界條件.但從培養(yǎng)學(xué)生物理思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，解題過(guò)程的完整性、規(guī)范性的角度來(lái)說(shuō)，筆者認(rèn)為第2種情況的討論不能舍去或缺失，此舉是非常重要且有意義的教學(xué)環(huán)節(jié).此外，也是分類討論思想在物理習(xí)題教學(xué)中的重要體現(xiàn).

綜上所述，文獻(xiàn)[1,2]兩文拋卻繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，巧用作圖破解平衡，化繁為簡(jiǎn)，生動(dòng)巧妙，給“平衡問(wèn)題”的教學(xué)實(shí)踐提供了全新思路，對(duì)兩文典例求解中細(xì)節(jié)的商榷，旨在凸顯對(duì)臨界狀態(tài)極值問(wèn)題的關(guān)注，強(qiáng)調(diào)分類討論的完整嚴(yán)密在物理教學(xué)中的重要意義，培養(yǎng)質(zhì)疑創(chuàng)新能力，提升科學(xué)思維品質(zhì).