用MATLAB程序實現牛頓環的動畫演示*

周群益

(廣州理工學院通識教育學院 廣東 廣州 510540)

莫云飛

(長沙學院電子信息與電氣工程學院 湖南 長沙 410022)

周麗麗

(贛南醫學院信息工程學院 江西 贛州 341000)

侯兆陽

(長安大學理學院應用物理系 陜西 西安 710064)

1 引言

文獻[1]在大學物理的“課程思政”與仿真實驗中做了有益的探索，以牛頓環實驗為例，通過MATLAB的用戶交互系統(GUI)提高學生學習的積極性．不過，文獻[1]中并沒有說明牛頓環的數學模型，且文中的模擬結果也出現明顯差錯，所謂光強分布曲線應該是光波振幅的分布曲線；當中心光強為零時，干涉條紋中心應該是暗斑而不是亮斑．我們多年前就出版了MATLAB與大學物理相結合的教材，執行程序顯示牛頓環變化的規律[2]．本文重新建立了牛頓環的數學模型，應用MATLAB特有的指令，用動畫演示牛頓環的變化過程，以便讀者掌握牛頓環動畫的設計方法，解決更多的光學問題.

2 牛頓環的數學模型

如圖1所示，半徑很大且為R的平凸透鏡與平板玻璃的距離為d，空氣間隙厚度為e，e?R，d?R．當波長為λ的單色光a垂直入射時，在凸透鏡下表面與空氣的交界面同時發生反射和透射，反射光為b，透射光a′在平板玻璃的上表面再發生反射，反射光為b′．b和b′是同一束光a的兩部分，因而是相干光，相遇時就發生干涉.

圖1 牛頓環的光路圖

由于玻璃的折射率大于空氣的折射率，所以b光反射時沒有半波損失，因而不會產生附加光程差；b′光反射時有半波損失，因而會產生附加光程差．空氣的折射率n=1，兩列光的光程差為

(1)

(2)

暗環形成的條件為

(3)

(4)

可知，相鄰明環或暗環的厚度差相同.

設光環的半徑為r，可得方程

r2=R2-(R-e)2

由于R?e，所以

r2≈2Re

(5)

第k級明環的半徑為

(6)

第K級暗環的半徑為

(7)

當d= 0時，平凸透鏡接觸平板玻璃，可得

(8)

(9)

其中K=0時的暗環半徑為零，表示反射光的中央是暗斑(對應的透射光是明斑)．干涉級次k或K越大，對應的厚度e也越大，明環和暗環距離中心越遠．當平凸透鏡向上移動時，d將增加，由于同一級干涉條紋對應同一厚度，所以條紋向中心移動，k和K較小級次條紋將逐漸消失.

當平行光垂直照射時，設入射光和反射光的振幅都為A0(A0代表光波中電場能量和磁場能量之和的振幅)，當兩束光相干疊加時，合振幅為

將式(1)代入上式得

將式(5)代入上式得

(10)

光強與光波振幅的平方成正比I=kA2，其中k是比例系數．因此光強為

(11)

(12)

光強分布規律為

(13)

3 可視化

(14)

(15)

當d= 0時，相對振幅為

(16)

相對光強為

(17)

利用MATLAB的繪圖指令plot可以畫出光波和光強曲線，利用圖像指令image可畫出干涉圖樣，利用色圖指令colormap可設定干涉條紋的顏色．結合MATLAB的程序設計方法和輔助指令，可以演示牛頓環的動畫(見附錄).

圖2 牛頓環在初始時的光波振幅和光強(d=0)

如圖3所示，當d=0時，牛頓環中央是暗斑，隨著半徑的增加，條紋間距越來越小，分布越來越密．這是因為相鄰明環或暗環的厚度差相同，從里到外空氣厚度逐漸增加的緣故．注意：圖3顯示反射光的牛頓環，對于透射光，牛頓環的明暗分布的規律正好相反.

圖4 平凸鏡上移時的牛頓環

4 結束語

我們認為，傳統學科都要與現代計算機技術結合起來，光學與MATLAB結合，能夠幫助學生更好地理解光學知識．我們10年前就花費了多年時間，撰寫了MATLAB與大學物理學相結合的教材，共有300多個各類程序，其中有10多個光學程序，相信對于讀者具有重要的參考價值.

附 錄

NewtonRing.m

%反射光的牛頓環的動畫

clear,rm=4;r=-rm:0.005:rm;%清除變量,最大半徑(相對坐標),坐標向量

A=2*cos(pi*(r.^2+1/2));%反射光的相對振幅

figure,subplot(2,1,1),plot(r,A,'LineWidth',2);%建立圖形窗口,選子圖,畫曲線

grid on,fs=16;%加網格,字體大小

xlabel('itr/r m_0','FontSize',fs)%加橫標簽

ylabel('itA/A m_0','FontSize',fs)%加縱標簽

title('反射光的牛頓環的初始光波振幅','FontSize',fs)%加標題

subplot(2,1,2),plot(r,A.^2/4,'LineWidth',2),grid on%選子圖,畫曲線,加網格

xlabel('itr/r m_0','FontSize',fs)%加橫標簽

ylabel('itl/I m_0','FontSize',fs)%加縱標簽

title('反射光的牛頓環的初始光強','FontSize',fs)%加標題

[X,Y]=meshgrid(r);R=sqrt(X.^2+Y.^2);%坐標矩陣,各點到圓心的相對距離

I=cos(pi*(R.^2+1/2)).^2;c=linspace(0,1,64)';%反射光的相對光強,顏色范圍

figure,h=image(I*64);colormap([c,c*0,c*0])%建立圖形窗口,畫圖像,形成紅色色圖

title('反射光的初始牛頓環','FontSize',16),axis off equal,pause%標題,隱軸,暫停

title('平凸鏡上移時反射光的牛頓環','FontSize',16),d=0;%修改標題,初始距離

while 1%無限循環

d=d+0.02;I=cos(pi*(R.^2+2*d+1/2)).^2;%增加距離,反射光的相對光強

set(h,'CData',64*I),drawnow%設置光強,更新屏幕

if get(gcf,'CurrentCharacter')==char(27),break,end%按ESC鍵退出

end%結束循環