兩串聯(lián)彈簧等效質(zhì)量的研究*——基于多普勒效應(yīng)綜合實(shí)驗(yàn)儀

何香林 劉竹琴

(延安大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 陜西 延安 716000)

當(dāng)彈簧可視為輕質(zhì)彈簧時(shí)，滿足胡克定律[1,2]，但在研究實(shí)際彈簧振子的振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，大多時(shí)候彈簧不可視為輕質(zhì)彈簧，文獻(xiàn)[3]詳細(xì)闡述了有質(zhì)量彈簧對(duì)振動(dòng)的影響，也有大量文獻(xiàn)研究了單彈簧的等效質(zhì)量[4～6]，這為本文提供了理論基礎(chǔ)與思考方向.在實(shí)際工程應(yīng)用中往往不只是有單彈簧與振子組成的振動(dòng)系統(tǒng)，更多的是諸如兩彈簧串聯(lián)、兩彈簧并聯(lián)、多彈簧串聯(lián)等分別與振子組成的復(fù)雜彈簧振子系統(tǒng)，復(fù)雜彈簧振子等效質(zhì)量的確定仍有待研究.因?yàn)樵谪Q直方向上彈簧質(zhì)量對(duì)振動(dòng)周期影響最大[7]，實(shí)驗(yàn)效果最為明顯，所以本文將對(duì)豎直方向上兩串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量進(jìn)行研究.研究結(jié)果為多彈簧串聯(lián)等效質(zhì)量的確定以及實(shí)際工程應(yīng)用提供了實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，使學(xué)生了解到振動(dòng)周期不僅與振子質(zhì)量、彈簧勁度系數(shù)有關(guān)，還與彈簧自身質(zhì)量、位置分布有關(guān).

1 實(shí)驗(yàn)原理與實(shí)驗(yàn)裝置

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1.1 周期的測(cè)量

多普勒效應(yīng)綜合實(shí)驗(yàn)儀可以設(shè)置采樣步距、采樣次數(shù)，并且能夠采集彈簧振子振動(dòng)的v-t圖像.在簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中，采集到的v-t圖呈三角函數(shù)圖像，方向相同且最大的相鄰兩個(gè)速度所對(duì)應(yīng)的采樣次數(shù)之差乘以采樣步距的值等于周期.為方便計(jì)算以及減小實(shí)驗(yàn)誤差，采樣步距設(shè)置為0.1 s，采樣次數(shù)設(shè)置為最多次數(shù)150次，第b次(即最后一次)與第1次速度最大且方向相同的采樣次數(shù)之差設(shè)為Nb-N1，則周期的計(jì)算滿足式(1)，即

(1)

1.1.2 等效質(zhì)量的測(cè)量

在研究有質(zhì)量彈簧與振子所組成的振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，周期計(jì)算公式如式(2)[8]，T，κ，m0，m分別為振動(dòng)周期、彈簧勁度系數(shù)、振子質(zhì)量、彈簧等效質(zhì)量，兩邊平方整理得式(3).在此實(shí)驗(yàn)中，收集多組振子質(zhì)量和與之對(duì)應(yīng)的周期平方的值，作T2-m0的二元一次函數(shù)圖，設(shè)其斜率為a、截距為d,聯(lián)立式(3)、(4)便可求出等效質(zhì)量的測(cè)量值.

(2)

(3)

(4)

1.2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置由紅外接收器、自由落體組件、底座及發(fā)生器、電磁閥、保護(hù)盒、砝碼、電子秤、質(zhì)量分別為5.8 g與11.0g的兩彈簧及導(dǎo)軌組成.當(dāng)兩彈簧串聯(lián)時(shí)，掛上振子后彈簧伸長(zhǎng)量過(guò)大，為得到足夠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以達(dá)到減小實(shí)驗(yàn)誤差的目的，需將兩導(dǎo)軌串接，此時(shí)需放置保護(hù)盒，如圖1所示.

圖1 測(cè)量?jī)纱?lián)彈簧等效質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)裝置圖

2 實(shí)驗(yàn)方法與測(cè)量舉例

2.1 實(shí)驗(yàn)方法

(1)令質(zhì)量為5.8 g的彈簧為彈簧1，11.0 g的彈簧為彈簧2，當(dāng)兩彈簧串聯(lián)后，彈簧1在固定端，即彈簧1懸掛于電磁閥上方的掛鉤孔中，振子懸掛于彈簧2一端，實(shí)驗(yàn)步驟如下：

1)設(shè)置好多普勒效應(yīng)綜合實(shí)驗(yàn)儀的相關(guān)參數(shù)，將電子秤稱量好的振子質(zhì)量記錄于表1，適當(dāng)下拉振子使系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，待其穩(wěn)定后，開(kāi)始采集v-t圖像.

2)為減小實(shí)驗(yàn)誤差，多次采集v-t圖像，多次記錄第一次與最后一次速度最大且方向相同采樣次數(shù)的差，并取平均值，利用式(1)可得周期，再平方即可得出周期平方的值并記錄于表中.

3)改變振子質(zhì)量，重復(fù)上述步驟，共收集6組振子質(zhì)量和與之對(duì)應(yīng)的周期平方的值.

4)在Excel中輸入6組數(shù)據(jù)，得二元一次方程，并作出T2-m0函數(shù)圖像，聯(lián)立式(3)、(4)求出等效質(zhì)量的測(cè)量值.

5)利用函數(shù)圖像以及測(cè)量值，研究等效質(zhì)量與兩單彈簧自身質(zhì)量、勁度系數(shù)的關(guān)系.

(2)當(dāng)彈簧2在固定端時(shí)，步驟同上，并比較兩次的測(cè)量值是否一致.

2.2 測(cè)量舉例

2.2.1 數(shù)據(jù)記錄

(1)振子質(zhì)量分別為101.0 g，118.0 g，134.0 g，145.9 g，167.9 g，178.1 g，周期平方取小數(shù)點(diǎn)后4位.彈簧1懸掛于固定端時(shí)，所得數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 彈簧1懸掛于固定端時(shí)的數(shù)據(jù)記錄表

(2)彈簧2懸掛于固定端時(shí)，所得數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 彈簧2懸掛于固定端時(shí)的數(shù)據(jù)記錄表

2.2.2 數(shù)據(jù)處理

(1)彈簧1懸掛于固定端所對(duì)應(yīng)的線性回歸曲線，如圖2所示，其相關(guān)系數(shù)R2為0.999 2,趨近于1，趨勢(shì)線精確度較高.

圖2 彈簧1懸掛于固定端的T2-m0函數(shù)曲線圖

圖2所對(duì)應(yīng)的線性回歸方程為

T2=21.937m0+0.172 6

(5)

此時(shí)a為21.937，d為0.172 6，代入式(4)，保留小數(shù)點(diǎn)后4位，解得彈簧等效質(zhì)量的測(cè)量值為7.868 0 g.

經(jīng)測(cè)量，彈簧1的勁度系數(shù)為3.087 1，彈簧2的勁度系數(shù)為4.561 0，測(cè)量方法與等效質(zhì)量測(cè)量方法類似，不同之處便是只需知道T2-m0函數(shù)圖像的斜率即可求出勁度系數(shù)，這里不再贅述.設(shè)等效質(zhì)量與兩單彈簧自身質(zhì)量的關(guān)系如式(6)，c1與η滿足的函數(shù)關(guān)系如式(7)，c2與η滿足的函數(shù)關(guān)系如式(8)，η為懸掛振子端與固定端彈簧勁度系數(shù)的比值[9].m1，κ1，c1分別為固定端彈簧的質(zhì)量、勁度系數(shù)、相關(guān)系數(shù)，m2，κ2，c2為懸掛振子端彈簧的質(zhì)量、勁度系數(shù)、相關(guān)系數(shù).

m=c1m1+c2m2

(6)

(7)

(8)

(9)

聯(lián)立式(6)～(9)解出此時(shí)等效質(zhì)量的理論值為7.844 9 g，約等于測(cè)量值.理論值與測(cè)量值的百分誤差為0.29%，在誤差范圍內(nèi)，則假設(shè)成立.

(2)彈簧2懸掛于固定端所對(duì)應(yīng)的線性回歸曲線，如圖3所示.其相關(guān)系數(shù)R2為0.998 9,趨近于1，趨勢(shì)線精確度較高.

圖3 彈簧2懸掛于固定端的T2-m0函數(shù)曲線

圖3所對(duì)應(yīng)的線性回歸方程為

T2=21.679m0+0.076 5

(10)

此時(shí)a為21.679，d為0.076 5，代入式(4)，保留小數(shù)點(diǎn)后4位，解得彈簧等效質(zhì)量的測(cè)量值為3.528 8 g，與彈簧1懸掛于固定端所得等效質(zhì)量的值不一致.

聯(lián)立式(6)～(9)解出此時(shí)等效質(zhì)量的理論值為3.626 1 g，約等于測(cè)量值.理論值與測(cè)量值的百分誤差為2.68%，在誤差范圍內(nèi)，則假設(shè)成立.

綜上可知：

(1)豎直方向兩串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與彈簧的位置分布有關(guān)；

(2)等效質(zhì)量的大小與單彈簧自身質(zhì)量、勁度系數(shù)滿足關(guān)系式(6)～(9).

3 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了基于多普勒效應(yīng)綜合實(shí)驗(yàn)儀研究?jī)纱?lián)彈簧等效質(zhì)量的方案，并將標(biāo)準(zhǔn)值與測(cè)量值進(jìn)行了比較，實(shí)驗(yàn)誤差分別為0.29%和2.68%，結(jié)果精確度較高.但本文在最初收集、處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)過(guò)程中得出的百分誤差較大，在多次收集、處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后，才最終得出誤差較小的等效質(zhì)量的測(cè)量值.究其原因：

(1)與研究等效勁度系數(shù)不同的是，研究等效質(zhì)量所要求的精確度更高；

(2)采用質(zhì)量較輕的彈簧，函數(shù)圖像斜率與截距的微小變化都會(huì)嚴(yán)重影響到等效質(zhì)量的測(cè)量值與理論值的百分誤差.

通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)，可以提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、競(jìng)爭(zhēng)與合作意識(shí)、科技意識(shí)，以及培養(yǎng)學(xué)生批判、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.