動力學中輕桿受力是否沿桿方向問題

鐘艷雄

(興寧市第一中學 廣東 梅州 514500)

各種資料對動力學中輕桿受力是否沿桿方向的討論幾乎為零，加上討論要用到剛體力學等理論，導致這個問題成了高中階段的難題，一不留神還會出錯，比如出現“輕桿受力只能沿桿方向”的錯誤說法，甚至把這樣的錯誤說法當成結論，結果就會與“桿對物體的作用力可以任意方向”的結論相矛盾.輕桿受力不一定沿桿方向，下面通過實例和實際解決問題的方式進行分析.

實例一：如圖1所示，長為2L的輕桿可繞過其一端的水平光滑軸O在豎直平面內轉動，分別在桿的中點和另一端各固定一質量為m的小球，把桿拉至水平無初速釋放，不計空氣阻力.問轉動過程桿L1受力是否沿桿方向.

圖1 實例一圖

選整個系統為研究對象，以O為轉軸，受力分析如圖2所示.

圖2 實例一解題圖

轉動慣量為

I=mL2+m(2L)2=5mL2

設桿轉過θ角時角加速度為β，由轉動定理[1]

3mgLcosθ=Iβ

以上兩式解得

系統質心為桿L2的中點c，設質心切向加速度為acτ，有

以上兩式解得

以兩球及桿L2為研究對象，質心仍為c，設桿L1對球1的切向力為Fτ，由質心運動定理有

2mgcosθ-Fτ=2macτ

以上兩式解得

結果表明，除桿在豎直位置外桿L1受力均不沿桿方向.

以上用了剛體力學知識，下面用機械能守恒定律分析這個問題.

仍如圖2所示，設桿轉過θ角球1和球2速度分別為v1和v2，由系統機械能守恒有

由兩球角速度相等易知

v2=2v1

由以上兩式解得

設系統質心速度為vc, 由角速度ω相等有

由以上兩式解得

上式兩邊對時間求導得

易知

由以上兩式解得

對兩球及桿L2組成的系統，由質心運動定理有

2mgcosθ-Fτ=2macτ

以上兩式解得

兩次解得的結果完全相同.

本例中兩個小球之間機械能傳遞依靠桿的切向彈力，所以桿的彈力不沿桿方向.切向彈力對球1做負功，球1機械能減小，對球2做正功，球2機械能增加.

實例二:如圖3所示，質量為m的小球A，B由長為2L的輕桿相連，豎直置于光滑水平面上，由于受到輕微擾動，系統在豎直平面內自由運動，不計空氣阻力.求運動過程桿受力是否沿桿方向.

圖3 實例二圖

如圖4所示，B的速度vB沿水平方向，C為系統質心，由于系統受力均為豎直方向，質心速度vC和加速度aC均為豎直方向.桿轉過θ角時vB⊥BD,vC⊥CD,說明D點是剛體瞬心，設此時質心相對瞬心角速度為ω,則

vC=ωLsinθ

(1)

圖4 瞬心分析圖

如圖5所示，以質心C為參考系，F慣為A受到的慣性力，有

F慣=maC

設桿對球A切向力為Fτ，球A相對質心切向加速度為aτ，由牛頓第二定律

mgsinθ-Fτ-F慣sinθ=maτ

把F慣代入上式并化簡

mgsinθ-Fτ-maCsinθ=maτ

Fτ=mgsinθ-m(aCsinθ+aτ)

(2)

圖5 質心參考系解題圖

球A繞質心做圓周運動，設角加速度為β，有

aτ=βL

(3)

設系統繞質心轉動慣量為IC，有IC=2mL2，剛體上任一點相對瞬心的角速度與剛體角速度相同，因此剛體角速度為ω.由系統機械能守恒[1]

IC代入上式

上式兩邊對時間求導

gωLsinθ=vCaC+βωL2

把式(1)代入上式

gωLsinθ=ωLaCsinθ+βωL2

化簡

gsinθ=aCsinθ+βL

式(3)代入上式

gsinθ=aCsinθ+aτ

上式代入式(2)

Fτ=mgsinθ-m(aCsinθ+aτ)=0

說明桿若受力一定沿桿方向.

本例中兩個小球之間機械能傳遞依靠桿的徑向彈力，不需要切向彈力，所以桿的彈力沿桿方向，球B機械能增加，球A機械能減小.

實例三:如圖6所示，豎直放置長為L的輕桿，上端連著質量為m的小球A，桿的下端用鉸鏈固接于水平面.置于同一水平面上的立方體B恰與A接觸，立方體質量為M.今有微小擾動，使桿向右傾倒，各處摩擦均不計，求A與B相互作用過程桿受力是否沿桿方向.

圖6 實例三圖

各符號設置如圖7所示，桿轉過θ角的過程，由A和B系統機械能守恒有

(4)

圖7 實例三解題圖

式(4)兩邊對時間求導，并設球角速度為ω，切向加速度為aτ，有

mgωLsinθ=mv1aτ+Mv2a2

易知

v1=ωL

v2=v1cosθ

聯立以上3式解得

mgsinθ=maτ+Ma2cosθ

以B為研究對象，由牛頓第二定律有

F=Ma2

由以上兩式

mgsinθ=maτ+Fcosθ

選A為研究對象，切向由牛頓第二定律有

mgsinθ-Fcosθ-Fτ=maτ

由以上兩式解得

Fτ=0

說明桿若受力一定沿桿方向.

本例中小球與鉸鏈之間沒有機械能傳遞，所以桿的彈力沿桿方向.

總結:通過以上3個實例的分析不難發現，輕桿彈力方向本質上是實現桿兩端物體的機械能傳遞，若沒有機械能傳遞則彈力沿桿方向，若有傳遞時，可以通過徑向力傳遞，也可以通過切向力傳遞.