動(dòng)力學(xué)中輕桿受力是否沿桿方向問題

鐘艷雄

(興寧市第一中學(xué) 廣東 梅州 514500)

各種資料對(duì)動(dòng)力學(xué)中輕桿受力是否沿桿方向的討論幾乎為零，加上討論要用到剛體力學(xué)等理論，導(dǎo)致這個(gè)問題成了高中階段的難題，一不留神還會(huì)出錯(cuò)，比如出現(xiàn)“輕桿受力只能沿桿方向”的錯(cuò)誤說法，甚至把這樣的錯(cuò)誤說法當(dāng)成結(jié)論，結(jié)果就會(huì)與“桿對(duì)物體的作用力可以任意方向”的結(jié)論相矛盾.輕桿受力不一定沿桿方向，下面通過實(shí)例和實(shí)際解決問題的方式進(jìn)行分析.

實(shí)例一：如圖1所示，長為2L的輕桿可繞過其一端的水平光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，分別在桿的中點(diǎn)和另一端各固定一質(zhì)量為m的小球，把桿拉至水平無初速釋放，不計(jì)空氣阻力.問轉(zhuǎn)動(dòng)過程桿L1受力是否沿桿方向.

圖1 實(shí)例一圖

選整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，以O(shè)為轉(zhuǎn)軸，受力分析如圖2所示.

圖2 實(shí)例一解題圖

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

I=mL2+m(2L)2=5mL2

設(shè)桿轉(zhuǎn)過θ角時(shí)角加速度為β，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理[1]

3mgLcosθ=Iβ

以上兩式解得

系統(tǒng)質(zhì)心為桿L2的中點(diǎn)c，設(shè)質(zhì)心切向加速度為acτ，有

以上兩式解得

以兩球及桿L2為研究對(duì)象，質(zhì)心仍為c，設(shè)桿L1對(duì)球1的切向力為Fτ，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

2mgcosθ-Fτ=2macτ

以上兩式解得

結(jié)果表明，除桿在豎直位置外桿L1受力均不沿桿方向.

以上用了剛體力學(xué)知識(shí)，下面用機(jī)械能守恒定律分析這個(gè)問題.

仍如圖2所示，設(shè)桿轉(zhuǎn)過θ角球1和球2速度分別為v1和v2，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有

由兩球角速度相等易知

v2=2v1

由以上兩式解得

設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心速度為vc, 由角速度ω相等有

由以上兩式解得

上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

易知

由以上兩式解得

對(duì)兩球及桿L2組成的系統(tǒng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

2mgcosθ-Fτ=2macτ

以上兩式解得

兩次解得的結(jié)果完全相同.

本例中兩個(gè)小球之間機(jī)械能傳遞依靠桿的切向彈力，所以桿的彈力不沿桿方向.切向彈力對(duì)球1做負(fù)功，球1機(jī)械能減小，對(duì)球2做正功，球2機(jī)械能增加.

實(shí)例二:如圖3所示，質(zhì)量為m的小球A，B由長為2L的輕桿相連，豎直置于光滑水平面上，由于受到輕微擾動(dòng)，系統(tǒng)在豎直平面內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力.求運(yùn)動(dòng)過程桿受力是否沿桿方向.

圖3 實(shí)例二圖

如圖4所示，B的速度vB沿水平方向，C為系統(tǒng)質(zhì)心，由于系統(tǒng)受力均為豎直方向，質(zhì)心速度vC和加速度aC均為豎直方向.桿轉(zhuǎn)過θ角時(shí)vB⊥BD,vC⊥CD,說明D點(diǎn)是剛體瞬心，設(shè)此時(shí)質(zhì)心相對(duì)瞬心角速度為ω,則

vC=ωLsinθ

(1)

圖4 瞬心分析圖

如圖5所示，以質(zhì)心C為參考系，F(xiàn)慣為A受到的慣性力，有

F慣=maC

設(shè)桿對(duì)球A切向力為Fτ，球A相對(duì)質(zhì)心切向加速度為aτ，由牛頓第二定律

mgsinθ-Fτ-F慣sinθ=maτ

把F慣代入上式并化簡

mgsinθ-Fτ-maCsinθ=maτ

Fτ=mgsinθ-m(aCsinθ+aτ)

(2)

圖5 質(zhì)心參考系解題圖

球A繞質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)角加速度為β，有

aτ=βL

(3)

設(shè)系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC，有IC=2mL2，剛體上任一點(diǎn)相對(duì)瞬心的角速度與剛體角速度相同，因此剛體角速度為ω.由系統(tǒng)機(jī)械能守恒[1]

IC代入上式

上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)

gωLsinθ=vCaC+βωL2

把式(1)代入上式

gωLsinθ=ωLaCsinθ+βωL2

化簡

gsinθ=aCsinθ+βL

式(3)代入上式

gsinθ=aCsinθ+aτ

上式代入式(2)

Fτ=mgsinθ-m(aCsinθ+aτ)=0

說明桿若受力一定沿桿方向.

本例中兩個(gè)小球之間機(jī)械能傳遞依靠桿的徑向彈力，不需要切向彈力，所以桿的彈力沿桿方向，球B機(jī)械能增加，球A機(jī)械能減小.

實(shí)例三:如圖6所示，豎直放置長為L的輕桿，上端連著質(zhì)量為m的小球A，桿的下端用鉸鏈固接于水平面.置于同一水平面上的立方體B恰與A接觸，立方體質(zhì)量為M.今有微小擾動(dòng)，使桿向右傾倒，各處摩擦均不計(jì)，求A與B相互作用過程桿受力是否沿桿方向.

圖6 實(shí)例三圖

各符號(hào)設(shè)置如圖7所示，桿轉(zhuǎn)過θ角的過程，由A和B系統(tǒng)機(jī)械能守恒有

(4)

圖7 實(shí)例三解題圖

式(4)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并設(shè)球角速度為ω，切向加速度為aτ，有

mgωLsinθ=mv1aτ+Mv2a2

易知

v1=ωL

v2=v1cosθ

聯(lián)立以上3式解得

mgsinθ=maτ+Ma2cosθ

以B為研究對(duì)象，由牛頓第二定律有

F=Ma2

由以上兩式

mgsinθ=maτ+Fcosθ

選A為研究對(duì)象，切向由牛頓第二定律有

mgsinθ-Fcosθ-Fτ=maτ

由以上兩式解得

Fτ=0

說明桿若受力一定沿桿方向.

本例中小球與鉸鏈之間沒有機(jī)械能傳遞，所以桿的彈力沿桿方向.

總結(jié):通過以上3個(gè)實(shí)例的分析不難發(fā)現(xiàn)，輕桿彈力方向本質(zhì)上是實(shí)現(xiàn)桿兩端物體的機(jī)械能傳遞，若沒有機(jī)械能傳遞則彈力沿桿方向，若有傳遞時(shí)，可以通過徑向力傳遞，也可以通過切向力傳遞.