淺析MathCAD數(shù)值模擬在大學物理教學中應用

劉玉麗 王鈺茹 劉協(xié)權

(陸軍步兵學院基礎部理化教研室 江西 南昌 330103)

近年來，隨著計算機技術的不斷發(fā)展，現(xiàn)代教學改革對課堂教學也提出了更高的要求，如何采用現(xiàn)代化多媒體手段有效地輔助教學，提高課堂教學效率，成為了研究的一個熱點.大學物理課程中有許多抽象、復雜的物理規(guī)律和現(xiàn)象，僅用傳統(tǒng)的教學方法授課會使教學受到一定的局限性，而用計算機軟件技術進行數(shù)值模擬，已成為最常用的方式.目前，用于數(shù)值模擬的軟件主要有MathCAD，MATLAB，Maple，Mathematica，它們各有各的特色，其中Maple和Mathematica擅長符號運算，MATLAB擅長矩陣運算和圖形處理，MathCAD擅長數(shù)值計算和繪圖.MathCAD的主要特點是輸入格式與人們習慣的數(shù)學書寫格式近似，比MATLAB編程語言更簡單，采用所見即所得界面，特別適合一般無須進行復雜編程或要求比較特殊的計算，易學，容易理解，操作十分簡單，而且它的輸入界面特別友好[1].若將MathCAD引入大學物理教學中，通過對MathCAD語言的編譯，可以非常簡便地實現(xiàn)對物理規(guī)律、現(xiàn)象的仿真.下面通過實例介紹MathCAD數(shù)值模擬在大學物理教學中的應用.

1 “拍”現(xiàn)象的模擬

兩個同方向不同頻率的簡諧振動，如果頻率都比較大，但頻率之差很小，那么在合成時，有的地方加強，有的地方減弱，這種振幅時大時小的現(xiàn)象稱為“拍”[2].設兩個分振動的振幅都為1，頻率分別為10 000和10 100，利用如下編程可以模擬出“拍”的形成圖.

A:=1,ω1:=10000,ω2:=10100

δ:=0,α(θ):=δ+θ定儀初相位

t:=0,0.01..2 定義時間變化范圍

x1(t,θ):=A·cos(ω1·t+α(θ))

x2(t,θ):=A·cos(ω2·t+α(θ)) 定義兩個分振動

運行結果如圖1所示.

圖1 拍的形成

“拍”現(xiàn)象在聲振動、電磁振動和波動中經(jīng)常遇到.而一般物理教材在討論到“拍”的觀察時，多數(shù)是舉兩個頻率相近的音叉同時發(fā)出聲時，會在人耳中產生嗡嗡聲，以說明合振動的振幅存在時強時弱的周期性變化，這是從聽覺的角度給學生建立“拍”現(xiàn)象的，但用眼睛卻看不到，更談不上定量分析.現(xiàn)在課堂教學多采用多媒體教學，當講到“拍”的形成時，我們就可以打開MathCAD軟件，通過幾句簡單的MathCAD語言，把“拍”現(xiàn)象模擬出來，將該過程通過投影儀投影到大屏幕上，不僅能看到“拍”現(xiàn)象，還可以調節(jié)各振動的初始位置、初相位和角速度來觀察不同條件下的“拍”現(xiàn)象，圖1就是我們在一定的初始條件下得到的“拍”現(xiàn)象.學生不僅能觀察到“拍”現(xiàn)象，還能感覺到這個數(shù)值計算軟件既簡單又方便，這將引起學生的學習興趣.

2 麥克斯韋速率分布律的模擬

熱學中麥克斯韋速率分布律是大學物理講授中的一個重點和難點.下面我們模擬氧氣分子分別在200 K,500 K,1200 K時的速率分布曲線，以及氧氣、二氧化碳、甲烷在200 K時的速率分布曲線.編程如下：

運行結果如圖2所示.

圖2 麥克斯韋速率分布曲線

圖2左圖中實線是氧氣在200 K時的速率分布曲線，虛線是500 K時的速率分布曲線，長劃線是1 200 K時的速率分布曲線，從左圖中可以看出，當溫度升高時，氣體分子的速率普遍增大，速率分布曲線中的最概然速率vp向量值增大方向遷移，但歸一化條件要求曲線下的總面積不變，因此，分布曲線寬度增大，高度降低，整個曲線變得較平坦些，即溫度越高，速率大的分子越多，這就是通常所說的溫度越高，分子運動越劇烈的真正含義[3]；右圖中實線是二氧化碳的速率分布曲線,虛線是氧氣的速率分布曲線，長劃線是甲烷的速率分布曲線，在相同溫度下，對不同種類的氣體，質量大的，速率分布曲線中的最概然速率vp向量值減小方向遷移，因總面積不變，所以，分布曲線寬度變窄，高度增大，整個曲線比質量小的顯得陡些，即曲線隨分子質量變大而左移.

3 等勢線的模擬

假設有一對電偶極子，坐標分別為(-1.01，0)和(1.01，0)，編程語句如圖3(a)所示，等勢線[4]運行結果如圖3(b)所示.

圖3 電偶極子的等勢線

通過圖3，我們可以清晰地觀察到電偶極子的電勢分布，正電荷的電勢像一山峰，負電荷的電勢像一海谷，而且山峰的高度等于海谷的深度.

4 光柵衍射的實驗結果模擬

在光柵衍射中，相鄰兩主極大之間還分布著一些暗條紋，這些暗條紋是由各縫射出的衍射光因干涉相消而形成的，在相鄰兩暗紋之間的位置光強并不為零，但其強度要比各級主極大的光強小得多，稱為次級明條紋.當單縫衍射的暗條紋位置與多縫干涉的主極大明條紋位置重合時，就會出現(xiàn)暗條紋，這種現(xiàn)象稱為缺級現(xiàn)象[5].設光柵常數(shù)為2 μm，縫寬為1 μm，入射光波長為500 nm，光振幅為1，編程語句如下：

d:=2,a:=1,A:=1,λ:=0.5

θ:=-π,-π+0.01..π 自變量范圍

運行結果如圖4所示.

圖4 光柵衍射光譜圖

從圖4可以看出，當縫數(shù)為4時，兩個主極大之間有3個暗紋，2個次極大.還可以看出，±2,±4,±6,…級缺級.

光柵衍射的光譜形狀以及缺級現(xiàn)象的表現(xiàn)都是教學中比較難理解的內容，而實驗結果又無法直接顯示.通過MathCAD模擬的實驗現(xiàn)象，如圖4所示，可以把空洞的實驗描述具體化，從而幫助學生直觀地了解光柵的縫數(shù)以及縫寬對衍射圖樣的影響、缺級現(xiàn)象在衍射圖譜中的表現(xiàn)形式.

物理學是一門實驗的科學，因此大學物理教學不可能完全獨立于物理實驗而進行.而在基本知識和原理的講授過程中，更需要不斷地通過實驗來加以佐證，但由于教學資源和實驗條件的限制，不可能實現(xiàn)理論教學和實驗教學同時進行.為了彌補這種缺憾，可以通過計算機模擬實驗結果以達到同樣的教學效果.

5 結論

通過上面的一些應用可知，MathCAD是一款功能強大的數(shù)值計算軟件，使繁瑣的數(shù)學運算變得簡單，并且有出色的繪圖功能.通過模擬物理現(xiàn)象，使其變得直觀、形象，可以提高課堂教學的效率和質量，MathCAD在大學物理課程教學中是一個非常有效的輔助工具.