理解軸對稱 感受數學美

文／萬廣磊

同學們學習了圖形的平移之后，又將學習圖形的軸對稱。這是另一種幾何圖形變換，也是中國傳統美學中的經典運用。

一、總結和歸納本章內容的結構美

在本章的學習中，同學們可以類比學習平移的方法研究軸對稱：從生活中提煉軸對稱模型→通過畫圖歸納軸對稱的概念→通過圖形變換理解軸對稱圖形的性質→在生活中運用軸對稱解決問題。

具體我們將建立下面的知識結構，如圖1，同時感受一下學習內容的結構美。

圖1

二、發現和欣賞生活中的對稱美

在生活中，樹葉（圖2）、雪花（圖3）、蝴蝶（圖4）等是對稱的；中國古詩中的對仗、民間的對聯等都有一種內在的對稱關系。對稱是藝術家們創作藝術作品的重要準則。建筑藝術中對稱的應用就更廣泛了，比如北京故宮、天安門、人民英雄紀念碑、天壇（圖5）等。

圖2

圖3

圖4

圖5

同學們要能發現并欣賞生活中的圖形帶來的軸對稱美，用美好的心情學習數學，享受數學帶來的快樂并創造更多的數學美。

三、探索和歸納數學題中的思維美

我們在學習的過程中，掌握數學知識的多少并不是最重要的，最重要的是我們是否領悟到了數學的精神。這種領悟數學精神的過程就是數學美的創造過程，是數學美的升華，是高階的思維美。

同學們在解決數學問題時，要結合條件和幾何圖形，強化對稱意識，構造基本圖形。比如由線段的垂直平分線想到兩條相等的線段，由角平分線想到兩條垂線段相等，由等腰三角形想到兩腰、兩個底角相等，由直角三角形想到斜邊中線構造出的兩個等腰三角形。如果圖中沒有出現兩個相等元素，那就通過添加輔助線的方法構造。

例如，如圖6，已知AB是等腰直角△ABC的斜邊，AD是∠A的平分線。求證：AC+CD=AB。

圖6

這道題具有多個特征，可用很多作輔助線的方法來證得。比如，以AD為對稱軸，點C（或B）的對稱點必落在AB（或AC的延長線）上；以AC（或BC）為對稱軸，點B（或A）的對稱點必落在BC（或AC）的延長線上等。再結合等腰直角三角形的性質即可解決。

四、感受和掌握幾何圖形的運動美

我們不僅要關注靜態的幾何圖形，還要關注其動態呈現。幾何圖形的呈現，靜中有動，動中有靜，深刻反映了數學的靜態美與動態美。同學們在分析幾何圖形時，要能從圖形的平移、軸對稱、旋轉等角度理解問題中幾何圖形之間的位置關系，在圖形的運動中找到元素之間的相等關系，繼而進行推理論證。

例如，如圖7，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，以OC為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD。當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；探究：當α 為多少度時，△AOD是等腰三角形？

圖7

同學們可以嘗試做一做，注意進行探究時，要分情況討論。

通過以上思考，同學們去發現美，去欣賞美，形成對數學美的規律性認識，再用這些規律去猜想、去探索、去發現、去分析、去解決數學問題，從而達到數學審美的最高境界——應用數學美和創造數學美。