小學數學幾何概念建模之實踐探究

張宏

[摘 要]對學生來說，幾何概念一般是比較抽象的，學生直接認識起來比較費力，因此對于幾何概念的建模，一直是許多教師想著力解決的問題。教師總結出幾何概念建模的幾個注意點：一是要重視從具體到抽象的過程;二是要重視對幾何概念本質的探究;三是要重視變式的運用。

[關鍵詞]幾何概念;建模;三角形的高

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0076-02

在小學數學教學中，有關幾何概念的教學是一個比較重要的內容。學生在學習時，對于幾何概念往往把握不準。如何對幾何概念進行建模，筆者做了很多嘗試。就拿“認識三角形”這堂課來說，這是一節典型的幾何概念教學課，課程要求學生認識三角形的基本特征、知道什么樣的圖形是三角形，并且認識三角形的高。對于“三角形的高”這一幾何概念，不同的施教者采用的教學設計也不同，每一個設計在今后進行幾何概念建模時都有一定的指導意義。下面筆者就以“認識三角形的高”教學為例，談一談在進行幾何概念建模時應該注意的幾個方面。

一、重視從具體到抽象的過程

概念一般都是比較抽象的，幾何概念也不例外，學生直接認識起來比較費力，因此對幾何概念的教學，教師需要通過具體事物引導學生去抽象、概括、認識。

例如，在“認識三角形”這一節課中對于“三角形的高”的認識，教學設計如下。

師：一些房屋的頂部是包含了三角形的“人字梁”結構，大家請看，從圖中（圖1）你能量出“人字梁”的高度嗎？你量的是哪條線？

（單位：米）

生：量最中間的那條。

師：如果我只留下外面的三角形（圖2），你還能量出它的高嗎？怎么量的？（教師讓學生在黑板上演示量法，演示完后，教師順勢講解三角形的高的概念，并介紹三角形的高的畫法）

對于初學者來說，“三角形的高”這個知識點要想真正理解是比較費力的，教師先是讓學生找出能代表“人字梁”高度的那條高，緊接著將“人字梁”抽象為一個三角形，再讓學生去找三角形的高，將找具體事物的高轉變為找三角形的高。學生在“人字梁”的支撐下，通過腦海中建立的表象很順利地找出三角形的高。

二、重視對幾何概念本質的探究

對于“一個幾何概念，為什么這樣界定”的問題，學生不但要知其然，而且要知其所以然。對于幾何概念“三角形的高”，如果學生只是認識了高和會作高，那還僅僅是停留在知識的表面。大家都知道，三角形的高是頂點到對邊的垂直線段，雖然是簡簡單單的一句話，但是要想真正理解高，就需要知道三角形的高到底影響了三角形的什么特性，教師要讓學生透過現象看本質，從而建構 “三角形的高”這一幾何概念。

師：這兩個三角形有什么不同（圖3）？

生1：高度不同，左邊的三角形個子矮，右邊的三角形個子高。

（教師隱去左邊的三角形）

師：你會量三角形的高嗎？

（學生獨立操作，教師請學生上臺演示并總結量法）

師：其實測量三角形的高就跟測量人的身高類似，你能從下圖中（圖4）找到兩者的共同點嗎？

生2：都要站得直直的，而且要量最頂端。

教師先通過一高一矮兩個三角形，讓學生關注到兩個三角形的不同點在于它們的高度不一樣，這其實就是兩個三角形底邊上的高不同所引起的。接著教師讓學生自己嘗試測量三角形的高，由于學生腦海中已經初步有了對高的印象，自然會嘗試著測量它的高，這個時候教師再適時糾正、總結方法，最后比較測量身高的方法與測量三角形的高的方法，找出兩種測量方法的共同點，學生就能很自然地把握住三角形的高的本質特征：三角形的高其實就是頂點到對邊的垂直線段。

三、變式的運用可以內化幾何概念的建模

學生如何將學到的幾何概念進行再加工，并內化為自己的知識，這需要教師采用多變的手段將幾何概念進行深度加工。前面學生已經初步認識了三角形的高，但這是不夠的，在認識三角形的高時，需要打破學生的思維定式，讓學生體會三角形的高和底的對應關系，并且通過探索知道三角形高的條數，下面的三種設計通過不同的方法恰如其分地做到了這一點。

【設計一】

師：請同學們將下面這三個三角形底邊上的高畫出來（圖5）。

師：大家都能很快地將三角形底邊上的高畫出來，這三個三角形有怎樣的特點？

（學生一臉茫然，教師將三個三角形重疊得到圖7后學生恍然大悟）

師：其實這三個三角形是同一個三角形。大家觀察一下，發現了什么？

生：這個三角形一共有3條高，它的每一條邊都可以作為底，并且每條底都有與它對應的高。

學生往往會形成思維定式：三角形的底只能是最下面的一條邊，三角形的高一定是從上至下的。那怎樣打破這種思維定式呢？只要通過旋轉，讓三個三角形合為一體，學生就會豁然開朗：原來剛剛畫的高其實是同一個三角形不同邊所對應的高啊！學生對三角形的高的認識得到完善。

【設計二】

師：請同學們分別將三個三角形底邊上的高畫出來（圖8）。

學生給出以下答案（圖9）。

師：從這些答案中，你們發現了什么？

生：這三個三角形都是一樣的，但不同的底對應不同的高。

直接出示圖8，底標在了同一個三角形中不同的邊上，學生自然體會到三角形的每條邊都可以作為底，在畫出每條邊對應的高后，將三個圖形重合，讓學生明白一個三角形有3條高。

【設計三】

師：請同學們畫出以下三角形的高（圖10）。

（學生給出如圖11所示答案）

（教師將圖11在視屏展示臺上進行手動旋轉，讓學生觀察）

師：通過觀察，你們發現了什么？

生：底和高是對應的，底在動，高也在動。

這一設計，原先只標注了三角形最下面的一條邊為底，讓學生畫高，在學生畫完高后，通過旋轉圖形，讓底轉到不同的位置，學生體會到底不一定都是在最下面，進而理解三角形的三條邊都可以作為底，對底和高的對應關系有了深刻的認識。

三種設計都是通過三角形的高的變式，讓學生在變化中體會三角形的底和高的對應關系，并知曉一個三角形有3條高。由上可見，變式的運用對幾何概念建模的重要性。

借鑒以上對“認識三角形的高”的不同設計和分析，在今后對于幾何概念的建模中，筆者相信大家一定能有所收獲。

（責編 黃 露）