挖掘數學模型 經歷建模過程 感悟模型思想

張玉琴

[摘 要]模型思想的建立可以打通數學知識與現實世界的聯系，培養學生的應用意識和解決問題的能力。小學數學課堂教學中建立模型思想，即應引導學生挖掘教材的數學模型，經歷數學建模的基本過程，從而感悟數學模型的思想。

[關鍵詞]數學模型;建模過程;模型思想

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0047-02

課程標準指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。”在小學數學教學中，模型思想的建立可以打通數學知識與現實世界的聯系，培養學生的應用意識和解決問題的能力。筆者通過理論研究并結合自身的教學實踐，提出了建立模型思想的幾個基本策略，以拋磚引玉。

一、挖掘教學內容中的數學模型

張奠宙先生曾說：“數學中各種基本概念和基本算法都可以叫作數學模型，加、減、乘、除都有各自的現實原型，其都是以各自相應的現實原型作為背景抽象出來的。”小學數學教材蘊藏著豐富的數學模型，充分挖掘這些數學模型，是有效滲透模型思想的前提。小學數學四大模塊中都有數學模型，這就要求教師要深度研究教材，努力挖掘教材中蘊含的數學模型，在教學中有意識地融入和滲透數學模型思想，激發學生的模型意識。

例如，在“數與代數”模塊，教師引導學生把“幾個幾相加”的算式寫成兩個數相乘的形式，使學生建立起乘法的模型;通過畫圖和舉例的方法引導學生建立起乘法結合律的數學模型：（a×b）×c=a×（b×c）。又如，在“幾何與圖形”模塊，引導學生利用“倍拼法”或“割補法”建立三角形面積模型S=（ah）÷2;引導學生利用轉化法把圓柱轉化成長方體，建構起圓柱的體積模型，即V=S底×h。在“統計與概率”模塊，引導學生采用“移多補少法”或“先求和再平均法”建立起平均數的數學模型;在“實踐與應用”模塊，引導學生建立起烙餅、植樹、田忌賽馬、雞兔同籠、爬樓梯等問題的數學模型。

二、經歷數學建模的基本過程

波利亞認為，學習任何知識的最佳途徑是通過自己的實踐活動去發現 。課程標準明確指出， 從學生已有經驗出發， 讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時， 在思維能力、 情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。因此，要培養學生的模型意識，應使學生親身經歷數學建模的基本過程。

現以“乘法分配律”進行簡述。

1.創設情境，感知模型

數學模型源于現實生活，與現實生活有著千絲萬縷的聯系。對于學生而言，當學習的材料來自現實生活時，才會充分激發學生的學習興趣 ;當數學和一些有趣的事情密切聯系時 ，數學才是富有生命力和吸引力的。因此，教師可結合教材知識，為學生呈現具體的、生動的、與現實生活聯系密切的情境，讓學生運用已有的經驗初步感受生活中蘊含的數學問題，從而為學生將現實生活中的問題抽象成數學問題開辟道路。這樣，學生經歷了將實際問題數學化的過程，感受到了數學所特有的生活化，為培養學生模型思想提供了平臺。

【教學片段1】

師：在一個長方形花圃（如圖1）里分別栽有郁金香和玫瑰花，那么這個花圃一共占地多少平方米？

生1：（36+24）×15=900（m2）。

生2：36×15+24×15=540+360=900（m2）。

師：如果要在這個長方形花圃的外圍圍上柵欄，柵欄至少需要多少米？

生1：只需要求出周長就可以了。花圃的長是36+24=60（m），寬是15 m，所以其周長是（60+15）×2=150（m）。

生2：60×2+15×2=120+30=150（m）。

師：通過上面的計算，我們得到等式（36+24）×15=

36×15+24×15和（60+15）×2=60×2+15×2。

“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題”是數學建模的首要環節。教學中，教師借助生活情境，使學生從現實生活的角度思考問題，激活了學生的已有經驗。學生通過計算和分析，初步感知了數學模型。

2.抽象概括，構建模型

構建模型是一個循序漸進、由淺入深的過程，如果僅僅憑借得出的兩個等式就對乘法分配律的數學模型進行概括，未免過于“單薄”，進而也會影響學生對該模型的深度認知。這就需要教師為學生提供更加豐富的學習材料，為學生從知識表象中抽象出本質規律“造勢”。在這個過程中，教師要充分激發學生原有的生活經驗和調動學生的知識儲備，讓學生經歷猜測、驗證的推理過程，引導學生主動對學習材料進行歸納和運用，從而讓學生體驗現實問題數學化、數學問題模型化的完整過程。

【教學片段2】

師：請觀察這兩組等式，說一說你有什么發現。

（36+24）×15=36×15+24×15

（60+15）×2=60×2+15×2

生1：左邊是先算和，再算積，右邊是先算出積，再把這兩個積加起來。

生2：左右兩邊最后一個數字都是一樣的。

師：你還能再舉出一些這樣的例子嗎？

生3：（4+6）×12=4×12+6×12。

生4：（10+5）×7=10×7+5×7。

……

生1：這樣的例子有很多，永遠也舉不完。

師：這是我們已經學過的14×12的點子圖，你能看懂嗎？

生5：把12分成10和2，即14×12=14×（10+2）=14×10+14×2。

生6：原來運用點子圖也可以證明這種運算方法的正確性。

師：你能概括出這種式子的特點嗎？

生7：一個數加上另一個數的和乘以一個數等于一個數乘這個數，加上第二個數乘這個數。

師：你還能再舉出一些這樣的例子嗎？

生8：一個轉筆刀2元，一個文具盒5元，淘氣買了轉筆刀和文具盒各3個，那么淘氣一共需要付多少錢？這道題既可以先算出一個轉筆刀和一個文具盒一共多少錢，再乘它們的個數，列式為（2+5）×3=21（元），也可以先算出買轉筆刀花了多少錢，再算出買文具盒花了多少錢，然后把二者加起來，列式為2×3+5×3=21（元）。因此可以得出（2+5）×3=2×3+5×3。

師：請用自己喜歡的方式表達乘法分配律。

生9：（A+B）×C=A×C+B×C。

生10：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

生11：（△+□）×☆=△×☆+□×☆。

上述教學中，學生通過觀察和分析，形成對乘法分配律模型的初步認識，教師再通過圖形表征、語言表征、符號表征等形式使學生逐漸加深對乘法分配律的認知，使學生在自我否定和不斷補充完善中抽象出數學模型，親身經歷建構模型的過程。

三、感悟模型思想

課程標準明確指出： “數學思想蘊含在數學知識形成、 發展和應用的過程中， 是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括， 如抽象、 分類、歸納、 演繹、 模型等。學生在積極參與教學活動的過程中， 通過獨立思考、 合作交流， 逐步感悟數學思想。”然而，數學思想比數學知識要抽象得多，數學思想不能照搬、不能復制，只能依靠學生通過親身體驗去感悟，模型思想亦是如此。盡管模型思想具有“只可意會，不可言傳”的特質，但是模型思想并非難以捉摸。學生感悟模型思想具體可從以下兩個方面著手：一是在學習知識的過程中親身體驗模型建立的完整過程，并在這個過程中感悟模型思想;二是多分析、多思考，在應用中進一步深化模型思想，提升自身運用數學知識解決問題的能力。

例如，在構建“植樹問題”的數學模型后，教師安排了“模型應用，解決問題”的環節：學校召開運動會，在筆直的跑道一旁插彩旗。跑道的長度是100米，每隔2米插一面彩旗（兩端都要插），一共需要多少面彩旗？此外，教師進一步引導學生聯系現實生活，尋找生活中的“植樹問題”，從而進一步加深學生對“植樹問題”數學模型的認識。

通過應用模型解決現實問題，引導學生主動將生活中的實例與“植樹問題”相聯系，既使學生驗證了模型的正確性，也使學生的數學思維得以升華和發展，使學生意識到“植樹問題”數學模型并非單一用于解決“植樹問題”，它可以解決生活中的很多問題，由此使學生的模型思想逐漸變得“豐滿”起來。

總之，在小學數學教學中，教師要合理設計數學活動，注重滲透數學模型思想，使學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，激發學生研究數學建模的興趣，提升學生數學建模的能力，使學生逐漸養成應用數學模型分析問題和解決問題的意識和能力，使數學學習真正成為積淀素養的過程。

（責編 黃春香）