算法多樣化，一個美麗的誤導

鄭大明

義務教育數學課程標準和與其配套的教材，為了突出問題解決的策略性知識的學習與掌握——解決一個問題不限于一種思路或者一種辦法，提出了“算法多樣化”。但在 “新課改”和“三課四學”的實踐中發現，“算法多樣化”這個說法給師生帶來了許多的誤會和糾結。特別是算法“多樣化”與“優化”的爭論，算理與算法的混淆，使得一線教師十分苦惱。

一、問題的提出

1.關于“算法多樣化”的研究

為了把研究學生學習計算的算理算法的狀況搞清楚，筆者先在中國知網上輸入“算法多樣化”這個短語，出現了333條結果（如表1）;再在百度上輸入“算法多樣化”這個短語，搜索到119 000條信息。看來，學術研究上明顯不足，一線教師的關注度更高。

最早一篇關于“算法多樣化”的文章是北京師范大學劉堅和張春莉老師在1999年2月以數學課程標準研制小組名義發表在《教育研究與實驗》上面的《關于我國數學課程標準研制的初步設想》，該文提出了“重視心算，加強估算，淡化筆算，引進計算器，算法多樣化”的主張。往后的文章就是專家和一線教師圍繞“算法多樣化”進行的解讀或者實踐研究的經驗介紹，也有很多人提出了算法“多樣化”與“優化”的討論。

2.課程標準關于“算法多樣化”的主張與刪減

《義務教育數學課程標準（實驗稿）》關于“算法多樣化”的主張如表2所示。

此外，在教學方法多樣化、問題解決策略多樣化、評價多樣化等方面，還給出了較多的提示和建議。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》刪除了“算法多樣化”主張。教學實施建議第七條“教學中應當注意的幾個關系”中，關于“面向全體學生與關注學生的個體差異”的條文中提到：“在教學活動中，要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，恰當評價學生在解決問題過程中所表現出的不同水平;問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的策略，并引導學生通過與他人的交流選擇合適的策略，豐富數學活動的經驗，提高思維水平。”這里沒有出現“算法多樣化”的字樣，只在“解決問題”和“教學評價”中，適度使用了“多樣化”等詞語。

因此，在新修訂的數學課程標準中對“算法多樣化”的處理方式應引起高度重視。

二、問題的表現

課程標準中 “算法多樣化” 的刪減沒能引起教師的注意，但是“算法多樣化”給課堂教學帶來了深遠的影響。以北師大版教材為例，不少教師存在混淆算法與算理的問題。

【案例1】北師大版教材一年級上冊“有幾瓶牛奶·9加幾”（如圖1）

很多教師都認為，學生要通過教材這個例題掌握以下幾種算法。

1.擺小棒法：（1）一根一根地擺，擺出14;（2）9根加1根，合成10根，再與4根合并為14根;（3）5根與5根合成10根，再與余下的4根合成14根。

2.圈圖法：9根與1根圈在一起得到10根，再與4根合成14根;5根與5根圈在一起，先得到10根，再與4根合成14根。

3.數數法：從9后面接著數，10，11，12，13，14，連續數5個數。

4.湊十法：把5分成1和4，1和9湊成10，10加4得14。

5.計數器法：個位上先撥9個珠子，再撥1個，變成10個;滿十向十位進一;再在個位上撥余下的4個珠子，得14。或者看教材上畫的圈珠子圖片，個位上14顆珠子，圈出10個向十位進一，余下4個珠子，得14（與計數器上不一樣，學生無法操作）。

6.講述法：把5分成4和1，9和1湊成10，10加4是14。

對于教材中編排的“智慧老人問：‘還有別的方法嗎？”，教師和學生都毫無頭緒。

【案例2】北師大版教材二年級上冊“回收廢電池·兩三位數加法”（如圖2）

很多教師都認為，學生要通過教材這個例題至少掌握四種算法。

1.口算法：先加整十數，122加70;再加個位數，192加7，得199。

2.數線圖法：先畫出122加70，再畫出192加7，得199。

3.計數器法：先撥122，再撥77，得199。

4.豎式法：先寫122，相同數位對齊，寫上149，然后依次從個位加起;個位滿十的要向十位進一，得271。

【案例3】北師大版教材三年級下冊“隊列表演·筆算兩位數乘法”（如圖3-1、圖3-2）

三年級的兩位數乘法是非常重要的知識，但是教師認為這樣教給學生的算法太復雜，學生很難把握，所以普遍教學以下算法。

1.數點子法：按排數，12排;再按列數，14列。即每排14個，一個一個地數，得出12個14的總數是168。

2.分點子數法：（1）將其中一個數分成兩個一位數，用原有的方法算出答案。如把12排分成2個6排，數出6個14是84，2個84就是168。（2）把14列分成2個7列來數，7個12是84，2個84是168。（3）把12排分成10排和2排來數，得到一個整十數140與2個14，和是168。（4）把14列分成10列和4列來數，得到整十數120與4個12，和是168。（5）橫豎先各取10個點子，分成4個點陣來數。第一個點陣，10個10是100;第二個點陣，2個10是20;第三個點陣，4個10是40;第四個點陣，2個4是8;四個點陣的數合計168。

3.拆數法1：把兩位數拆成兩個一位數的積。（1）14×12，把12看成6和2的積，14乘6得84，84再乘2得168。（2）14×12，把14看成7和2的積，12乘7得84，84再乘2得168。

4.拆數法2：把兩位數拆成整十數和一位數的和。（1）14×12，把14看成10與4的和，10乘12得120，4乘12得48，120加48得168。（2）把12看成10與2的和，14乘10得140，14乘2得28，140加28得168。

5.拆數法3：把整十數拆分出來先算。14×12，把14看成10與4的和，把12看成10與2的和。10乘10得100，2乘10得20，4乘10得40，2乘4得8。100加20，再加40，再加8，得168。

6.口算法：14×12，14×10=140，14×2=28，140+28=168

7.表格法：

100+40+20+8=168

8.豎式法：

從以上三個教學案例可以看出，教師的準備和教學十分認真，但是給學生講完這些算法后，學生的感覺完全可以想象。

三、問題的解決

因為“算法多樣化”的誤導，計算教學產生了“后遺癥”：教師怕沒有落實“新課標”的要求而造成了什么損失，于是就糊里糊涂地教，學生就糊里糊涂地學。下面給出一些對策，也提出一些思考。

1.糊涂的算法“優化”，解決了不需要全部掌握的問題

有些教師想出了一條妙計就將其歸為“算法優化”。課堂上就常常聽到 “這么多算法，你喜歡哪一個？”，學生總會找一個自己喜歡的、最簡單的算法。于是，教師就說：“你們真聰明！那就選一個最喜歡的方法來計算吧！”這樣，教師就如釋重負：因為他們既落實了“新課標”提倡的“算法多樣化”精神，也了卻了自己的心愿——尊重學生的選擇。但是這樣的教學效果非常差，中下水平的學生基本上是暈乎乎的，只是按自己喜歡的“豎式”“口算”去解題，那一大堆的小棒以及數線圖、點子圖就成了學生最不喜歡的“算法”。更有一些教師只在公開課擺擺小棒、撥撥計數器、畫畫圖，平時就直接教學生“口算題”和“豎式題”。家長和教師都認為：算對就好，簡單就好，別把孩子搞得“雞飛狗跳”的。

2.創新的“拓展”設計，解決了計算教學講不清算理的問題

為了計算教學既生動活潑，又能把算理說明白，有些教師創造性地設計了許多分清計算中的“理”與“法”的辦法：巧妙地使用現實情境，先講“理”再講“法”;學生先自己看書討論，等有“法”了再來講 “理”……效果都不錯。

（1）文字法講算理：如214+35。214是由2個百、1個十和4個一組成的，35是由3個十和5個一組成的， 所以先把4個一與5個一相加得9個一， 再把1個十與3個十相加得4個十，最后把2個百、4個十和9個一合并得249。

（2）圖形法講算理：選一個典型的算式，引導學生畫數線、圓圈、點子圖……

（3）工具法講算理：與學生一起擺小棒、撥計數器、打算盤……

（4）情境法講算理：設計現場、運用實物、講故事、畫繪本、演課本劇……

好的教師都是說：“你們真聰明，用了這么多辦法說明為什么要這樣算的道理。”而不是 “看，這么多計算方法，選一個自己喜歡的方法做題吧！”相較之下，學生的感受高下立見。

3.真正的“專業”化理解，解決了計算教學的困境問題

為什么要“專業”化理解呢？就是要從數學教學的理論與實踐的角度來研究算理與算法的本質，把握好計算教學的尺度，既要學會計算本身，也要掌握解決問題的策略。

首先從知識分類學來研究，搞清楚計算教學中三個關鍵問題：

（1）什么是算理？

算理，就是計算的道理。按照知識分類學理論，算理屬于陳述性知識，是用來回答“為什么”的。與其相聯系的還有一個回答“是什么”的陳述性知識，即常說的算式的“意義”。回答“為什么”之前，往往先回答“是什么”或者“怎么樣”。比如：

教師問：“3只貓加上4只貓，是幾只貓？”

學生答：“用加法算，把它們合起來數，結果是7只貓。”

教師問：“那3只貓加上4只狗，是多少呀？”

學生甲說：“不知道。”

學生乙說：“還是用加法算，把它們合起來數，就是7只動物。”

教師表示很奇怪：“怎么有人說不知道，有人又算出是7只動物了呢？”

學生甲說：“我不知道加起來是貓還是狗呀。”

學生乙說：“我也不知道是貓是狗，但是老師沒有問是什么，我覺得它們都是動物，就把它們合起來數，得到7只動物了。”

教師很高興：“大家覺得他們說得對嗎？該不該鼓掌？”全班掌聲雷動。

教師說：“看來無論算得出還是算不出都有道理。只要大家開動腦筋，就不會做錯題了。”

那么，專業上提到的算理是什么意思呢？算理，就是用來解釋為什么可以這樣計算的一種事實、規則或者規律。

案例1中，在解釋為什么“9+5=14”時，教材所用的方法有“數小棒”。第一種數法是從9接著數5個數，正好得14;第二種數法是先從5里面數出1根，和9根湊成10根，還余下4根，再合起來就得14根。算完了，算對了，這就是用擺事實的方法說清楚了為什么“9加5得14”。

計數器主要是解釋為什么“滿十要進一”。計數器每個數位上都有10個珠子，個位上的1個珠子表示1個“一”，十位上的1個珠子表示1個“十”。當這個計數規則確定后，就能說明“9+5=14”的道理了。個位上有9個珠子，再數1個珠子，個位就放滿10個了，還有4個珠子沒地方放。于是就規定用十位上的1個珠子來代替個位上的10個珠子，另外的4個珠子就可以放到個位上去了（注：新修訂的一年級數學教材的處理方式破壞了這樣的規則）。這樣一來，無論是“9+7”還是“8+6”，都可以解釋“滿十進一”的做法了。因此，算理是可以“以此類推”的，沒必要每道題都講一遍。

案例2和案例3的數線圖、點子圖、表格等主要都是用來說明計算“122+77=199”“122+149=271”“14×12=168”等算式的計算道理的，但不是每道計算題都必須使用這些方法才可以算出得數。

低年級常用的這些講算理的方式和思維方法，專業上叫作“實物直觀”“幾何直觀”“情境直觀”等。高年級的計算中用來說明計算道理的除了這些“直觀”方式，還有“五大定律”“商不變的規律”“等式性質”等。

（2）什么是算法？

算法，就是計算得出結果的做法。按照知識分類學理論，算法屬于程序性知識，是用來回答“怎么做”的。計算是一種行為過程，它既包含思考過程也包含觀察過程和操作過程，需要在現實計算活動中總結出怎么做的程序、步驟與方法，即先做什么和怎么做，后做什么和怎么做，然后按照這個程序、步驟、方法就可以完成所有類似的計算。比如案例1的算法就是“接著數”和“先數1個湊成10，再把余下的數相加”兩種算法。算法都可以在圖和計數器上表示出來，也可以用小棒擺出來，從而說明道理。

案例2的算法就是“相同數位對齊，從個位加起，滿十進一”，可以用畫數線圖、撥計數器等方式說明這種算法正確的道理。

案例3的算法有兩層意思：第一層是先用兩位數乘兩位數的其中一個數，用拆分為“兩數的和”或者“兩數的積”的方法，轉化為“兩位數乘一位數”和“兩位數乘整十數”的連乘或者乘加混合的算式，然后用學過的方法計算;第二層是采用“豎式法”記錄前面部分算法的計算過程，這樣更容易看清楚計算的過程，從而提高計算正確率。因此，教材主要使用點子圖、表格等介紹與展示這些不同算法的合理性。

（3）算法真的多樣嗎？

算法是可以多樣的，但不是教師理解的那么多。算法的多樣，源于解決問題的思維起點的多樣化。比如案例1中的“接著數”和“先數1個再湊10”就是不同的思維起點，雖然都是數數，但是數數的方式有差異，也就是說兩種算法有所不同。

如果教師把用來講算理的方法全部當成了用來計算得數的方法，那很多學生就不愿意去擺一擺、畫一畫、演一演，這樣，學生的思維能力、積累活動經驗能力、實踐能力和創新能力等就得不到相應的培養。

因此，教師需要認真研究教材中的算理與算法，正確地把握計算教學的本質，教給學生解決問題的策略性知識，從而提高數學教學質量。

（責編 金 鈴）