平板錐形膜盒應力強度因子計算

董鵬鵬 賀啟林 王海洲 王儒文

平板錐形膜盒應力強度因子計算

董鵬鵬 賀啟林 王海洲 王儒文

(北京宇航系統工程研究所 深低溫技術研究北京市重點實驗室，北京 100076)

基于梁理論和薄板理論分別建立了平板錐形焊接膜盒的理論計算模型，推導了膜片焊菇處裂紋尖端的應力強度因子在軸向外載和壓力下的計算公式。為評估理論計算公式的準確性，基于ABAQUS的圍線積分方法計算了裂紋尖端的應力強度因子。結果表明薄板模型的應力強度因子計算結果與有限元解吻合更好，誤差在10%以內。

平板錐形；焊接膜盒；理論模型；應力強度因子；圍線積分

0 引言

目前我國運載火箭的蓄壓器和保險閥多使用平板錐形金屬焊接膜盒。蓄壓器中的膜盒（圖1）是抑制火箭POGO振動的關鍵部件[1]，保險閥中的膜盒（圖2）是感受壓力的敏感元件[2]，膜盒在工作過程中要經歷反復充壓和振動環境，因此必須具備足夠的強度和疲勞壽命。閥門和蓄壓器等產品的膜盒是由多個膜片利用精密焊接技術沿其內外邊緣焊接而成的管狀元件，每件膜盒的焊縫數量從幾十到幾百條不等，其結構特點決定了焊縫應力具有典型的集中分布特征[2,3]，在振動載荷作用下，疲勞裂紋擴展是典型的失效模式。目前有關焊接膜盒的研究主要采用傳統分析方法研究其強度、剛度、穩定性和疲勞壽命。樊大鈞[4]基于旋轉殼方程，推導了焊接錐形波紋管（焊接膜盒）在受集中力和均布壓力的情況下，其殼體的基本微分方程。王亞軍等[5]針對平板錐形金屬膜盒，得出適用于拉伸、壓縮軸向剛度不一致的膜盒抗彎剛度計算方法。劉錦凡[6]指出蓄壓器金屬膜盒具有一定的機械剛度，其會影響蓄壓器對POGO的抑制效果。余峰等[2]對保險閥膜盒疲勞斷裂問題進行了機理分析，表明膜盒焊縫存在明顯的應力集中，容易發生疲勞破壞。這些傳統分析方法未能充分考慮焊接膜盒應力集中的特點，而膜盒的破壞是典型的裂紋擴展導致的破壞，為更好評估焊縫應力集中的程度，需要計算焊縫處的應力強度因子。國內外學者在應力強度因子的求解方面已有較多研究，以前的應力強度因子求解主要有圍線積分[7,8]、擴展有限元[9,10]、虛擬裂紋閉合技術[11]以及理論求解。焊接膜盒作為一類典型的軸對稱結構，在受軸對稱載荷下的應力強度因子理論分析具有較普遍的應用價值，國內張淳源[12]針對雙梁模型開展了理論推導，除此以外未看到對類似結構的理論求解。為方便工程中快速計算平板錐形膜盒的應力強度因子，滿足工程設計，本文建立了膜盒的梁模型和薄板模型，推導了平板錐形膜盒應力強度因子計算公式，并將理論計算結果與ABAQUS仿真結果進行了對比和分析。

圖1 蓄壓器的膜盒結構

圖2 保險閥結構

1 應力強度因子理論計算

1.1 應力強度因子與外力功的關系

圖3 平板錐形膜盒膜片結構圖

表1 膜片參數尺寸

根據線彈性斷裂力學理論，I型裂紋的應力強度因子與能量釋放率的關系為

式中代表I型裂紋的能量釋放率，為I型裂紋的應力強度因子，對于平面應力來說，對于平面應變，為材料的彈性模量，為泊松比。取圖3中的一對膜片，并沿膜片周向截取單位長度，如圖4所示，其受到軸向集中力和均布載荷的作用，對于絕熱系統，能量釋放率的計算可以根據系統的能量變化關系確定，如式（2）所示。

目前僅考慮線彈性，因此不存在塑性功。而裂紋擴展單位面積釋放的能量為

對于圖4中的單個膜片，在彈性范圍內，外力功與應變能為

將（7）、（8）代入式（3）和（4），系統能量釋放率可以表示為

式中為裂紋長度，為厚度（本文取單位厚度=1），將式（9）代入式（1）即可求出應力強度因子為

1.2 梁模型的應力強度因子

膜盒膜片是軸對稱旋轉殼體，如圖3所示，為求解其應力強度因子，可取用半個波，由于波高比內外徑小得多，可取周向截取寬度單位為1的小段，近似為梁[13]，在軸向力的作用下，其力與位移的關系如圖5所示。

圖5 梁模型

圖5中，C點力矩平衡有

梁的應變能為

將式（14）代入（13），結合式（6），外力功為

將式（15）代入式（10）可得應力強度因子為

裂紋長度（a=13.9mm）下，應力強度因子隨軸向力P和分布力q變化的曲線如圖6所示。

1.3 薄板模型的應力強度因子

圖7 膜片受力圖

邊界條件如式（23）所示

式中

將式（26）代入式（10），求出平面應變下應力強度因子表達式，如下式所示

應力強度因子隨軸向力和分布力q變化的曲線如圖8所示。

2 應力強度因子有限元計算

對于應力強度因子的求解，ABAQUS軟件提供了圍線積分法、擴展有限元法、虛擬裂紋閉合技術三種求解方法，對于靜態裂紋，使用圍線積分的方式較為簡單，設置材料屬性時不需要對破壞準則與裂紋擴展條件相關參數進行定義。求解過程如圖9所示。

表2 應力強度因子計算結果

圖9 有限元求解步驟

圖10 膜片結構及其剖分圖

圖11 裂紋尖端奇異單元

圖12 應力應變云圖

表3 應力強度因子計算結果

圖13 應力強度因子變化曲線

3 計算結果分析

將梁模型、薄板模型的求解結果與基于圍線積分的有限元解進行比較，如圖14所示，可以看出基于梁模型與薄板模型求解的焊接膜盒裂紋尖端的應力強度因子與有限元結果比較接近。驗證了理論推導公式的相對正確性。

圖14 應力強度因子變化曲線

各模型應力強度因子與有限元解的相對誤差如表4所示。表中的數據為給定軸向力時，不同內壓下的平均值，從表中可以看出，梁模型的應力強度因子平均誤差約為17.46%，而薄板模型的平均誤差為9.32%，因此薄板模型的應力強度因子公式計算結果更接近于有限元解。

表4 平均相對誤差

4 結論

1）本文基于梁理論、薄板理論分別建立了平板錐形焊接膜盒的梁模型、薄板模型，并推導出膜片焊菇處的應力強度因子表達式?；贏BAQUS的圍線積分方法，計算了軸向集中載荷以及內壓作用下焊菇處裂紋尖端的應力強度因子。

2）通過對比應力強度因子的理論計算解與有限元解，梁模型的平均相對誤差在17%左右，薄板模型平均相對誤差在9%左右，因此可使用薄板模型開展膜盒焊菇處裂紋尖端的應力強度因子的工程計算。

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Calculation of Stress Intensity Factors for Plane-cone Shaped Bellows

DONG Peng-peng HE Qi-lin WANG Hai-zhou WANG Ru-wen

(Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing Key Laboratory of Cryogenic Technology Research, Beijing 100076, China )

Based on beam and thin plate theory, the theoretical model of plane-cone shaped welded bellows is established, and the formula of the stress intensity factor of the crack tip is derived for the axial load and pressure condition. The stress intensity factor is also calculated by the use of contour integral method of ABAQUS code to evaluate the accuracy of theoretical formula. The results show that the thin plate model coincides better with the finite element method with the error less than 10%.

Plane-cone shaped; Welded bellows; Theoretical model; Stress intensity factor; Contour integral

O346.1, V421.3+3

A

1006-3919(2021)04-0030-07

10.19447/j.cnki.11-1773/v.2021.04.006

2021-03-17；

2021-05-20

董鵬鵬(1995—)，男，碩士研究生，研究方向：焊接膜盒的疲勞與斷裂行為研究；（100076）北京9200信箱10分箱12號.