內S形柔性梁多環諧振陀螺熱彈性阻尼分析

馮 軍， 張衛平， 劉朝陽， 谷留濤

(1.微米／納米加工技術國家重點實驗室，上海200240；2.上海交通大學電子信息與電氣工程學院微納電子學系，上海200240)

0 引言

隨著微機電系統(Micro Electro Mechanical System，MEMS)技術的發展，MEMS陀螺以其體積小、功耗低、適合批量生產等優勢受到廣泛關注。波音公司提出的多環諧振陀螺由于其結構對稱好、響應靈敏度高、抗沖擊能力強等優勢，成為了目前MEMS陀螺領域的研究熱點[1-3]。在傳統多環諧振陀螺的基礎上，內S形柔性梁多環諧振陀螺將最內層的直線形支撐梁改為S形支撐梁，可降低諧振頻率從而提高響應靈敏度。針對內S形柔性梁多環諧振陀螺的工作原理和加工工藝已經做了相關研究[4]，但尚未有該陀螺性能方面的報道。對于MEMS諧振陀螺而言，品質因數是一個關鍵的技術指標，對于陀螺的性能至關重要[5]。品質因數的大小由陀螺中的能量耗散決定，其能量耗散的主要形式有空氣阻尼、錨點阻尼、熱彈性阻尼等[6-7]。由于內S形柔性梁多環諧振陀螺采用真空封裝，氣體壓強的影響可以忽略不計，因而空氣阻尼不是主要的能量耗散形式。此外，內S形柔性梁多環諧振陀螺具有良好的對稱結構，其錨點附近的振動十分微弱，錨點阻尼的影響也可以忽略。綜上，熱彈性阻尼是內S形柔性梁多環諧振陀螺中主要的能量耗散機制。

為提高內S形柔性梁多環諧振陀螺的性能，首先需要分析該陀螺中熱彈性阻尼的機理。此外，由于熱彈性阻尼與陀螺結構有著密切關聯，找出各結構參數與熱彈性阻尼的關系對于設計高性能的陀螺結構十分重要。因此，本文主要針對以上兩點對熱彈性阻尼進行分析，并提供內S形柔性梁多環諧振陀螺結構設計的合理建議。

1 結構與工作原理

內S形柔性梁多環諧振陀螺由諧振器和外圍電極構成，其結構示意圖如圖1(a)所示。中央圓盤通過錨點與基底固定，多個同心圓環之間通過輪輻狀支撐梁相連接。其中，連接最內層圓環與中央圓盤之間的支撐梁為S形結構，其余支撐梁為直線結構。諧振器的主要結構參數標注如圖1(b)所示。其中，S形支撐梁由兩段相同的圓弧組成，每段圓弧的圓心角均為α；諧振器的最外層環半徑為R1，最內層環半徑為R2，中央圓盤的半徑為r，同心圓環的寬度為W1，直線形和S形支撐梁寬度均為W2。另將諧振器厚度記為H，同心圓環的個數記為N。

圖1 陀螺結構及主要結構參數示意圖Fig.1 Schematic diagram of gyroscope structure and its main structure parameters

內S形柔性梁多環諧振陀螺基于科氏效應工作，通過在外圍電極上施加驅動電壓產生驅動力，從而使得陀螺在驅動軸方向產生振動。當存在垂直于面外方向的角速度輸入時，由于科氏力的作用，陀螺會產生檢測軸方向的振動，由于諧振子與外圍電極形成平行板電容器，兩極板的距離隨振動發生變化，通過檢測電容的變化就能測量出輸入的角速度大小。為了便于陀螺的信號檢測和控制，通常采用面內振動的四波腹模態作為驅動和檢測的工作模態，如圖2所示。

圖2 陀螺的工作模態Fig.2 Diagram of gyroscope working modal

2 熱彈性阻尼的計算

MEMS諧振陀螺的能量耗散大小可以用品質因數Q來表示[8]

式(1)中，W0為振動中存儲的總能量，ΔW為每個振動周期所耗散的能量。由式(1)可知，能量耗散越小，則品質因數越大。熱彈性阻尼是由于振動導致器件彎曲變形而產生的，受拉伸的部分溫度下降，受壓縮的部分溫度升高，從而在器件中產生不可逆的熱流，導致振動能量的耗散。熱彈性阻尼造成的能量耗散可以用熱彈性阻尼的品質因數QTED來表示。

熱彈性阻尼的大小可以通過下面的耦合熱彈性方程來求解[9]

式(2)、式(3)中，E為彈性模量，ν為泊松比，αT為熱膨脹系數，ρ為密度，κ為導熱系數，Cp為恒壓熱容，F為單位體積力，u為位移矢量，T為溫度。本文研究的內S形柔性梁多環諧振陀螺的材料為各向同性單晶硅，其材料參數如表1所示。

表1 各向同性單晶硅的材料參數Table 1 Material parameters of isotropic single crystal silicon

對于內S形柔性梁多環諧振陀螺，由于其結構比較復雜，采用解析方法計算上述耦合熱彈性方程十分困難，可借助有限元軟件COMSOL Multiphysics對上述耦合熱彈性方程進行數值計算。COMSOL Multiphysics中的熱彈性力學將應力場和溫度場進行了耦合，可用于耦合熱彈性問題的分析。

通過有限元仿真分析，可以得出如圖3所示的四波腹模態的溫度分布圖，并可求出熱彈性阻尼的品質因數QTED。

圖3 四波腹模態中的溫度分布Fig.3 Diagram of temperature distribution in four-antinode modal

由圖3可知，由于陀螺的彎曲變形，諧振器各處溫度不同，從而形成從高溫區域到低溫區域的不可逆熱流。這些熱流的形成受陀螺結構的影響很大，研究結構參數對熱彈性阻尼的影響是十分必要的。

由圖2和圖3可知，由于中央圓盤與基底固定，中央圓盤處沒有振動位移和溫度梯度，故有限元模型中可以將中央圓盤去除，同時在S形支撐梁與中央圓盤連接處的8個截面添加固定約束，以等效于中央圓盤與基底固定。等效后的有限元模型如圖4所示。在該有限元模型中，采用三角形網格和掃掠網格相結合的網格劃分方法，既滿足了網格劃分的靈活性要求，又能提高計算的精度和速度。在實際計算過程中，需要進一步細化網格，以追求更加精確的計算結果，并同時兼顧計算速度。

3 熱彈性阻尼與結構參數的關系

為研究內S形柔性梁多環諧振陀螺結構參數對熱彈性阻尼的影響，需要找出熱彈性阻尼隨各結構參數的變化關系。解決這一問題的方法是：改變陀螺有限元模型中各個結構參數的大小，并進行熱彈性阻尼的仿真分析，從而計算出QTED隨各結構參數的變化曲線。Zener理論表明：對于諧振梁而言，由于彎曲變形產生的熱彈性阻尼大小與諧振頻率f0密切相關[10]。從圖3可以看出，內S形柔性梁多環諧振陀螺的四波腹面內振動模態會導致同心圓環與支撐梁的彎曲變形，從而導致圓環和支撐梁中各區域溫度不均勻，這與諧振梁的熱彈性阻尼機理類似。因此，內S形柔性梁多環諧振陀螺的熱彈性阻尼也可能與f0有著密切聯系，本文在計算QTED的同時也計算了f0。

陀螺的初始結構參數取值如表2所示。當研究某一個結構參數對熱彈性阻尼的影響時，保持其余結構參數不變。

表2 陀螺的初始結構參數取值Table 2 Initial structure parameter value of gyroscope

嵌套同心圓環作為諧振陀螺的主要組成部分之一，其數目會影響熱彈性阻尼，影響結果如圖5所示。由圖5可知，當N＝3時，QTED最小：當N＞3時，隨著N的增加，QTED也隨之增加。同時可以發現，f0的變化趨勢和QTED的變化趨勢相反。為減小熱彈性阻尼，應將環數設計為N＞3，且環數越多越好。然而需要注意的是，在其他結構參數不變的情況下，環數越多則同心環之間的間隙越小，當間隙過小時，將受到刻蝕工藝的深寬比限制。因此，在刻蝕深寬比可以達到要求的情況下，N越大越有利于QTED的提升。

圖5 同心環數目對熱彈性阻尼的影響Fig.5 Influence of concentric ring number on thermoelastic damping

S梁的彎曲程度、中央圓盤尺寸和諧振器尺寸也是陀螺的重要結構參數，這些結構參數的變化同樣會影響熱彈性阻尼的大小，影響結果如圖6所示。可以發現，受這些結構參數的影響，f0的變化趨勢均與QTED的變化趨勢相反。計算結果表明，S梁的圓心角α越大，則f0越小，如圖6(a)所示。需要注意的是，S梁的應力主要集中在彎曲部分，圓心角α越大，則該部分應力越集中，這將影響陀螺的抗沖擊能力。因此，在設計陀螺結構時還需要考慮其抗沖擊能力，在保證抗沖擊能力達到要求的前提下，α設計得越大越有利于陀螺性能的提升。圖6(b)表明，中央圓盤半徑r越大，則f0越大，同時QTED越小。這是因為中央圓盤固定在基底上，r越大意味著諧振器被固定的部分更多，從而諧振頻率會變大，進一步降低了QTED。 這說明中央圓盤越小越有利于熱彈性阻尼的減小，但是設計過小的中央圓盤對于實際工作中的陀螺是不可行的，這是因為當諧振器被固定的部分過小時，諧振狀態的可靠性會隨之下降。最外層環半徑R1對熱彈性阻尼的影響如圖6(c)所示，R1越大，則f0越小，同時QTED越大。R1直接決定了陀螺的整體大小，由于MEMS器件尺寸的限制，陀螺的尺寸不能過大，這需要在性能和尺寸之間進行權衡。圖6(d)為最內層環半徑R2對熱彈性阻尼的影響，R2越大，則f0越小，同時QTED越大。需要注意的是，在其他參數不變的前提下，最內層環半徑越大，同心環之間的間隙越小，這也會受到刻蝕深寬比的限制。

圖6 幾種結構參數對熱彈性阻尼的影響Fig.6 Influence of several structure parameters on thermoelastic damping

同心環寬度W1和支撐梁寬度W2也將對陀螺性能產生影響，影響結果如圖7所示。從圖7可以看出，W1和W2對f0和QTED的影響類似，越小的寬度可以得到越小的f0和越大的QTED。因此從理論上而言，為獲得高QTED的陀螺，應該盡可能減小寬度W1和W2。但是受到微機械制造工藝的限制，過小的W1和W2是不容易實現的，因此在設計同心環寬度和支撐梁寬度時，需要同時考慮制造工藝條件與性能兩方面因素。

圖7 同心環寬度和支撐梁寬度對熱彈性阻尼的影響Fig.7 Influence of concentric ring width and support beam width on thermoelastic damping

根據上述結果可知：內S形柔性梁多環諧振陀螺的熱彈性阻尼與f0有著密切聯系，這與Zener理論很相似。Zener理論表明，對于諧振梁而言，其熱彈性阻尼可以由以下公式求出[10]

式(4)、式(5)中，τth為熱弛豫時間常數，d為諧振梁彎曲方向的寬度，T0為諧振器工作的初始溫度。由式(4)可知，QTED為關于2πf0τth的函數，其函數圖形稱為 Zener曲線，如圖 8所示。當2πf0τth＝1時，QTED取得最小值：當 2πf0τth? 1時，諧振器工作在等溫狀態；當2πf0τth?1時，諧振器工作在絕熱狀態。

對于內S形柔性梁多環諧振陀螺而言，其四波腹模態為面內振動，諧振器彎曲方向的寬度d即為同心環和支撐梁的寬度。如圖8所示，將不同結構參數下的QTED仿真結果與Zener曲線進行對比。其中，同心環和支撐梁的寬度始終保持相等，以方便確定Zener理論中d的值。對比結果表明，QTED仿真值與Zener曲線的理論值高度吻合，這說明內S形柔性梁多環諧振陀螺的熱彈性阻尼可以用Zener理論近似求解。此外，在各個結構參數變化的情況下，內S形柔性梁多環諧振陀螺始終工作于等溫狀態，這是因為單晶硅具有高的導熱系數，從而熱弛豫時間常數較小，同時其諧振頻率較低，因此滿足2πf0τth?1的條件。根據Zener理論可知，當陀螺工作于等溫狀態時，要提高QTED應該降低諧振頻率或減小熱弛豫時間常數(即減小同心環和支撐梁的寬度)，這與圖5～圖7的仿真結果是一致的。

圖8 QTED仿真值與Zener理論的對比Fig.8 Comparison of QTEDsimulation values with Zener's theory

4 結論

本文使用有限元方法分析了內S形柔性梁多環諧振陀螺各個結構參數對熱彈性阻尼的影響，對于設計高品質因數的陀螺具有重要指導作用。結果表明，四波腹模態下內S形柔性梁多環諧振陀螺的熱彈性阻尼與諧振頻率有著密切聯系，為了實現低熱彈性阻尼和高品質因數，應該設計低諧振頻率的陀螺。同時，設計高品質因數的陀螺結構還需要綜合考慮微機械制造工藝的條件、陀螺封裝尺寸、陀螺穩定性、抗沖擊能力等因素。在這些條件都滿足要求的情況下，應該增加同心環數目(N＞3)、增大S形支撐梁的圓心角、增大最內層環和最外層環的半徑、減小中央圓盤的尺寸、減小支撐梁和同心環的寬度。此外，不同結構參數下QTED仿真值與Zener理論的對比結果表明，內S形柔性梁多環諧振陀螺的熱彈性阻尼也可以用Zener理論來描述，這對于研究內S形柔性梁多環諧振陀螺的熱彈性阻尼機制有著重要意義。