關于公路路線曲線段坐標計算方法的淺析

劉金林

摘 要：根據公路等級及行車速度等因素，公路路線一般采用直線、圓曲線、緩和曲線的各種組合來構成公路平面線形，這三種線形通常稱之為“平面線形三要素”，這三要素是公路平面線形最基本的組成。

關鍵詞：公路路線，高斯坐標，公路曲線

在公路建設中，公路路線的平面位置，一般均以高斯直角坐標為依據.在公路設計文件中，路線逐樁坐標表，已經成為重要組成部分.公路路線坐標，既是公路勘測階段實地放線的依據同時也是公路施工中路線放樣的依據.公路路線的坐標計算，已經成為從事公路設計和施工的工程技術人員的重要的日常工作之一。

一、公路路線分析

從幾何的角度來講，直線是該段線上任一點的曲率為都為零的線形，圓曲線是該段線上任一點曲率都為非零的同一常數的線形，緩和曲線顧名思義就是用來緩和兩端由于曲率不同的線形而作為漸變段的線形，它的曲率是由一個數逐漸變為另一個常數的，可以是由零變為一個常數，也可以是一個常數變為另一個常數。

緩和曲線中最常用的是線形是回旋線。它的特點是起止點的曲率一個是非零常數，一個是零，即它的兩端半徑一個為非零常數，另一個半徑是無窮大，它通常用作為連接直接和圓曲線。

緩和曲線中還有一種較少用的線形稱為卵形曲線。它的特點是起止點的曲率都是兩個不等于零的常數，它通常用于連接兩個不同半徑的圓曲線。這種線形一般用于路線互通式立交區的匝道上，由于地形需要，線形變化較大，故采用卵形曲線作為緩和曲線。

分析以上三種線形后，我們不難得出結論：三種線形都有共同點，起止點都有曲率，只是有的曲率為零，有的為常數。其于這個原理，我們可作如下圖形分析。

由上圖中我們可以看出，實際上直線是圓曲線的一種物例，圓曲線的ρ1=ρ2，直線的曲率ρ1=ρ2且剛好等于零，同理，圓曲線是回旋線的一種特例，回旋線是卵形曲線的一種特例。實際上直線、圓曲線、回旋線都是卵形曲線的特例。

我們學習的教材不論是《公路勘測設計》或者是《工程測量》一般講解的緩和曲線均是指的回旋線，其坐標計算也是按積分公式的展開公式計算。

回旋線的參數如下公式：A2=L/ρ，

式中：A是指回旋線參數（通常也叫作緩和曲線參數）

L是指回旋線起點（也就是ρ=0）至止點的長度。

ρ是指回旋線L長處對應的曲率。

教材中基本沒有提及卵形曲線的緩和曲線參數計算方法。

事實上，回旋線作為卵形曲線的一種特例，卵形曲線的緩和曲線參數計算公式必然適用于回旋線。卵形曲線參數計算公式如下：A2=L/（ρ2-ρ1），

式中：A是指卵形曲線參數（通常也叫作緩和曲線參數）

ρ2，ρ1分別指卵形曲線小半徑和大半徑端的曲率

L是指卵形曲線大半徑端至小半徑端的長度。

可以嘗試把回旋線各種參數代入卵形曲線參數中計算：回旋線的小半徑端為ρ，大半徑端ρ=0，A2=L/（ρ1-ρ2）=L/（ρ-0）=L/ρ，其結果同回旋參數結果A2=L/ρ。

二、通用坐標計算方法及卡西歐4800p計算程序

基于上面的理論分析基礎，我們可計算緩和曲線上任一點的切線方位角和坐標以及與此點相交任意角度和一定寬度兩側上的點的坐標。

如上圖已知：RA，RB：緩和曲線起點A，止點B的半徑

XA，YA：緩和曲線起點A的X，Y坐標

L：緩和曲線長度。

FA：緩和曲線起點A的切線方位角。

Li：所求i點距緩和曲線起點A的長度

Fi：所求i點的切線方位角

Xi，Yi：所求i點的X，Y坐標

1，任一點切線方位角計算

Fi=FA+ρA*Li+（ρB-ρA）*Li2/（2L）

由式中可以看出，如果ρB=ρA=0，則此線形為直線，Fi=FA，驗證了直線上坐標方位角不會變化，如果ρB=ρA，則此線形為圓曲線，Fi=FA+ρA*Li=FA+Li/R。

需要注意的是：由于曲線有方向，從起點算起，如果曲線偏右，則ρAρB取正，如果曲線偏左，則ρAρB取負，同時上述公式中帶下劃線部份的單位為弧度，如果前面的FA為角度，則帶下劃線部份需乘以180/π以換算成角度。

2，任一點中線坐標計算

根據積分原理：

上述公式可計算出任一種線形的中線坐標。需注意的是，A點是計算起點，不論B點的曲率比A點的大或者小，只需要按公式套入即可，同時注意如果線形偏右，ρAρB均取正值，線形偏左，ρAρB均取負值。起點A的切線方位角如果是角度，后面計算的Fi也應換算成角度。

公路放線測量中，一般采用全站儀或者GPS，GPS中都自帶有程序計算，如果用全站儀全線，一般需配合卡西歐計算器，目前一般使用4800或5800型號。根據公路路線直曲線元素表，我們擬出下列已知條件，計算任意樁號點的坐標，我們采用常用的卡西歐4800p計算器，編出下列程序。

U“KQD”：起點樁號F“FWJA”：起點方位角

A“XA”：起點X坐標B“YA”：起點Y坐標

C“1/（R1）”：起點曲率=1/起點半徑，左轉為負，右轉為正（半徑無窮大時，C=0）

D“1/（R2）”：終點曲率=1/終點半徑，左轉為負，右轉為正（半徑無窮大時，D=0）

E“LS”：曲線長（即緩和曲線和圓曲線長度、或者直線長度）

G“KI”：變量，所求的任意樁號

Q“FWJKI”：所求樁號中樁坐標切線方位角

H“XJ”：變量，所求樁號橫斷面或斜斷面與中樁切線方位角的交角，以前進方向的左為負，右為正

T：變量，橫斷面或斜斷面方向距中樁的距離

R“XKII”、S“YKII”：橫斷面或斜斷面指定點的坐標，當T=0時為中樁坐標。

程序名：ZBJS（適用于直線、圓曲線以及回旋線和卵形曲線上的坐標計算）

U“KQD”：A“XA”：B“YA”：F“FWJA”：C“1÷R1”：D“1÷R2”：E“LS”：LbI1：{G}：G“KI”：{H}：H“XJ”：{T}：T：

Q“FWJKI”=F+C（G-U）*（180/π）+（D-C）（G-U）2/（2E）*（180/π）：

R“XKII”=A+∫[COS（F+C（G-U）*（180/π）+（D-C）（G-U）2/（2E）*（180/π）），0，G-U]+TCOS（Q+H）◢

S“YKII”=B+∫[SIN（F+C（G-U）*（180/π）+（D-C）（G-U）2/（2E）*（180/π）），0，G-U]+TSIN（Q+H）◢Goto1

作為公路工程中施工單位的技術人員來講，我們不需要研究路線為什么要如此設計，我們需要把設計圖中提供的路線線形落實到實地上，也就是計算出路線中任一樁號的坐標，然后進行測量放線。根據設計圖紙，我們需要找出線形組合中的每一段線形，也就是把各直線圓曲線，緩和曲是回旋線還是卵形曲線上區分開來，并列出其各要素，然后根據上述方法分段計算其坐標，對照設計圖中的《逐樁坐標表》進行復核即可。

參考文獻：

[1]倪飛，趙長勝，郭洋洋.不同大地坐標系間相互轉換的病態解決及抗差算法[J].測繪科學，2011，36（4）：72-74.

[2]倪飛，房世龍，趙蘇政.擬準檢定法在坐標系統轉換中的應用研究[J].測繪地理信息，2015，40（6）：15-18.

[3]倪飛，崔桂官.空間直角坐標系統轉換的抗差算法研究[J].海洋測繪，2011，31（6）：28-30，38.

[4]王德高，倪飛.平面坐標系統轉換的抗差算法研究[J].農技服務，2010，27（12）：1677-1678.