并聯加工型機器人的坐標變換方法及反解推導過程

周 來，龔念清

（九江職業技術學院，江西九江 332007）

0 引言

對RBT-6T02P-B 型并聯加工型機器人進行位置分析，明確輸出與輸入兩者之間的位置關系，是目前機構運動分析中最為常見的一種工作形式，并能完成工作空間布局、分布、受力、加減速、誤差等分析工作[1]。因該RBT-6T02P-B 型并聯機構具有相當復雜性，所以該機構的位置分析同單環空間機構的位置分析相比，要相對復雜（圖1）。將并聯機構主動件位置的參數設為定量，對機構輸出位置和形態進行分析，得出正解；反之，輸出的位置和形態作為定量設定，求解主動件位置可進行反向分析得解[2]。求解過程中，當輸出的位置不同，求解的結果也不同，并且還與關聯、串聯關系存在一定的相關性：串聯具有正解相對容易、反解則相對較難的特點，而并聯卻具有反解相對較易、正解卻相對復雜的特點。本文以6-SPS 并聯型機構為例，詳細分析并聯機構位置的反解方法[3]。

圖1 RBT-6T02P-B 型并聯加工型機器人

1 并聯機構各坐標的變換和反解分析過程

6-SPS 并聯機構由兩個平臺構成，分為上下結構，兩個機構之間分為6 個分支，各分支之間相互關聯，并每個分支終端設有球鉸，平臺中點設為移動副。上平臺的空間位置和姿態變化，是通過驅動器推動移動副移動、改變各桿的長度而得來的[4]。因此，該機構的位置反解是通過已定的上平臺在空間位置和姿態的參數，計算桿長（即動副位移）。為了更好地了解并聯機構各坐標的變換，先在上、下兩平臺上建兩個坐標系（圖2），上平臺建立動坐標系P-X′Y′Z′，下平臺固定O-XYZ 坐標系，動坐標系中的各向量R′，可以通過坐標的變換始終固定在坐標系O-XYZ中的R 上。

圖2 6-SPS 并聯機構

式（1）中，T 為并聯機構上平臺姿勢方向余弦矩陣，動坐標系中的第1、2、3 列中的X′、Y′和Z′均在O-XYZ 中方向余弦上固定，兩坐標之間的并聯設定為P，作為平臺的參考點（即動坐標系P-X′Y′Z′的原點在固定坐標系O-XYZ 中的位置矢量）[3]。

式中，cα=cosα，sα=sinα。并聯機構兩平臺的鉸鏈點（bi，Bi，i=1，2，…，6）在坐標系中的坐標值，是通過機構各結構尺寸利用幾何關系計算而來的，通過式（2）能夠解得并聯機構各鉸鏈點在固定坐標系O-XYZ 中的坐標值[5]。這時6 個驅動器桿長矢量Li（i=1，2，…，6）可在固定坐標系中表示為：

因此，該并聯機構的位置反解計算方程式為：

并聯機構的6 個驅動器位移的求解，可通過該并聯機構基本尺寸、上平臺位置及姿勢的參數，利用上式方程計算得出。由此，該6-SPS 類型的位置反解方法比較容易，該方法也可用于其他相似的并聯機構的位置求解。

2 示例

以RBT-6T02P-B 型并聯加工型機器人為例，設定機器人結構參數后，建立反解坐標，具體參數如下：自由度為6；驅動桿長l=300 mm；上平臺外接圓半徑R=216.4 mm；下平臺外接圓半徑r=85 mm；各驅動桿行程150 mm；以Z 走向為驅動作業方向；驅動最小伸長量176.54 mm，最大伸長量328.54 mm。

在解平臺空間位置關系時，應先建好動、靜坐標系，動、靜兩坐標系的各原點O 和O′分別位于并聯機構的下平臺和上平臺兩中心（圖3）。

圖3 并聯機器人反解動、靜坐標系

得出上平臺鉸點坐標：

下平臺鉸點坐標：

通過齊次坐標和齊次變換矩陣分別表示點在空間的位置和平移及轉動，目的是更好反映空間某點的變換。

設以p 點作為笛卡爾坐標，坐標點位為（x、y、z），四維列向量T 表示p 點的齊次坐標驅動，即[x，y，z，1]為坐標點。這種設定方式，將空間點位置和矢量方向作為定量不變，當第4 個元素為0 時，此時表示坐標的驅動方向，反之，則表示驅動的輸入位置。

假定空間中有定、動兩個坐標系，如果動坐標系先沿定坐標系X、Y、Z 分別平移XP、YP、ZP，接著在新坐標系下繞x、y、z 軸分別旋轉α、β、γ 后，則坐標矩陣為：

由此經平移和轉動后的動坐標中P′點，在定坐標系中的齊次坐標P 為P=TP′，旋轉和平移都能夠用該矩陣表示，最終與式（1）的結果相同。

并聯機器人驅動桿的原長是利用公式和初始狀態坐標值算出。

P′的各點的坐標值是由公式P′=TP 算出，再通過公式求出驅動桿的長度。

因Bi點的Z 坐標變化等同于機器運動時的驅動方式，且X、Y坐標不變，故令li=，此時，Bi點的Z 坐標變化即可計算求解。由此，可以根據輸出端位置確定輸入端的原始位置，即完成反解過程。