多孔介質粗糙表面分形-蒙特卡羅傳熱研究

徐靜磊，張賽，王昌進，張杰，高偉業

（650500 云南省 昆明市 昆明理工大學 機電工程學院）

0 引言

多孔介質是一種強化傳熱介質[1-3]，被廣泛應用于建筑、食品、化學品、煤炭、石油開采油氣貯藏、熱管虹吸材料、化工床、航空航天復合材料、人體和動物的組織器官、植物體內的水分和營養運輸系統等諸多領域，因此研究多孔介質的傳熱在許多領域都具有重要的意義[4-7]。

由于多孔介質具有自相似性，其任何表面，在微觀層面看來都具有大量的凸凹和幾何缺陷而顯示出粗糙的形態，即絕對光滑的表面是不可能存在的。對于固體表面，無論其表面是如何的形成方式，都不會是規則的，其高度在某一水平面來回波動。那些高度高出平均幾何平面的稱為微凸體，低于這個平面的稱為凹坑[8]。粗糙表面對于研究摩擦、輻射、導熱、導電、黏附及流體的流動傳熱都有相應的影響，因此研究粗糙表面的傳輸機理，對于許多學科和領域都有很重要的意義[9]。

Shishkina O[10]等對粗糙形狀為矩形的邊界進行了模擬研究，研究結果表明，冷熱板在粗糙形態下的邊界層厚度要明顯大于光滑表面，原因是粗糙單元間的間隙對流傳遞存在阻礙作用，所以傳熱不僅不會增強，甚至會出現減弱。Wei Ping[11]等對不同的粗糙壁面進行了研究，結果表明，當上下表面都為粗糙表面時，傳熱效果會現增強，但當上下兩板依次為光滑表面與粗糙表面時，傳熱基本不發生增加。丁雪興[12]等針對干氣密封非穩態下的摩擦特性對密封性能的影響進行了研究，建立了三維粗糙實體與理想光滑剛體滑動摩擦熱力耦合模型。發現粗糙表面最高接觸溫度隨滑動時間增加呈逐步上升趨勢，并且溫度呈現一定的波動性。

近些年關于接觸熱導，很多學者進行了大量的實驗研究[13-15]。理論上，人們主要研究接觸表面的微觀接觸狀態和形式，簡化成單點接觸模型，然后根據材料特性和熱阻定義等進行求解。

雖然目前存在許多研究方法，但大部分學者研究的是粗糙表面與傳熱熱阻的關系，很少有人研究粗糙表面和傳熱系數之間的關系。本文基于分形-蒙特卡羅法研究傳熱系數與微凸體及孔隙率之間的關系。避開了傳統熱的模擬熱阻法，減少了經驗常數的使用，運用分形理論使得結果更接近真實情況。

1 關于蒙特卡羅法的模型建立

為了研究粗糙表面的具體形貌和內在機制，就要刻畫出粗糙表面的分形特征，描述多尺度下的結構。Majumdar 和Mandelbrot 提出的W-M 分形函數進行修正得到了M-B 模型，粗糙表面的二維模型表達式如下[16]：

式中：z（x）——粗糙表面輪廓幅值函數；x——測量坐標。此處，D——表面輪廓分形維數，（1

式（1）具有連續性、處處不可微和自仿射性，能滿足粗糙表面輪廓曲線的所有特性。

通過式（1）得到的粗糙表面垂直剖面的二維模型仿真圖如圖1 所示。通過該圖可以看出粗糙表面的二維剖面輪廓，該輪廓線能夠很好地符合粗糙表面的特性，即處處連續、不可微、自仿射性。通過放大局部輪廓，可以看出粗糙表面在任意一個長度尺寸下都是不平滑的。

圖1 二維粗糙表面剖面模擬圖Fig.1 2D rough surface profile simulation

對于粗糙表面的三維模型圖也存在相關的蒙特卡羅表達式[17]，如式（2）：

式中:M——曲面褶皺重疊數；φm，n——隨機相位（0 ≤φm，n≤2π）；n1——最低空間頻率序數，n1=0；nmax——最高頻率序數，nmax=int[lg（L/Ls）/lgγ]；Df——面積分形維數（三維空間2

圖2、圖3 是通過MATLAB 仿真得到的三維模型圖。圖2 為關于x-y 軸方向的正視圖，分別在x，y 軸方向設置了800 個點，每兩個點之間間距為1 nm；圖3 是一般視角看到的三維圖，此處在z 軸方向設置的粗糙表面上微凸體高度取值在3.2×10-8m 左右，圖3 中顏色深淺代表微凸體在x-y 面內的面積大小，占據面積越大顏色就越重，微凸體尖端的x-y 截面的面積較小，所以顏色較淺。由圖3 可知三維蒙特卡羅法能夠顯示出粗糙表面的表面輪廓，與真實粗糙表面很接近。

圖2 三維粗糙表面關于X-Y 方向的正視圖Fig.2 Elevation view of 3D rough surface in X-Y direction

圖3 三維粗糙表面仿真Fig.3 3D rough surface simulation

2 考慮多孔介質接觸粗糙表面分形—蒙特卡羅方法

多孔介質表面的微凸體是隨機分布的，可以把分形理論與蒙特卡羅方法結合起來，研究多孔介質粗糙表面的傳熱特性。

由關于微凸體分布的概率密度函數[18-19]

式中：λ——微凸體直徑。

其中f（λ）≥0，λmin≤λ≤λmax。根據概率理論，在λmin～λ區間微凸體的累積概率為

式 中：當λ→λmin時，R=0；當λ→λmax時，R ≈1。因為最大微凸體與最小微凸體直徑相差很大，所以式（4）中R 的取值在0～1。

式（4）可變形為

因為微凸體在多孔介質壁面上是隨機分布的，且大小服從分形標度，所以式中的R 是一組0～1 的隨機數，通過隨機抽樣，可以得到微凸體直徑分布的概率模型。

當微凸體直徑從小到大排序后，可根據式（7）求得微凸體的個數。

單個微凸體的名義面積可表示為π（Lc/2）2，其中Lc為微凸體表面的名義特征長度，因此可得總的微凸體名義面積Aa

φ由式（9）決定[18]。

式中：φ——有效孔隙率；r ——孔隙直徑，這里把孔隙表面上的微凸體分布類比于分形多孔介質的孔隙分布；dE——歐幾里得維數，二維空間內為2，三維空間取3。由于實際計算情況的需要，孔隙率φ常直接在0～1 之間進行取值。

根據多孔介質中的孔隙直徑和孔隙數目滿足的標度關系[19]可知，接觸點直徑分布也遵循同樣的標度關系，具體如式（10）：

可以看出，接觸點直徑的概率的密度函數n（λ）可由式（11）求得

可知，所有接觸點面積之和Ar近似為

此處Ar為所有接觸點的面積，即流體流過粗糙面時流體與粗糙面能夠接觸到的面積，本文也是用它來形容粗糙表面的粗糙程度的。當流體流經相同截面的光滑表面和粗糙表面時，與流體的接觸面積粗糙表面要比光滑表面大；反之，當截面一定時，與流體的接觸面積越大的表面也就越粗糙。

3 多孔介質粗糙表面傳熱系數的求解

多孔介質粗糙表面的傳熱，可近似看作多孔介質某一截面上的過程傳熱，熱流仍需經過孔相和固相，只不過此時的固相與經過截面時的固相不太一樣。考慮截面傳熱時，熱流經過的固相就是固體骨架的截面；考慮粗糙表面時，流體除經過孔隙外，還要考慮流體與固相接觸的面積，而非全部固相的截面積。流體與粗糙固相接觸面積由式（12）表達。

對于孔隙的面積，可由微元法得到，多孔介質橫截面上孔隙總面積為

由傅里葉定律知傳熱系數k 如式（14）：

A 為多孔介質傳熱截面積，Ls為表面的名義特征長度，表達式為

熱量Q 為多孔介質粗糙面吸收的熱量。

式中：Q1——多孔介質孔隙吸收熱空氣的熱量；Q2——多孔介質粗糙固體面吸收的熱量。

式中:Ax——孔道的平均截面積；ca——空氣的比熱容；ρa——空氣密度；v ——熱空氣流動的速度；t——加熱時間；ΔT——加熱前后的溫差。

式中：cl——固體的比熱容；ρl——固體的密度。

總熱量Q 為

因為多孔介質結構復雜，所以熱量通過多孔介質的不同相時，導熱路徑不同，得出改進后的傅里葉導熱定律[17]。

聯立式（12）—式（15）、式（19）、式（20）可得傳熱系數k 如下：

4 結果分析與討論

通過對聯立后的傳熱系數計算，以及對變量的調整對比，可得分析圖如圖4 所示。

圖4 有效傳熱系數模擬值與實驗值比較Fig.4 Comparison of simulated and experimental values of effective heat transfer coefficient

圖4 是以氧化鋁為實驗對象，其傳熱系數隨孔隙率變化的實驗數據[20]與模擬值的對比圖。從圖中可以看出，有效傳熱系數隨孔隙率的增大而減小。實驗數據較模擬數據稍稍偏小，考慮到實驗存在一定的誤差，所以該偏差是在實驗誤差允許范圍內的，該模擬值能夠很好地反映出多孔介質粗糙表面傳熱系數隨孔隙率變化的關系，可用于計算多孔材料粗糙表面的等效導熱系數。本文是基于粗糙表面的分形蒙特卡羅法進行的推導驗算，并且與實驗數值有很好的驗證，所以可用于多種多孔介質粗糙表面的傳熱分析，如:粗糙墻體保溫、地下石油開采、機械零部件的傳熱等。

圖5 是面積分形維數對粗糙面的影響，這里的粗糙面的粗糙程度并不是通過粗糙度體現出來的，而是由流體與粗糙面的接觸面積的大小而體現的，當接觸面積越大時，粗糙面就相對越粗糙，當接觸面積越小時粗糙面就相對沒有那么粗糙。通過圖5 可以看出，所有接觸點的面積隨面積分形維數的增大而增加，也就是說面積分形維數越大時，相對接觸面越大粗糙表面結構也就越復雜。通過圖5 還能看出，所有接觸面積的增長速度剛開始增長較慢，隨面積分形維數的增大而增加得越來越快。

圖5 面積分形維數對粗糙表面的影響Fig.5 Influence of surface integral shape dimension on rough surface

圖6 是面積分形維數對有效傳熱系數的影響變化關系圖。從圖6 可以看出，當孔隙率一定時，有效傳熱系數隨面積分形維數的增大而減小，減小趨勢越來越大。因為當面積分形維數較小時，對有效傳熱系數影響較小，孔隙率對傳熱占主導因素；當面積分形維數較大時，其影響程度相對于孔隙率的影響程度較大。

圖6 面積分形維數對有效傳熱系數的影響Fig.6 Influence of surface integral shape dimension on effective heat transfer coefficient

在面積分形維數較大時，不同孔隙率下，有效導熱最后趨近于同一值；當分形維數一定時，有效傳熱系數隨孔隙率的增加而減小。因為孔隙越大，其中的氣相占比越大，氣相的傳熱系數比固相的傳熱系數小，所以孔隙越大，有效傳熱系數越小。

5 結論

（1）根據分形原理，考慮粗糙表面傳熱特殊性，結合蒙特卡羅法，建立粗糙表面的模型，并推導出關于粗糙表面的傳熱系數的表達式。該模型既考慮了傳統的多孔介質的傳熱方式，又結合了蒙特卡羅法，能夠更詳細地顧及到細微結構對傳熱系數的影響。

（2）通過與實驗數據對比發現，當面積分形維數一定時，有效傳熱系數隨孔隙率的增大而減小，在孔隙率較小時減小的速率較快，在孔隙率較大時，減小的速率較小并逐漸趨于平穩，因為當孔隙率較大時，空氣與粗糙表面接觸的面積相對減小，而空氣的傳熱系數較小，所以變化也就較小并趨于平穩。

（3）通過對多孔介質粗糙表面的蒙特卡羅-分形傳熱研究發現，面積分形維數越大時，粗糙表面越不平整，傳熱過程也就越復雜，所以會導致傳熱系數減小，同理，當面積分形維數較小時，表面區域比較平整，傳熱路徑較短，耗時也就較少，傳熱系數較大。