基于Simulink的有限轉角電機控制系統建模與研究*

羅文龍，周 驊，趙 麒，朱文龍

（1.貴州大學大數據與信息工程學院，貴陽550025；2.貴州民族大學機械電子學院，貴陽550025）

1 引言

電機作為運動控制中最常用的執行器，廣泛應用于工業各個領域以及人們的日常生活中。有限轉角電機是在精準定位的情況下可在一定角度范圍內驅動負載的無刷直流電機[1]。它利用電子換向裝置代替機械換向裝置，結構相對于直流電機更為簡單，工作更為穩定，同時具有比交流電機更好的調速性能，控制精度更高，因此常被用于高性能的有限角度驅動器，在工業各個領域有著廣泛應用，所以對其控制系統的要求也越來越高。在設計控制系統時，既要考慮成本、開發周期等問題，又要對控制性能有較高的要求。對有限轉角電機控制系統進行建模和研究，通過模型仿真來測試控制效果，既能節省人力物力，又方便對系統進行優化改進[2]。

2 有限轉角電機建模

有限轉角電機是一種特殊的無刷直流電機。可以根據無刷直流電機的數學模型得到有限轉角電機的數學模型。

2.1 繞組電壓方程

在理想條件下，根據基爾霍夫電壓原理得到無刷直流電機繞組電壓平衡方程[3-4]如下：

式中：uA、uB、uC為三相電機繞組的端電壓；iA、iB、iC為電機的繞組電流；eA、eB、eC為反電動勢；R為電機繞組電阻；L為相繞組電感；M為每兩相繞組間的互感；ρ為微分算子d/dt。

此處建模的有限轉角電機是單項電機繞組，電壓電流都只有一項，不存在繞組間的互感M，只存在繞組電感L。可根據式(1)得到有限轉角電機的電壓平衡方程：

以及電機反電動勢表達式：

其中ke為反電動勢系數，ω為電機轉動角速度。根據上述方程，在Simulink里建立電壓方程模塊，如圖1所示。

圖1 繞組電壓方程模塊

2.2 電磁轉矩與電機運動方程

根據電磁轉矩方程，可得到電機的電磁轉矩：

式中，KT為電磁轉矩系數。由此式可見電磁轉矩與電流i成正比。在考慮負載轉矩的情況下，電機機械運動方程[5-6]為：

式中，J為轉子負載的轉動慣量；D為粘性阻尼系數；k為彈簧的剛度；T為電磁轉矩；ML為負載轉矩。可知，電磁轉矩與負載轉矩經過加、乘運算后再通過積分模塊可得到角速度，再對角速度做積分即可得到角度位置信號。再對上述方程在Simulink里建立方程模塊，如圖2所示。

圖2 電磁轉矩與機械運動方程模塊

將圖1、圖2的兩個模塊相連，得到電機整體模型，如圖3所示。由機械運動模塊獲得的角速度通過反電動勢系統的乘法模塊輸入到電壓平衡模塊，并且由電壓平衡模塊得到的電流通過電磁扭矩的乘法模塊得到電磁扭矩。電機模型整體封裝后的狀態如圖4所示。

圖3 有限轉角電機整體模型

圖4 有限轉角電機模型封裝

3 電機控制系統

電機控制系統主要由三環PID、前饋系統、PWM和電壓逆變器模塊組成，如圖5所示。指令位置與有限轉角電機的位置反饋的差值作為位置環輸入，而位置環的輸出與前饋增益和速度反饋的差值作為速度環的輸入。速度環的輸出與速度反饋的差值經過速度環PID調節和PWM模塊，轉化為PWM波形并經過H橋模塊來控制調節電機。

圖5 電機控制系統框圖

3.1 PID閉環控制

PID控制由比例控制（Proportional）、積分控制（Integral）和微分控制（Derivative）組成。其輸入是由電機反饋的值與給定的理想值決定的，而輸入經過PID調節后的輸出又反過來作用于電機，這個控制過程稱為閉環控制。

本電機控制系統采用電流環、速度環、位置環三閉環控制系統。電流環作為第一環，是由于PID的調節即是根據電動機反饋的電流進行的，電動機輸入電流接近設定的理想值，在轉矩模式下，由電流環控制電動機的轉矩，因此該環的運算最小且動態響應最快；速度環作為第二環，其輸入為第一環的輸出與反饋電流的差值；位置環作為最外環，其輸入為給定的理想位置，在位置環控制模式下，系統執行了所有三個環計算，所以其運算響應的時間較長[7-8]。

3.2 PWM生成模塊

電動機的調速可以通過控制電樞電壓實現。電壓容易做到連續調節，便于實現無級調速，平滑性好，調速損耗小，電機運行效率高。PWM波就是通過改變電壓大小來控制直流電機轉速的調制電波，通過改變一個方波在一個給定周期中占有的時間長度，可以得到一個可變的有效電壓輸出。占空比是指導通時間（即高電平時間）在整個周期所占的百分比，即：

式中t為高電平持續時間；T為波形的周期。平均電壓為：

式中，通常情況下，VL取0。平均電壓與占空比成正比。由于信號在高電平與低電平之間切換非常快，所以負載僅能識別電壓的平均值。本系統得到占空比輸出公式為：

其中Vref是輸入電機兩端的電壓；Vmin為最小參考電壓；Vmax為最大參考電壓。當Vref=Vmin時，占空比最小為0；當Vref=Vmax時，占空比最小為100。

3.3 前饋系統

有限轉角電機要求系統具有高增益，以保證系統具有良好的快速性、穩定性、準確性，以及抗干擾能力。然而，增益過高可能引起不穩定，特別是PID控制器中的積分控制器增益。而在傳統PID控制中，僅當出現一個位置跟蹤誤差，就給電機發送一個運動指令，即系統僅會在以及落后于期望軌跡之后才會采取行動。這就導致電機的上升時間、超調量等動態響應性能不夠理想，因此此處根據期望軌跡計算需要的速度，將其直接送到速度環而不必等待先產生一個誤差，即加入前饋系統對控制進行優化。

當速度前饋增益為Kvff時，前饋方程為：

式中，up(t)是位置環的輸出，Kd為電機反饋回來的電流增益。

速度前饋可以消除跟蹤誤差，然而，如果Kvff增益值設置得太高，速度前饋會引起超調，因為Kvff增益值設置得太高，在速度曲線的加/減速區間會產生大的誤差尖峰；而Kvff增益值過低，則會導致跟蹤誤差過大，即超調量較大，所以需要進行多次仿真實驗來整定Kvff前饋增益值。

除了包含如前所述各模塊以外，還利用switch模塊實現H橋的功能來決定控制電機的電壓的方向。根據上述原理，在Simulink里建立電機控制系統模塊，如圖6所示。

圖6 電機控制系統模塊

4 仿真分析

在Simulink上搭建有限轉角電機及三環PID控制系統。其中電機模型里驅動線圈電阻為0.52Ω；線圈電感為7.68mH；反電動勢常數為0.181；給定的理想位置響應為初始值為1s時間內由0變為1的階躍響應。在經過大量仿真調試后，三環PID控制系統最終控制參數確定為：

仿真結果如圖7所示。經分析可知，相比于傳統三閉環PID控制系統，加入前饋的三閉環PID控制系統提高了系統的動態性能。調節時間即上升時間為0.7s，遠小于傳統PID的3.5s，相當于傳統PID最大超調量的15.8%。前饋消除了跟蹤誤差，沒有產生超調現象，電機系統能更快地將電機調節至穩定狀態。可見，具有前饋系統優化的三閉環PID控制系統控制性能良好，明顯優于傳統PID的表現。

圖7 仿真結果對比

5 結束語

根據有限轉角無刷直流電機工作原理和特點，分析了無刷直流電機的數學模型，依據PID控制原理，在MATLAB的Simulink模塊里完成對有限轉角電機的建模，加入前饋系統對三環PID控制系統進行了優化。在調整參數并進行仿真后，該控制系統不僅沒有出現超調現象，而且控制性能穩定，動態指標良好，控制效果已超越了傳統三閉環PID控制系統。該設計目前已應用于某些有限轉角電機控制的實際應用中。