基于灰色馬爾科夫模型的南四湖水質預測

馬 景，武周虎，鄒艷均，任 鵬，李 琪

(青島理工大學環境與市政工程學院，山東 青島 266033)

南四湖是南水北調東線工程的必經之地，其水環境質量對受水區的供水安全保障至關重要。南四湖流域內人口眾多，工業和農業生產結構特征復雜，水環境容量小，水體污染與水資源短缺等問題較為突出。自2002年南水北調東線工程開工以來，山東省全面推進“治用保”流域治污體系，實現輸水干線水質基本達到規劃的水質目標。2013年12月南水北調東線一期工程順利通水后，山東省生態環境廳繼續組織開展了每年兩次的南四湖水質空間監測工作。本文以2010—2018年南四湖水質空間監測數據為基礎，開展南四湖水質模型研究。

在湖泊水環境規劃、評價和管理工作中，水質模型是重要的技術支撐[1-3]。由水質預測可以了解湖泊水環境質量的變化趨勢，及時發現導致湖泊水質惡化的原因并采取必要的治理對策[4]。目前常用的水質預測方法有灰色系統理論預測法[5]、數理統計預測法[6-7]、水質模擬預測法[8-9]和神經網絡模型法[10-11]等。相對而言，灰色系統理論預測法對水質實測數據的信息量要求較少，但存在灰色偏差和抗干擾能力弱的問題。因此，國內許多學者將灰色系統中的GM(1，1)模型應用于水質預測中，并通過不斷改進灰色模型來提高預測精度。王海云等[12]采用殘差修正處理技術后顯著提高了GM(1，1)模型的預測精度，解決了三峽大壩與葛洲壩之間水質數據波動性大的問題；李娜等[13]基于GM(1，1)模型提出新陳代謝理論，在補充新信息的同時去除因時間推移使其影響降低的老信息，為傳統模型的改進提供了新思路；顏廷文等[14]利用等維新息原理改進GM(1，1)模型，同時利用馬爾科夫鏈理論來改進對太湖流域水質預測的結果；盧丹[15]基于灰色馬爾科夫模型提出粒子優算法，快速求得了模型的最優化解，并將其應用于地下水水質預測中。

本文采用灰色馬爾科夫模型改進傳統GM(1，1)模型，再利用等維新息思想更新建模所需數據序列，構建一種等維新息灰色馬爾科夫模型；在模型檢驗的基礎上，對2019—2021年南四湖水質狀況和水質演變趨勢進行預測與分析，旨在診斷可能存在的水質問題，為南水北調南四湖水污染防治工作提供參考。

1 南四湖水質監測概況

南四湖位于魯西南濟寧市，自北向南由南陽湖、獨山湖、昭陽湖和微山湖4個湖泊連接而成，南北長約126 km，湖面面積約1 266 km2，蓄水量為 20.08億m3。南四湖流域面積為3.17萬km2，承接53條河流的來水，湖內各區段受污染情況因各河流的污染狀況不同而產生差異[16]。位于南四湖湖腰的二級壩樞紐工程將南四湖分為上級湖(北段)和下級湖(南段)[17]。在南水北調東線工程中，輸水是由下級湖南端入湖，經二級壩泵站提水入上級湖，再由上級湖北端出湖，入梁濟運河。

南四湖水質空間監測采用網格式布點法，在上級湖和下級湖共均勻布置90個監測點，其中上級湖51個，下級湖39個。監測時間為每年春末4—5月和秋末10—11月，主要水質監測指標為CODCr、pH值、溫度、TP、TN、NH3-N、CODMn、懸浮物、電導率、葉綠素a等。對比GB 3838—2002《地表水環境質量標準》，選取CODCr、CODMn、TP、TN、NH3-N等5項水質指標作為研究對象，選用2010—2018年共16批次(其中2010年與2012年分別為春和秋未監測)南四湖水質空間監測數據分別建立南四湖平均值、上級湖平均值、下級湖平均值和調水出湖口4個特征值的灰色GM(1，1)模型。

以2010—2018年南四湖全湖每年春季的CODCr、CODMn、TP、TN、NH3-N數據平均值(表1)為例，建立灰色GM(1，1)模型的原始數據序列。

表1 2010—2018年南四湖春季水質監測數據平均值

2 南四湖水質預測模型

2.1 模型構建

南四湖水質預測模型的理論基礎為灰色理論，灰色理論的核心是通過部分已知信息建立數學模型來預測事物的發展。其構建原理為：分別以5項水質指標為研究對象，首先對選定水質指標的原始數據進行一次累加處理，生成累加序列使其具有指數規律；其次對累加序列建立一階微分方程并求解；第三將求解結果累減還原得到相應水質指標的預測值。南四湖灰色GM(1，1)模型構建的方法步驟如下：

a.選定水質指標的原始數據序列，記為X0={x0，1，x0，2，…，x0，n}，生成X0的一次累加序列X1={x1，1，x1，2，…，x1，n}[18-19]，其中：

(1)

式中n為樣本數。

b.對原始數據進行級比檢驗。先計算原始數據的級比ρk序列：

(2)

再判斷ρk是否均在可容性覆蓋區間?=(e-2/n+1，e2/n+1)內。若是，則相應數據序列可以建立灰色GM(1，1)模型；否則，應選取適當的常數b對該組數據進行平移轉換處理，使處理后的數據序列Y0={y0，1，y0，2，…，y0，n}的級比落入可容性覆蓋區間內，其平移轉換過程為

y0，k=x0，k+b

(3)

c.通過一次累加序列X1，建立南四湖灰色GM(1,1)模型的一階微分方程：

(4)

式中：α、q分別為發展系數和灰色作用量。

d.設a=(α，q)T，運用最小二乘法，求解α、q：

a=(α，q)T=(BTB)-1BTD

(5)

e.由式(4)和式(5)得到灰色GM(1，1)模型：

(6)

(7)

2.2 模型檢驗

為了檢驗模型的可信度，需對預測值進行后驗差檢驗[20-21]。建立一階殘差序列：

E0={e0，1，e0，2，…，e0，n}=

(8)

令選定水質指標原始數據序列的方差為s1，殘差序列E0的方差為s2，分別計算后驗比c與小誤差概率p：

(9)

(10)

其中p和c的大小共同決定模型精度等級。表2給出了4級好、合格、基本合格和不合格的模型精度等級。模型c越小，p越大，則模型精度高。c越小，則s1越大、s2越小，即原始數據序列離散程度大，殘差序列離散程度小，由模型所得預測值與原始數據相差小，p值越大則表明預測值較為均勻。若檢驗精度等級符合要求，則建立的灰色GM(1，1)模型可直接預測數據；若精度等級不符合，則對預測數據進行修正。

2.3 模型的修正

對式(8)中的E0建立灰色GM(1，1)模型：

(11)

(12)

(13)

其中

引入灰色馬爾科夫模型判斷m0，k的正負。灰色馬爾科夫模型根據狀態轉移之間的概率來進行預測[22-25]，適用于預測隨機變化無規律的數據，彌補了傳統GM(1，1)模型對波動性和趨勢性數據預測精度低的不足。其計算過程如下：

a.根據E(0)劃分狀態。本文劃分兩種狀態，狀態1表示殘差為正，狀態2表示殘差為負。

b.求從狀態i轉移到狀態j經過的次數所占的概率pij：

(14)

式中：Mij為狀態i轉移到狀態j經過的次數；Mi為狀態i出現的總次數。根據式(14)得到狀態轉移矩陣P：

(15)

c.選定殘差序列最后一個值的狀態作為初始狀態向量μ0。設μ0=(μ0，1，μ0，2)，其中μ0，1、μ0，2分別代表處于狀態1和狀態2時的概率。即最后一個殘差值若為正，μ0=(1，0)；若為負，μ0=(0，1)。

d.根據μt=μ0Pt，求出經過t次狀態轉移后，第t次的狀態概率。選取概率最大的狀態作為最終結果，若兩種狀態概率相等，取前一次計算的結果。

2.4 模型的等維新息預測

將南四湖水質指標預測值x0，n+1補充到原始數據序列X0={x0，1，x0，2，…，x0，n}中作為最后一個水質數據，同時刪掉最早的一個水質數據，得到更新后的水質數據序列X0={x0，2，x0，3，…，x0，n+1}。對該水質數據序列重新進行計算、建模、預測，直至結果達到任務要求。在不斷更新數據的過程中，建模序列更能反映水環境系統目前的特征。

3 結果與分析

3.1 兩種模型精度對比

為對比分析灰色馬爾科夫模型與傳統GM(1，1)模型的預測精度，以2011—2019年春季水質監測TN指標為例，其實測值與兩種模型的預測值見圖1。由圖1可以看出，灰色馬爾科夫模型預測值與實測值擬合度更高，灰色馬爾科夫模型、傳統GM(1，1)模型預測值與實測值間的相關系數分別為0.95、0.44。通過統計數據可知傳統GM(1，1)模型預測值的相對誤差在-11.7%～30.6%之間，相對誤差絕對值平均為10.3%；而灰色馬爾科夫模型預測值的相對誤差在-5.2%～5.5%之間，相對誤差絕對值平均為3.3%，大大優于傳統GM(1，1)模型。因此，灰色馬爾科夫模型對具有波動性的數據預測更為準確。

圖1 2011—2019年春季TN質量濃度實測值與預測值

3.2 TN、NH3-N和TP指標

表3為2019—2021年春秋季南四湖TN、NH3-N和TP質量濃度預測結果。由表3可見，2019—2021年TN質量濃度隨年份和季節的推移呈現波動升高趨勢，上級湖秋季和下級湖春季均出現超標現象(GB 3838—2002《地表水環境質量標準》)，預計2021年秋季南四湖、上級湖、下級湖、調水出湖口TN質量濃度平均值分別達到1.147 mg/L、1.216 mg/L、1.054 mg/L和1.072 mg/L，均超過Ⅲ類水水質標準。

表3 2019—2021年南四湖TN、NH3-N和TP質量濃度預測結果

NH3-N質量濃度的變化規律呈現春季上升、秋季下降趨勢，均達到Ⅲ類水水質標準要求，預計到2021年秋季，南四湖、上級湖、下級湖、調水出湖口NH3-N質量濃度平均值分別為0.116 mg/L、0.113 mg/L、0.304 mg/L、0.075 mg/L。

TP質量濃度隨年份和季節的推移呈現類似的波動下降趨勢，且在一定程度上趨于平緩。預計2021年秋季南四湖、上級湖、下級湖、調水出湖口TP質量濃度平均值分別達到0.051 mg/L、0.055 mg/L、0.041 mg/L和0.082 mg/L。調水出湖口、上級湖、下級湖水質TP指標存在超標現象。

由于湖區蘆葦、水草等植物密度較高且湖泊換水率低，易形成水體富營養化[26]，在每年秋季枯水期尤為顯著。徐好等[27]研究了2006—2016年南四湖水質空間變化，發現10年間NH3-N下降最為顯著，TP、TN則受季節影響有所起伏。流域內農村污水管網建設不健全，加之船舶航運廢棄物以及工業面污染源導致氮磷污染呈逐年升高的趨勢。總體來說，南四湖流域由于自然環境以及人類活動因素，短期內對氮磷污染的管控尚未取得顯著成效。

3.3 CODCr和CODMn指標

表4為2019—2021年春秋季南四湖CODCr和CODMn質量濃度預測結果。由表4可見，2019—2021年南四湖4個特征值的CODCr和CODMn質量濃度隨年份和季節的推移呈現波動下降的趨勢，其規律均呈現秋季上升、春季下降趨勢，未出現水質超標情況。預計到2021年秋季，南四湖、上級湖、下級湖、調水出湖口CODCr質量濃度平均值分別為13.13 mg/L、13.30 mg/L、13.18 mg/L和 15.11 mg/L，與2018年秋季相比，分別下降了19.6%、22.7%、12.6%、19.2%；CODMn質量濃度平均值分別為4.40 mg/L、4.47 mg/L、4.43 mg/L和4.24 mg/L，與2018年秋季相比，分別下降了14.2%、8.4%、5.3%、15.2%。CODMn、CODCr質量濃度總體上呈現上級湖大于下級湖、秋季大于春季的特征，張柳青等[28]的研究結果表明，湖區內有機物質量濃度受枯水期工農業等人為污染源影響較大，上游流域的養殖業、種植業對COD貢獻較高。

表4 2019—2021年南四湖CODCr和CODMn質量濃度預測結果

綜合南四湖歷年水質監測數據與以上預測結果可得出：水質指標CODCr、NH3-N、CODMn質量濃度總體均呈現下降趨勢，達到Ⅲ類水水質標準要求。南四湖流域水環境治理取得了一定的成效，但TN和TP指標質量濃度受季節影響顯著，總體呈現上升趨勢。南四湖平均值、上級湖平均值、下級湖平均值、調水出湖口水質隨季節性的變化規律明顯，且春季水質優于秋季，下級湖水質優于上級湖，說明水質由北向南逐漸變好。

4 結 論

a.利用灰色馬爾科夫模型對傳統GM(1，1)模型進行改進，通過對改進前、后兩種模型精度的對比分析發現，改進后的灰色馬爾科夫模型相對誤差小、精度高，預測結果更為合理。

b.預測結果表明，2019—2021年南四湖CODCr、NH3-N、CODMn質量濃度呈下降趨勢，均達到Ⅲ類水水質標準要求，水質自北向南逐漸變好；TN、TP質量濃度有上升現象，存在超標風險，應進一步加強對南四湖流域TN、TP的控制與監管力度。

c.自2010年以來，南四湖CODCr、NH3-N、CODMn治理效果明顯，但TN、TP受流域內產業結構性污染的影響出現波動現象。建議進一步調整產業結構，推行科學施肥，以減少水體富營養化的風險。