基于反饋變分模態分解和巴氏距離的信號去噪方法

江海，莫躍，何其愚

(1.中國南方電網超高壓輸電公司天生橋局，貴州 興義 562400；(2.云南新天地人工環境工程有限公司，云南 昆明 650000)

近年來，水系統管道因受自然環境因素以及人為因素影響導致泄漏事故頻發，其不僅造成水資源的浪費及經濟損失，還帶來極大的消防安全隱患[1-4]。因此，管道泄漏監測逐漸成為研究熱門。至今為止，管道泄漏監測方法，主要有負壓波法、次聲波法、壓力法等[5-8]。管道泄露監測過程中，采集的信號中不僅包含著泄露聲信號，而且存在著很多的環境噪聲，導致泄漏信號難以被提取識別從而造成管道泄漏監測系統誤報警、漏報警，影響系統監測以及定位性能[9-11]，所以為了確保泄露檢測與定位的可靠性與準確性，必須對采集的信號進行去噪處理。因此，對采集信號進行去噪處理的研究具有重要意義。

傳統的信號去噪方法通過設計濾波器將某一特定頻帶寬度的噪聲信號濾除以達到去噪目的，而當噪聲信號為瞬態信號或者非平穩信號時，其頻譜通常較寬，該方法難以處理[12]。小波閾值去噪方法可以將采集信號轉換到小波域，通過設定相應的閾值將泄露信號以及噪聲信號分離，但小波基函數以及小波閾值的選取通常較為困難[13-14]。部分學者基于信號局部的特征時間尺度構建一種自適應分解方法-經驗模態分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD)，該方法無須設置基函數以及閾值即可對信號按照不同頻率進行分解[15-16]。2014年，Dragomiretskiy等學者提出變分模態分解方法(Variational Mode Decomposition，VMD)，該方法有效解決了EMD方法分解導致的端點效應以及頻譜混疊問題[17-19]。目前，該方法被廣泛應用于多個研究領域，如醫學圖像處理、機械故障診斷等[20-25]。

但是，VMD分解只是將原始信號分解為多個具有不同中心頻率的固有模態分量和殘余分量，而如何從VMD分解所得多個固有模態分量中挑選有效分量重構原始信號達到去噪目的仍是一個難題[26]。此外，VMD分解效果受人為設定分解層數K值影響較大。單獨將VMD算法用作降噪，難度較大，且降噪結果受人為因素影響，需對VMD算法進行改進。

因此，本文提出一種基于反饋機制的VMD與巴氏距離(Bhattacharyya Distance，BD)的聯合去噪方法(VMDF-BD)，該方法無須預先設定K值即可完成對有效分量的篩選。

為驗證本文所提方法有效性，采用VMDF-BD方法對仿真信號進行了去噪處理，并分別與多種聯合去噪算法進行比較。仿真結果表明，該方法去噪效果優于其他四種聯合去噪算法，即VMD-SC、VMD-HD、EMD-SC、EMD-HD。此外，利用該方法對實際采集管道信號進行去噪處理，實驗結果表明，該方法能夠有效去除信號中存在的噪聲。

1 反饋變分模態分解與巴氏距離聯合去噪方法

1.1 變分模態分解

VMD是一種自適應、完全非遞歸的模態變分和信號處理的方法，是一種新的可變尺度的信號分解方法，其能將實值信號分解為K個具有特定稀疏特性的模態分量。該方法具有可以確定模態分解個數的優點，其自適應性表現在根據實際情況確定所給序列的模態分解個數，隨后的搜索和求解過程中可以自適應地匹配每種模態的最佳中心頻率和有限帶寬，并且可以實現固有模態分量(IMF)的有效分離、信號的頻域劃分、進而得到給定信號的有效分解成分，最終獲得變分問題的最優解。其本質是通過迭代求解所構建約束變分問題的最優解從而得到估計帶寬之和最小的K個模態分量，核心思想是構建和求解變分問題。其具體的分解步驟如下:

首先，通過希爾伯特變換求解各個模態分量的單邊頻譜，如式(1)

其中，*為卷積運算，δ(t)為單位脈沖函數，uk(t)為第k個模態分量函數，k＝1，2，…，K。之后通過引入各模態的估計中心頻率指數項，將各模態頻譜分別調制到相應的基頻帶上，如式(2)

其中，·為乘法運算，ωk為第k個模態分量的中心頻率。然后，通過求式(2)的梯度平方L2范數，即求得各個模態分量的估計帶寬，如式(3)

其中，?t為對函數求時間t的導數。最后，加入約束條件，則該約束變分問題最終表示為

其中，s為原始信號。為較好求解該約束變分問題，引入二次懲罰因子α以及拉格朗日乘法算子λ(t)將其轉換為無約束變分問題，則式(4)可表示為

最終，通過交替方向乘子算法(Alternate Direction Method of Multipliers，ADMM)求解式(5)，得到各參量迭代更新公式分別如式(6)(7)和(8)所示

其中，m為迭代次數，τ為更新參數，其控制拉格朗日乘法算子的收斂速度，迭代終止條件為，ε為收斂精度。

它克服了EMD方法存在端點效應和模態分量混疊的問題，并且具有更堅實的數學理論基礎，可以降低復雜度高和非線性強的時間序列非平穩性，分解獲得包含多個不同頻率尺度且相對平穩的子序列，適用于非平穩性的序列。

1.2 巴氏距離

巴氏距離主要用于統計兩概率分布的相似性，其結果與巴氏系數密切相關。巴氏距離的具體計算方法如下:假設在同一定義域x內，存在兩個離散概率分布分別為p和q，則巴氏距離為

其中，BD(p，q)為Bhattacharyya系數，其主要用于度量兩統計樣本之間的重疊量，表示為

本文中，由于采集信號及其VMD分解所得各模態分量的概率分布未知，因此在計算各分量的巴氏距離之前，需要對各個分量進行密度估計，根據密度估計的結果再求巴氏距離。

1.3 VMDF-BD算法

本文基于反饋機制的VMD與巴氏距離構建的聯合去噪方法，首先將采集信號作為輸入信號進行2層VMD得到兩個模態分量，之后分別計算兩模態分量與采集信號之間的距離，將距離較小的作為較純凈的模態分量反饋回輸入端從輸入信號中減去作為新的輸入信號，如此迭代直至信號完全分解，最后，利用歷次迭代所得較純凈模態分量相加重構原始采集信號，達到去噪目的。其主要步驟如下:

第一步，初始化分解層數，也即VMD分解所得模態數K＝2，初始化迭代次數kk＝1；初始化輸入信號為采集信號，Sinkk＝S。

第二步，根據式(6)、式(7)、式(8)對輸入信號Sinkk進行VMD，得到兩模態分量ukk1，ukk2。

第三步，根據式(9)、式(10)分別計算兩模態分量與采集信號之間的巴氏距離，得到BDkk1，BDkk2，取二者中最小距離對應模態分量作為較純凈模態分量，即upurekk＝ukk1，i＝argmin(BDkk1，BDkk2)，其中argmin()表示取最小值的索引。

第四步，判斷當前采集信號是否完全分解，其判別條件為:當當前分解所得兩模態分量對應巴氏距離的最小值仍大于前次分解所得兩模態分量對應巴氏距離的最大值時，則該信號完全分解，即min(BDkk1，BDkk2)＞max(BDkk-11，BDkk-12)。若信號完全分解，則停止迭代，并利用歷次迭代所得較純凈模態分量重構原始信號，即，；否則，轉第五步；

第五步，將純凈模態分量返回輸入端并從原輸入信號中減去，得新的輸入信號，即，Sinkk＋1＝Sinkkupurekk，并重復第2步～第4步。

2 算法仿真及實驗分析

為驗證本文所提方法的去噪效果以及有效性，本文將對VMDF-BD算法進行驗證。采用用仿真信號中添加白噪聲，用降噪方法對該疊加信號進行降噪，并從多角度對比其降噪結果。從而達到驗證VMDF-BD算法降噪效果是否可靠的目的。

本文在正弦信號中加入已知的高斯白噪聲模擬管道采集信號。仿真實驗運行環境為MATLAB R2020b，仿真實驗所用正弦信號為x(t)＝sin(2π×13×t)＋cos(2π×96×t)＋cos(2π×145×t)，該仿真信號中所疊加的頻率分別為13Hz、96Hz、145Hz，這三種頻率也是判斷降噪效果的標準。采樣頻率為1 kHz，采樣點數為1200點。

2.1 K值對分解性能的影響

針對上述的仿真信號進行VMD分解，根據分解不同分解層數的中心頻率來確定最優分解層數。

仿真實驗正弦信號由上述公式仿真而成，分別由頻率為13Hz、96Hz、145Hz的正弦信號疊加。本實驗采用手動確定k值的大小來找出最佳得分解層數。采用不同K值對仿真信號進行VMD，然后對分解所得的模態分量求其中心頻率，所得各模態分量對應中心頻率如下表所示。

表1 不同K值VMD所得各模態分量中心頻率Tab.1 Center frequencies of modal components obtained by VMD with different K values

由表1可知，當K＝2，即分解層數小于仿真信號所含不同頻率成分數時，可以看到其只分解出中心頻率為13Hz附近的分量，高頻分量并不存在，屬于欠分解；當k＝3，可以看到其中心頻率包括12.99999，95.9918，145.0022，根據上述仿真可知，該正玄信號的組成頻率為13 Hz、96Hz、145Hz，因此可只k＝3的分解尺度合適；當K＝4以及K＝5，即分解層數大于仿真信號所含不同頻率成分數，可以看到不僅分解得到了與仿真信號頻率成分相近的模態分量，而且還存在中心頻率為149.4952Hz、66.4038Hz、149.7513Hz的成分，屬于過分解。由此可知，VMD分解性能受K值影響較大。因此對于如何確定分解層數成為影響去噪效果的重要因素。

2.2 vmdf-bd迭代終止條件

據此，本文提出VMDF-BD方法，該方法是基于反饋機制的VMD與巴氏距離構建的聯合去噪方法，該方法的反饋機制能夠較好地迭代終止判斷從而能夠較好地達到去噪的目的。

迭代何時終止是去噪是否有效果的重要影響因素，因此為驗證本文所提VMDF-BD方法所設定迭代終止條件成立，對上述仿真實驗正弦信號應用VMDF-BD方法進行分解，根據其分解后的結果求其各次迭代后所得分量中心頻率及巴氏距離如表2所示。

表2 歷次迭代各模態分量中心頻率以及巴氏距離Tab.2 Central frequency and pasteurization distance of each modal component in previous iterations

由表2可知，當迭代至第三次時，本次分解所得兩模態分量對應巴氏距離分別為0.0824、1.4973，其最小值依然比上次分解所得距離最大值0.0817大，因此根據本文所設迭代終止條件，當前信號已經完全分解。而從中心頻率的變化上看，第三次迭代產生的新分量的中心頻率與正弦信號中所含三頻率成分均無關，根據1.3中的分解完成判別方法，說明當前該信號已經完全分解，其分解所得各分量為歷次迭代分解所得較純凈模態分量。因此，VMDF-BD方法所設計迭代終止條件成立。

2.3 去噪性能對比分析

對于信號處理來說，去噪效果往往會在很大程度上影響結果的判斷，本實驗的最終目的也是找到較合適的去噪方法。因此本文在上述仿真實驗正弦信號中加入snr＝5dB的高斯白噪聲，分別采用VMDF-BD，VMD-SC，EMD-SC，VMD-HD，EMDHD對其進行去噪處理。為保證實驗的科學性，VMD-SC以及VMD-HD中VMD分解層數K值設定與EMD-HD以及EMD-SC自適應分解層數一致，均為9層。將加入白噪聲的信號采用上述幾種方法去噪之后重構，各方法所得重構信號與原始信號時域對比圖如圖1所示，頻域對比圖如圖2所示。

圖1 時域對比圖Fig.1 Time domain comparison diagram

從圖1可知，VMD-HD以及EMD-HD所得去噪結果在時域方向即與原始信號相去甚遠，在去掉噪聲信號的同時也去掉了較多的有效信號，雖然信號較為平滑，但同時也導致信號嚴重失真。VMDSC以及EMD-SC與原始信號波形基本一致，但其內仍包含有較多噪聲信號。而本文提出的VMDFBD所得去噪信號與原始信號相比，波形基本一致，且更平滑，去噪效果顯著。為了更清楚的表征各種方法的去噪效果，本實驗也在頻域方向做了對比。

從圖2中可知，與時域對比圖相似，VMD-HD以及EMD-HD所得去噪后信號頻譜與原始信號頻譜相比，均缺少了兩個頻率較高的分量，即這兩種去噪方法不可靠。VMD-SC所得去噪后信號頻譜與原始信號頻譜相比，其去除了部分分布在低頻的噪聲，高頻噪聲并不能很好的去除，而EMD-SC所得去噪后信號頻譜與原始信號頻譜相比，基本一致，去噪效果不明顯。本文所提VMDF-BD所得去噪后信號頻譜與原始信號頻譜相比，在原有頻率分量處基本保持一致，在其余處頻譜幅值趨于0，很好地達到了去噪的要求，從頻域上觀察，其去噪效果顯著。

圖2 頻域對比圖Fig.2 frequency domain comparison diagram

去噪效果的好壞一般采用均方根誤差RMSE和信噪比SNR兩個指標，RMSE是預測值與真實值偏差的平方與觀測次數n比值的平方根，一般情況其值越小越好，SNR指有用信號的功率和噪聲信號功率的比值，其比值越大，說明去噪效果越好。因此本實驗為進一步說明去噪性能，引入去噪性能指標對各去噪算法進行比對，即RMSE和SNR，分別定義為

其中，s(t)為原始信號，s′(t)為去噪后信號，T為信號總長度。則各去噪方法SNR以及RMSE計算結果，如表3所示。

表3 各去噪方法SNR以及RMSETab.3 SNR and RMSE of each denoising method

一般來說，信噪比越大，均方根誤差越小，則去噪效果越好。從表3可知看出:RMSE指標的排序為:VMDF-BD＜VMD-SC＜EMD-SC＜VMD-HD＜EMD-HD；SNR指標的排序為:VMDF-BD＞VMD-SC＞EMD-SC＞VMD-HD＞EMD-HD。本文所提方法VMDF-BD的SNR最大，RMSE最小。VMD-SC與EMD-SC的結果次之，去噪效果相似，均優于VMDHD與EMD-HD的去噪效果。與上述時域和頻域的判斷結果一致，在上述五種去噪算法中，本文所提VMDF-BD方法去噪效果最好。

2.4 VMDF-BD管道采集信號測試

將上述方法用于實際采集的信號分析。本次實驗裝置如圖3所示，主要包括三個部分:次聲波傳感器，數據采集及傳輸模塊，PC端。

傳感器安裝于管道之上采集信號并通過同軸電纜傳輸給數據采集與傳輸模塊，并經其轉換為數字信號后經雙絞線發送至PC機，在PC機上可進行信號分析，從而進行管道泄露判斷及泄露點定位。

圖3 實驗裝置示意圖Fig.3 Schematic diagram of experimental device

本實驗的實際實驗參數為:管道為約200米長型號為DN20的PVC直水管道，管內水壓為0.1Mpa。數據采集與傳輸模塊內采樣頻率為500Hz，采樣精度為24 bit。

通過閥門開度控制管道有無泄漏。為加快信號處理的速度，從采集信號中截取1200點進行分析。對該信號的分析包括時域和頻域兩個方向進行去噪前后對比。本實驗所采用的去噪方法即上述的VMDF-BD法。原始信號的去噪前后時域對比圖如圖4所示。

圖4 去噪前后信號時域對比圖Fig.4 time domain comparison of signals before and after denoising

從圖4可知，去噪后信號與原始信號相比，波形基本一致，保留了較多的信號細節，但更平滑，可知該去噪方法效果顯著。為了清楚地展現去噪效果，本實驗將原始信號和去噪后的信號均進行了時頻轉換，其頻域對比圖如圖5所示。

圖5 去噪前后頻域信號對比圖Fig.5 Comparison of frequency domain signals before and after denoising

據資料顯示，管道泄露所產生的頻率處較低頻的范圍，因此高頻部分為噪聲信號。從圖5可看出，去噪后的信號的幅值均低于去噪前的信號，尤其在高頻部分，本文提出VMDF-BD法用于管道泄露聲波信號去，能夠達到去噪目的。因此，本文提出的方法可以有效去除實際管道采集信號中引入的寬帶噪聲。

3 結論

針對管道采集信號中存在的噪聲干擾問題，提出了一種基于變分模態分解與巴氏距離的聯合去噪算法。通過對仿真信號降噪的方法，分析得出了該算法具有較好降噪效果的結論。并將該算法實際應用在管道采集的信號中進行降噪處理，其降噪效果較好。

該算法取得了較好的去噪效果。其主要優點如下:

(1)采用巴氏距離來度量各分解所得模態分量與原始信號之間的相似性，使去噪信號減少失真。

(2)引入反饋機制，無須人為設定VMD分解層數，確保采集信號完全分解，以盡可能去除噪聲。

(3)仿真實驗中，本文所提方法去噪效果明顯優于其余四種去噪算法。實際測試中，本文所提方法能夠有效去除實測數據的噪聲，并且保留原始信號的基本特性。

因此，本文所提去噪方法具備一定的研究價值，并且能夠為下一步的信號識別、分類提供幫助。