基于MATLAB的平面度誤差評(píng)定程序設(shè)計(jì)

馬書(shū)紅， 吳呼玲， 薛 帥

(陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 1. 基礎(chǔ)課部; 2. 智能制造學(xué)院， 陜西 西安 710300)

0 引言

平面度誤差，是指被測(cè)實(shí)際平面對(duì)理想平面的變動(dòng)量[1]。測(cè)量方法有直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)煞N，直接測(cè)量是指可直接得到平面被測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)值或直接評(píng)定被測(cè)平面度誤差的方法。間接測(cè)量是指通過(guò)測(cè)量不能直接得到被測(cè)平面上各點(diǎn)坐標(biāo)值，需經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理才可得到各點(diǎn)坐標(biāo)值的方法，例如自準(zhǔn)直儀法、水平儀法、跨步儀法[1]等。

多數(shù)情況下，平面度誤差的測(cè)量點(diǎn)數(shù)較多，數(shù)據(jù)處理過(guò)程較復(fù)雜，處理結(jié)果的準(zhǔn)確性和時(shí)效性難以保證，通過(guò)計(jì)算機(jī)程序?qū)ζ溥M(jìn)行處理成了解決問(wèn)題的關(guān)鍵。本研究從平面度誤差評(píng)定的三種評(píng)定過(guò)程進(jìn)行分析，根據(jù)評(píng)定過(guò)程和評(píng)定原理進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，通過(guò)實(shí)際的數(shù)據(jù)計(jì)算，驗(yàn)證程序的正確性。通過(guò)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)平面度誤差的評(píng)定，實(shí)現(xiàn)了誤差處理的準(zhǔn)確性和高效率，也為數(shù)學(xué)建模課程的實(shí)際應(yīng)用奠定了一定的基礎(chǔ)。

1 旋轉(zhuǎn)理論評(píng)定平面度誤差

在平面度誤差的測(cè)量過(guò)程中，調(diào)平被測(cè)平面很費(fèi)時(shí)間，尤其是被測(cè)平面較大時(shí)，調(diào)平更加困難。因此常采用布線方式，用水平儀測(cè)量若干直線上各點(diǎn)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換，將測(cè)量數(shù)據(jù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為對(duì)選定基準(zhǔn)平面的坐標(biāo)值，然后按一定的評(píng)定方法確定其誤差值。評(píng)定方法主要有：三遠(yuǎn)點(diǎn)法、對(duì)角線法、最小二乘法和最小包容區(qū)域法。

旋轉(zhuǎn)理論[2]評(píng)定平面度誤差的過(guò)程步驟如下。

(1) 對(duì)于一個(gè)被測(cè)平面的m行n列的測(cè)量數(shù)據(jù)，將每一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)量分解為繞行的旋轉(zhuǎn)和繞列的旋轉(zhuǎn)兩個(gè)分量。

(2) 設(shè)定被測(cè)平面繞行的旋轉(zhuǎn)軸為第一行，旋轉(zhuǎn)量分別為：第一行為零，第二行為Q，第三行為2Q，第四行為3Q，依次類推。由于測(cè)量的行距相同，所以每一行相對(duì)前一行的旋轉(zhuǎn)增量也相同。

(3) 設(shè)定被測(cè)平面繞列的旋轉(zhuǎn)軸為第一列，旋轉(zhuǎn)量分別為：第一列為零，第二列為P，第三列為2P，第四列為3P，依次類推。由于測(cè)量的列距相同，所以每一列相對(duì)前一列的旋轉(zhuǎn)增量也相同。

(4) 將每一測(cè)量點(diǎn)繞行的旋轉(zhuǎn)量和繞列的旋轉(zhuǎn)量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)相加，可得到被測(cè)平面上每一測(cè)量點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)量。將被測(cè)平面的m行n列的測(cè)量數(shù)據(jù)與每一測(cè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)量相加，可得到每一測(cè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后的坐標(biāo)值。

(5) 選定某一評(píng)定方法，按照評(píng)定原理，選擇對(duì)應(yīng)的目標(biāo)點(diǎn)，計(jì)算出每一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)量，對(duì)各測(cè)點(diǎn)做坐標(biāo)換算，得到每一測(cè)量點(diǎn)的新的坐標(biāo)。

(6) 分析旋轉(zhuǎn)后，各測(cè)點(diǎn)新的坐標(biāo)，是否符合某一評(píng)定方法的評(píng)定準(zhǔn)則，如果不符合，則應(yīng)該做二次旋轉(zhuǎn)，重復(fù)以上步驟。

例如：對(duì)于一塊350 mm×350 mm的平板進(jìn)行平面度誤差的測(cè)量和評(píng)定，選用千分表進(jìn)行測(cè)量，每測(cè)點(diǎn)的行距和列距為100 mm，每行和每列分別測(cè)量三個(gè)點(diǎn)，利用旋轉(zhuǎn)理論求出其平面度誤差。

350×350的平板進(jìn)行平面度誤差評(píng)定方法的數(shù)據(jù)處理采用旋轉(zhuǎn)變換理論，如圖1所示。

原始測(cè)量數(shù)據(jù)(格) 每一測(cè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)量 每一測(cè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后的坐標(biāo)值

1.1 對(duì)角線法評(píng)定平面度誤差數(shù)據(jù)處理

對(duì)角線法評(píng)定平面度誤差，是將被測(cè)平面上兩個(gè)對(duì)角上的測(cè)量點(diǎn)調(diào)成等高，以此兩點(diǎn)的連線作為基準(zhǔn)線。同時(shí)調(diào)整另外一個(gè)對(duì)角上的測(cè)量點(diǎn)等高，以此兩點(diǎn)的連線作為另一條基準(zhǔn)線。通過(guò)其中一條基準(zhǔn)線，且平行另一條基準(zhǔn)線的平面作為平面度誤差評(píng)定的基準(zhǔn)平面，所有測(cè)點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)平面的最高偏離點(diǎn)與最低偏離點(diǎn)的距離，為被測(cè)平面的平面度誤差[3]。如式(1)—式(3)。

(1)

(2)

(3)

求得式(1)：P=0.5;Q=-2.5, 求得式(2)：p=-7；Q=-1.5, 求得式(3)：p=-2；Q=-5。

以圖1中每一測(cè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后的坐標(biāo)值中兩個(gè)對(duì)角旋轉(zhuǎn)到等高為評(píng)定原則，列出方程組(1)，求出旋轉(zhuǎn)量P=0.5,Q=-2.5，得到每一測(cè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的測(cè)量值如圖2所示。

0-9.5-15-5.5+1+7.5-15-8.50

通過(guò)其中一條對(duì)角線(0—0對(duì)角線)，且平行于另一條對(duì)角線((-15)—(-15)對(duì)角線)的平面為基準(zhǔn)平面，實(shí)際被測(cè)平面上偏離基準(zhǔn)平面的最高點(diǎn)為+7.5，偏離基準(zhǔn)平面的最低點(diǎn)為(-15)。因此，平面度誤差為被測(cè)平面的實(shí)際測(cè)量值的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的差值，即式(4)。

f平面度=(+7.5)-(-15)=22.5

(4)

1.2 三遠(yuǎn)點(diǎn)法評(píng)定平面度誤差數(shù)據(jù)處理

三遠(yuǎn)點(diǎn)法評(píng)定平面度誤差，是將被測(cè)平面上距離盡可能遠(yuǎn)的、不在同一直線上的任意三個(gè)點(diǎn)調(diào)整成等高，以此三點(diǎn)組成的平面作為平面度誤差評(píng)定的基準(zhǔn)平面，所有測(cè)點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)平面的最高偏離點(diǎn)與最低偏離點(diǎn)的距離，為被測(cè)平面的平面度誤差。

以圖1中每一測(cè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后的坐標(biāo)值中相距盡可能遠(yuǎn)、且不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到等高為評(píng)定原則，列出方程組(2)，求出旋轉(zhuǎn)量P=-7,Q=-1.5，得到每一測(cè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的測(cè)量值如圖3所示。

0-8.5-13-13-5.5+2-30-22.5-13

以選中的盡可能相距較遠(yuǎn)、且不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)(-13的三個(gè)點(diǎn))構(gòu)成一個(gè)平面作為基準(zhǔn)平面，實(shí)際被測(cè)平面上偏離基準(zhǔn)平面的最高點(diǎn)為+2，偏離基準(zhǔn)平面的最低點(diǎn)為(-30)。因此，該平面的平面度誤差為式(5)。

f平面度=(+2)-(-30)=32

(5)

1.3 最小區(qū)域法評(píng)定平面度誤差數(shù)據(jù)處理

最小包容區(qū)域法評(píng)定平面度誤差，是一種最準(zhǔn)確、最科學(xué)的評(píng)定方法。具體要仔細(xì)觀察所測(cè)數(shù)據(jù)的分布情況，分析所測(cè)數(shù)據(jù)的分布符合最小區(qū)域法評(píng)定平面度誤差的哪一種準(zhǔn)則(三角形準(zhǔn)則、交叉準(zhǔn)則和直線準(zhǔn)則)。然后根據(jù)被測(cè)數(shù)據(jù)所符合的準(zhǔn)則，確定基準(zhǔn)平面，所有測(cè)點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)平面的最高偏離點(diǎn)與最低偏離點(diǎn)的距離，為被測(cè)平面的平面度誤差。

仔細(xì)觀測(cè)圖1中測(cè)量數(shù)據(jù)的分布情況，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分布符合交叉準(zhǔn)則，其中(-10)與(-16)屬于兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)中的最低點(diǎn)，(+12)與0屬于兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)中的最高點(diǎn)，且符合兩個(gè)低點(diǎn)處于兩個(gè)高點(diǎn)連線的兩側(cè)。將圖1中每一測(cè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后的坐標(biāo)值中兩個(gè)最高點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到等高、兩個(gè)最低點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到等高為評(píng)定原則，列出方程組(3)，求出旋轉(zhuǎn)量P=-2,Q=-5，得到每一測(cè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的測(cè)量值如圖4所示。

0-8-20-12-4-16-200-10

以通過(guò)兩個(gè)最低點(diǎn)的連線((-20)—(-20)連線)，且平行于兩個(gè)最高點(diǎn)的連線(0—0連線)的平面為基準(zhǔn)平面，實(shí)際被測(cè)平面上偏離基準(zhǔn)平面的最高點(diǎn)為0，偏離基準(zhǔn)平面的最低點(diǎn)為(-20)。因此，該平面的平面度誤差為式(6)。

f平面度=0-(-20)=20

(6)

1.4 最小二乘法評(píng)定平面度誤差數(shù)據(jù)處理

最小二乘法評(píng)定平面度誤差，需要確定出最小二乘平面。

設(shè)(xi，yi，zi)，i=1,2，…,n是直角坐標(biāo)系中，被測(cè)平面上n個(gè)測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，被測(cè)實(shí)際平面與最小二乘平面的關(guān)系，如圖5所示。

圖5 平面度的最小二乘模型

(7)

(8)

(9)

求出具體的最小二乘平面之后，實(shí)際平面上處于最小二乘平面上方的最高點(diǎn)(坐標(biāo)值為(xM，yM,zM))到最小二乘平面的距離，加上實(shí)際平面上處于最小二乘平面下方的最低點(diǎn)(坐標(biāo)值為(xL，yL，zL))到最小二乘平面的距離之和，為被測(cè)平面的平面度誤差[5]。為式(10)。

(10)

2 基于MATLAB的平面度誤差評(píng)定程序設(shè)計(jì)

2.1 對(duì)角線法及三遠(yuǎn)點(diǎn)法評(píng)定平面度誤差程序設(shè)計(jì)

說(shuō)明：對(duì)角線法和三遠(yuǎn)點(diǎn)法的程序?qū)崿F(xiàn)區(qū)別甚小。以下是對(duì)角線法的程序代碼[6]，如果采用三遠(yuǎn)點(diǎn)法進(jìn)行誤差評(píng)定，請(qǐng)采用程序中中括號(hào)中的代碼替換即可。

clear;

clc;

%(數(shù)據(jù)輸入及矩陣行列讀入)

X_data=xlsread('三行三列數(shù)據(jù)3.xlsx'); %read data

X=size(X_data);%

m=X(1,1);

n=X(1,2);

%(制造函數(shù)矩陣)

test=zeros(m,n);

X_m=zeros(m,n);

X_n=zeros(m,n);

i=0;

j=0;

for i=0:1:m-1;

X_m(i+1,:)=i;

end

for j=0:1:n-1;

X_n(:,j+1)=j;

end

syms x y;

XM=X_m*x;

XN=X_n*y;

test_1=XM+XN;

%(矩陣合并)

test_2=test_1+vpa(X_data)

%(對(duì)角線位置數(shù)據(jù)采集) 【%(三點(diǎn)位置數(shù)據(jù)采集)中括號(hào)里為三遠(yuǎn)點(diǎn)法代碼】

mm1=1; 【mm1=1;】

nn1=1; 【nn1=2;】

mm2=m; 【mm2=3;】

nn2=n; 【nn2=1;】

mm3=1; 【mm3=3;】

nn3=n; 【nn3=3;】

mm4=m;

nn4=1;

point1=test_2(mm1,nn1) 【point1=test_2(mm1,nn1)】

point2=test_2(mm2,nn2) 【point2=test_2(mm2,nn2)】

point3=test_2(mm3,nn3) 【point3=test_2(mm3,nn3)】

point4=test_2(mm4,nn4)

%(聯(lián)立方程求解函數(shù)) 【%(聯(lián)立方程求解函數(shù))中括號(hào)中為三遠(yuǎn)點(diǎn)法代碼】

form1=point1-point2 【form1=point1-point2】

form2=point3-point4 【form2=point2-point3】

[x,y]=solve(form1==0,form2==0,x,y)

xx=vpa(x)

yy=vpa(y)

%(反代函數(shù)矩陣中的最大值和最小值)

Xm=X_m*xx;

Xn=X_n*yy;

test_3=X_m*xx+X_n*yy+X_data

%(求出矩陣中的最大值和最小值)

a=max(max(test_3))

b=min(min(test_3))

%(求出平面度誤差)

final=a-b

2.2 對(duì)角線法和三遠(yuǎn)點(diǎn)法評(píng)定平面度誤差程序運(yùn)行過(guò)程及結(jié)果

當(dāng)被測(cè)平面的測(cè)量結(jié)果為：第一行，0、-18、4；第二行，-6、-2、6；第三行，-24、8、10，采用對(duì)角線評(píng)定平面度誤差，程序運(yùn)行結(jié)果如圖6所示。

2.3 最小二乘法評(píng)定平面度誤差程序設(shè)計(jì)

%最小二乘法評(píng)定平面度誤差評(píng)定程序[7]

A=xlsread('zxecf.xls');

x=A(:,1);

y=A(:,2);

z=A(:,3);

% n=size(z);

X=[ones(size(z)),x,y];

[b1,bint,r,rint,stats]=regress(z,X); %平面擬合結(jié)果，r為誤差(點(diǎn)到擬合平面的距離)

a=b1(2);

b=b1(3);

c=b1(1); %平面z=ax+by+c的系數(shù)

x0=-20:1:60;

y0=-10:1:30;

[X,Y]=meshgrid(x0,y0);

Z=a*X+b*Y+c;

figure(1)

scatter3(x,y,z,'filled') %繪制散點(diǎn)圖

hold on

mesh(X,Y,Z) %繪制擬合平面

[max,index1]=max(r); %距離最大的值及位置

[min,index2]=min(r); %距離最小的值及位置

f0=((z(index1)-z(index2))-a*(x(index1)-x(index2))-b*(y(index1)-y(index2)))/sqrt(1+a^2+b^2); % f0為平面度誤差

2.4 最小二乘法評(píng)定平面度誤差運(yùn)行結(jié)果

最小二乘平面和實(shí)際測(cè)點(diǎn)分布如圖7所示。

圖7 最小二乘平面和實(shí)際測(cè)點(diǎn)分布圖

最小二乘法的運(yùn)行結(jié)果如下。

待定系數(shù)：a=3.551 7×10-5；b=8.394 2×10-7；c=-0.007 7。

所有測(cè)點(diǎn)到最小二乘平面的最高點(diǎn)距離為：max=0.001 4。

所有測(cè)點(diǎn)到最小二乘平面的最低點(diǎn)距離為：min=-0.001 6。

被評(píng)定的平面度誤差為：f0=0.003 mm=3 μm。

3 程序正確性驗(yàn)證

對(duì)于被測(cè)平面的測(cè)量結(jié)果，應(yīng)用旋轉(zhuǎn)理論，采用對(duì)角線評(píng)定平面度誤差,如圖8所示。

圖8 對(duì)角線法評(píng)定平面度誤差

手工計(jì)算的評(píng)定結(jié)果[8]為：平面度誤差f=35 μm。與計(jì)算機(jī)程序的運(yùn)行結(jié)果一致。

圖9 旋轉(zhuǎn)后每一點(diǎn)的測(cè)量值

平面度誤差為式(11)。

f=+7.5-(-27.5)=35 μm

(11)

通過(guò)對(duì)多組測(cè)量結(jié)果，應(yīng)用旋轉(zhuǎn)理論、采用對(duì)角線法、三遠(yuǎn)點(diǎn)法和最小二乘法評(píng)定平面度誤差，手工計(jì)算或者用EXCEL計(jì)算的評(píng)定結(jié)果，與計(jì)算機(jī)程序的運(yùn)行結(jié)果一致。

4 總結(jié)

對(duì)于平面度誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)處理，采用了程序運(yùn)行、手工計(jì)算和EXCEL計(jì)算三種方式進(jìn)行誤差評(píng)定，其評(píng)定結(jié)果相同，驗(yàn)證了程序運(yùn)行的準(zhǔn)確性。可見(jiàn)，應(yīng)用MATLAB軟件對(duì)平面度誤差進(jìn)行評(píng)定具有結(jié)果可靠、便捷、高效等優(yōu)點(diǎn)值得推廣和應(yīng)用。不僅為其他幾何誤差評(píng)定的程序編寫(xiě)提供了思路和方法，也為數(shù)學(xué)建模課程的實(shí)際應(yīng)用創(chuàng)造了教學(xué)環(huán)境，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值和課程改革研究?jī)r(jià)值。