基于分數(shù)階傅里葉變換的低信噪比線性調(diào)頻信號參數(shù)快速估計算法

劉利民 李豪欣 李 琦* 韓壯志 高振斌

①(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)電子與光學(xué)工程系 石家莊 050003)

②(河北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院 天津 300401)

1 引言

線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號是一種頻率隨時間線性變化的信號，在通信、雷達、聲吶等領(lǐng)域中的應(yīng)用較為普遍，其參數(shù)估計和信號檢測是研究熱點之一。目前，針對LFM信號的處理方法主要有短時傅里葉變換和Wigner-Ville分布。其中，短時傅里葉變換[1—3]無法同時兼顧較好的時域分辨率和頻域分辨率，且在低信噪比情況下估計效果不佳；而Wigner-Ville分布[4—6]在需要對多個分量的信號進行處理的情況下，容易出現(xiàn)交叉項干擾問題，且運算較為復(fù)雜。分數(shù)階傅里葉變換[7—11](FRactional Fourier Transform,FRFT)是一種新興的時頻分析工具，它不同于傳統(tǒng)的傅里葉變換，而是將變換階次作為自變量，使得線性調(diào)頻信號在匹配的FRFT階次下表現(xiàn)為沖激信號，故能量聚集性較強。正是利用這一特性，F(xiàn)RFT可用來對線性調(diào)頻信號進行檢測和參數(shù)估計，但是由于需要運用2維搜索確定最佳旋轉(zhuǎn)角度，因此計算量較大。

針對這一問題，文獻[12]提出一種欠采樣快速檢測算法，通過減少采樣點數(shù)提升FRFT的運算速度，但該算法在信噪比較低時無法實現(xiàn)信號參數(shù)的正確估計。文獻[13]提出一種基于分數(shù)階域的黃金分割的搜索方法，雖然可以降低計算成本，但也不適用于信噪比較低的情況。文獻[14]提出一種基于修正的功率譜平滑濾波的高效FRFT算法，該算法雖然能夠較快地實現(xiàn)LFM信號的檢測和估計，但是對于信噪比小于—3 dB的信號參數(shù)估計效果欠佳。文獻[15]基于分數(shù)階功率譜幅值與旋轉(zhuǎn)角度之間的變換規(guī)律，提出一種瞄準搜索方法，盡管可以快速地搜尋到最佳旋轉(zhuǎn)角度，但當信噪比較低時，存在局部最優(yōu)問題，還是無法保證參數(shù)的估計精度。

在以上研究的背景下，針對低信噪比情況下線性調(diào)頻信號參數(shù)快速估計問題，本文提出一種基于高效FRFT和分數(shù)階頻譜4階原點矩聯(lián)合估計算法。本算法在高效FRFT算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)LFM信號的時頻分布與FRFT之間的關(guān)系特點，確定初始旋轉(zhuǎn)階次和區(qū)間，并結(jié)合信號分數(shù)階頻譜4階原點矩良好的抗噪聲性能和沖激特性，精準選擇合適的搜索區(qū)間和搜索步長，實現(xiàn)對低信噪比LFM信號參數(shù)精確且快速的估計。

2 LFM信號分數(shù)階頻譜特性分析

2.1 分數(shù)階頻譜幅度特性

設(shè)線性調(diào)頻信號模型為

其中，f0為線性調(diào)頻信號的初始頻率，k為調(diào)頻斜率，n(t)為高斯白噪聲。對該信號在角度α(α=p×π/2,p為階次)下作FRFT可得頻譜幅度表達式為

其中

對信噪比分別為8 dB,0 dB,—8 dB的線性調(diào)頻信號在[0,2]的階次區(qū)間內(nèi)作FRFT運算，并對不同階次下的分數(shù)階頻譜幅度最大值歸一化處理，得到的分數(shù)階頻譜幅度與階次關(guān)系曲線如圖1所示。

由圖1可以看出：

圖1 FRFT頻譜幅度與階次關(guān)系圖

(1)對于同一線性調(diào)頻信號，不同信噪比情況下的最優(yōu)旋轉(zhuǎn)階次保持不變；當旋轉(zhuǎn)階次等于最優(yōu)階次時，線性調(diào)頻信號的能量得到充分集中，其分數(shù)階頻譜幅值最大，呈現(xiàn)沖激函數(shù)特性。

(2)當旋轉(zhuǎn)階次距離最優(yōu)旋轉(zhuǎn)階次較遠時，信號的能量被平均的分散在頻譜中，其分數(shù)階頻譜幅度變小，且幅度變化速率較慢；隨著旋轉(zhuǎn)階次逐漸靠近最優(yōu)旋轉(zhuǎn)階次，分數(shù)階頻譜幅度的變化速率越來越快。

(3)當信噪比較低時，由于噪聲能量較大且呈現(xiàn)隨機特性，導(dǎo)致歸一化分數(shù)階頻譜幅度變化不再呈現(xiàn)明顯分布規(guī)律。

2.2 分數(shù)階頻譜4階原點矩

信號x(t)的分數(shù)階頻譜4階原點矩[16]定義為

當旋轉(zhuǎn)角α為最佳旋轉(zhuǎn)角α0時，分數(shù)階頻譜4階原點矩為

其中，A為信號幅值，T為信號調(diào)頻周期。此時，LFM信號的分數(shù)階頻譜4階原點矩取得最大值，能量聚集效果最好。當旋轉(zhuǎn)角α/α0時，LFM信號的分數(shù)階頻譜4階原點矩為

其中

其中，td為觀測時長，fs為采樣頻率。當α距 離α0越近，η(α)越大。圖2給出了信噪比為8 dB,0 dB和—8 dB情況下信號的分數(shù)階頻譜幅度和分數(shù)階頻譜4階原點矩對比情況，相比于分數(shù)階頻譜幅度特性，分數(shù)階頻譜4階原點矩具有以下優(yōu)點：

圖2 歸一化幅度對比圖

(1)當旋轉(zhuǎn)階次向最優(yōu)階次變化時，分數(shù)階頻譜4階原點矩的變化速率更快。

(2)當信噪比較大時，分數(shù)階頻譜4階原點矩幅度變化更為平滑，且表現(xiàn)出更強的沖擊性。

綜上所述，信號的分數(shù)階頻譜4階原點矩具有良好的抗噪聲性能，因此更適合用于低信噪比情況下最優(yōu)階次的快速估計。

2.3 高效FRFT

(1)基本原理。如圖3所示，φ為LFM信號的W-V分布和時間軸之間的夾角，Lφ為歸一化時頻長度，則該LFM信號做FRFT的最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角為φ，設(shè)在旋轉(zhuǎn)角度為α下對信號作FRFT處理，此時的LFM信號歸一化FRFT長度為Lα。

圖3 FRFT與W-V分布關(guān)系圖

分析圖4可得，LFM信號的歸一化FRFT長度與W-V分布的時頻長度之間的幾何關(guān)系為

圖4 LFM信號時頻分布

當α=φ時，Lα=0，說明此時LFM信號在該α旋轉(zhuǎn)角度下作FRFT得到的頻譜表現(xiàn)為沖激函數(shù)，即為最佳旋轉(zhuǎn)角度。因此，選取兩個旋轉(zhuǎn)角度α1和α2，并求出和，可得最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角為

LFM信號的調(diào)頻斜率的估計值為

(2)算法不足。高效FRFT算法只需進行3次FRFT就可實現(xiàn)對LFM信號的檢測，使得計算量大大減小，但其容易受到噪聲的影響。旋轉(zhuǎn)階次的估計精度取決于在兩個旋轉(zhuǎn)角度下估計出的頻譜寬度和的精度。當信噪比較低時，噪聲會對和的估計精度產(chǎn)生一定影響，導(dǎo)致最終LFM信號的參數(shù)估計出現(xiàn)較大偏差。文獻[14]中指出該算法能在信噪比大于等于—3 dB時對信號調(diào)頻斜率和中心頻率實現(xiàn)準確估計，而在信噪比為—3 dB 以下時參數(shù)的估計誤差較大。

3 改進LFM信號參數(shù)估計算法

本文利用分數(shù)階頻譜4階原點矩的良好特性，結(jié)合高效FRFT算法對最優(yōu)階次進行精準搜索，實現(xiàn)對低信噪比情況下LFM信號參數(shù)精確且快速的估計。

3.1 改進算法基本原理

根據(jù)2.2節(jié)的分析可知，在低信噪比情況下，分數(shù)階頻譜4階原點矩相較于分數(shù)階頻譜幅度性能更佳，因此，本文利用分數(shù)階頻譜4階原點矩對FRFT的最佳階次進行估計。

(1)確定初始區(qū)間和初始旋轉(zhuǎn)階次。圖4為LFM信號的時頻分布與最佳旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系圖，根據(jù)FRFT性質(zhì)可知，當LFM信號的調(diào)頻斜率為正時，最佳旋轉(zhuǎn)角度α0處 于[π/2,π]內(nèi)，即對應(yīng)階次所在區(qū)間應(yīng)為[1,2]；當LFM信號的調(diào)頻斜率為負時，最佳階次所在區(qū)間應(yīng)為[0,1]。因此，可對LFM信號進行一次短時傅里葉變換判斷調(diào)頻斜率的正負，確定最佳階次所在的初始區(qū)間。選取窗函數(shù)為矩形窗函數(shù)，其公式表示為

式中，M為窗口寬度。本文設(shè)置窗函數(shù)的窗口寬度為N/2，其中N為一個調(diào)頻周期的采樣點數(shù)。為保證準確性，在短時傅里葉變換后，分別對得到的兩段LFM信號的功率譜進行平滑濾波，采用的平滑濾波公式為

其中，Ps(n)為平滑之后的功率譜，P(n)為信號的頻譜，M為平滑窗長度，N為信號長度。經(jīng)過平滑濾波后分別找出頻譜最大值所對應(yīng)的頻率分量f1和f2，并進行比較，若f2＞f1，則說明調(diào)頻斜率為正，反之說明調(diào)頻斜率為負，即可確定初始區(qū)間。確定初始區(qū)間后，利用高效FRFT估計旋轉(zhuǎn)階次p0，并令其為初始搜索中心。

(2)精準搜索。確定初始區(qū)間和初始階次后，需要進一步搜索來獲得最優(yōu)估計階次。在這一過程中，搜索區(qū)間和搜索步長的選取至關(guān)重要。由分數(shù)階頻譜4階原點矩特性可知，若p0距離最佳階次較近，該階次下的分數(shù)階頻譜4階原點矩幅值較大；若p0距離最佳階次較遠，該階次下的分數(shù)階頻譜4階原點矩幅值較小。因此，為實現(xiàn)精準搜索，本文采用以下方法確定區(qū)間和步長。

步長的確定方法：為使搜索結(jié)果更加精確，先選取一個較大的步長作為初始值，本文選取的初始階次步長為Δp=0.1。在p0兩 側(cè)分別取值p1=p0-Δp和p2=p0+Δp，計算這3個階次下的分數(shù)階頻譜4階中心矩并比較大小，判斷p0與最佳階次之間的誤差是否小于 Δp，進而確定該步長是否滿足搜索要求。若p0處幅值最大，則說明誤差小于Δp，該步長已不適用于本次搜索需求，因此保持搜索中心不變，并縮小步長 Δp；否則說明Δp為適合的搜索步長，同時確定搜索區(qū)間，以該步長進行最大值搜索，確定新的搜索中心。

區(qū)間的確定方法：若依次遞增，則說明最佳階次位于p0右 側(cè)，所在區(qū)間為[p0,p0+10Δp]；反之最佳階次位于p0左 側(cè)，所在區(qū)間為[p0-10Δp,p0]。

3.2 改進算法流程及步驟

根據(jù)上述原理，改進算法流程如圖5所示。其具體步驟如下：

圖5 改進算法流程圖

步驟1 確定初始區(qū)間。利用短時傅里葉變換判斷LFM信號調(diào)頻斜率的正負，確定初始區(qū)間為[0,1]或[1,2]。

步驟2 確定初始搜索中心和精度。利用高效FRFT估計旋轉(zhuǎn)階次p0，確定初始搜索中心。

步驟3 確定搜索區(qū)間和步長。令步長Δp的初始值為0.1，并計算p0-Δp,p0,p0+Δp3個階次下的4階中心矩。若p0處的值最大,則轉(zhuǎn)向步驟4；若依次遞增，則搜索區(qū)間為[p0,p0+10Δp]；若依次遞減，則搜索區(qū)間為[p0-10Δp,p0]，遞增和遞減兩種情況轉(zhuǎn)步驟5。

步驟4 搜索中心保持不變，更新搜索步長Δp=Δp/10，重復(fù)步驟3。

步驟5 在滿足初始區(qū)間的前提下，根據(jù)步長Δp，在搜索區(qū)間內(nèi)進行分數(shù)階頻譜4階原點矩最大值搜索，對搜索中心p0進行更新，并將搜索步長改變?yōu)棣=Δp/10，重復(fù)步驟3。

步驟6 重復(fù)步驟3—步驟5，直至滿足誤差要求。

3.3 改進算法運算量分析

算法的運算量與所需階次精度有關(guān)。首先，利用高效FRFT算法估計初始搜索中心需要進行2次FRFT；其次，每次確定搜索區(qū)間需要進行3次FRFT和3次4階中心矩計算；最后，每次區(qū)間搜索需要進行10次FRFT和10次4階中心矩計算。設(shè)信號的采樣點數(shù)為N，則進行1次FRFT變換需要的計算量為O(Nlog2N)，進行1次FRFT變換并求4階原點矩需要的運算量為O(Nlog2N+N)。在最高階次精度要求下，算法最多需要的運算量為O(54Nlog2N+52N)。對于傳統(tǒng)的FRFT 2維搜索算法，達到0.0001的精度需要2000次FRFT運算，計算量為O(2000Nlog2N)，可見相比于傳統(tǒng)的FRFT 2維搜索算法，改進算法的運算量大大減少，可對信號實現(xiàn)較為快速的估計。

4 實驗結(jié)果及分析

本文對改進算法的抗噪聲性能、參數(shù)估計性能和計算量進行了實驗，并進行結(jié)果分析。

4.1 算法的抗噪聲性能驗證

為驗證改進算法的抗噪聲性能，實驗中選取的LFM信號為：x(t)=expt∈[-0.25,+0.25]，采樣頻率為5000 Hz。在實驗過程中，設(shè)置虛警概率為10—6，分別采用改進算法和文獻[14]中的高效FRFT算法在—15～10 dB的信噪比區(qū)間內(nèi)對LFM信號進行仿真分析，且在每個信噪比條件下均進行1000次蒙特卡洛仿真實驗，得到的檢測性能曲線為圖6。仿真結(jié)果表明，相比于高效FRFT算法，改進算法的檢測性能得到有效改善。當信噪比大于等于—10 dB時，檢測概率在95%以上，可基本實現(xiàn)對LFM信號的檢測。

圖6 算法檢測性能曲線

4.2 算法參數(shù)估計性能驗證

為驗證改進算法的參數(shù)估計性能，選取LFM信號為：x(t)=expt∈[-0.25,+0.25]，采樣頻率為5000 Hz。對信號在—15～10 dB的信噪比區(qū)間內(nèi)采用高效FRFT算法和改進算法進行仿真比較分析。圖7為兩種算法估計出的調(diào)頻斜率誤差對比圖和中心頻率誤差對比圖。實驗結(jié)果表明，與高效FRFT算法相比，改進算法能提升調(diào)頻斜率和中心頻率的估計精度，且在信噪比較低情況下，提升效果更加明顯；當信噪比為—10 dB時，仍能較為準確地估計出LFM信號的參數(shù)。

圖7 兩種算法對比

4.3 算法運算量驗證

為驗證改進算法的運算量，該實驗將信噪比設(shè)為—5dB,選取LFM信號為：,t∈[-0.25,+0.25]，采樣頻率為5000Hz。在允許階次誤差分別為0.01,0.001,0.0001 3種情況下，對信號采用高效FRFT,FRFT 2維搜索算法與改進算法進行對比研究。仿真結(jié)果如表1所示，其中，分別為調(diào)頻斜率和中心頻率的估計值，kerror和ferror分別為調(diào)頻斜率相對誤差和中心頻率相對誤差。

表1 3種算法對比仿真結(jié)果

從運算速度角度分析，改進算法的運算量大于高效FRFT，但相對于2維搜索算法大幅度減小，具有實時檢測性能。從參數(shù)估計精度角度分析，采用高效FRFT算法估計的調(diào)頻斜率和中心頻率誤差過大，失去估計作用；隨著允許階次誤差的縮小，F(xiàn)RFT 2維搜索算法和改進算法估計的參數(shù)誤差均有所下降，但相比較于FRFT 2維搜索算法，改進算法的參數(shù)估計誤差更低，更適用于需要高精度估計參數(shù)的情況。

5 結(jié)論

本文提出一種LFM信號檢測與參數(shù)快速估計方法，通過判斷LFM信號調(diào)頻斜率正負確定最佳階次所在初始區(qū)間，并結(jié)合分數(shù)階頻譜4階原點矩性質(zhì)，對高效FRFT估計的旋轉(zhuǎn)階次所在區(qū)間進行判斷，精準確定合適的搜索區(qū)間和步長，實現(xiàn)最佳階次的快速搜索。本文所提算法能夠?qū)π旁氡葹椤?0 dB及以上的信號實現(xiàn)參數(shù)的高精度估計，且運算量較低，在需要對低信噪比LFM信號參數(shù)進行精確估計的情況下，算法的實時處理性能更好。