基于Kriging 算法的壓氣機健康參數主從式插值建模

曾 力，陳仁祥，董紹江

（重慶交通大學機電與車輛工程學院，重慶 400074）

研究航空燃氣輪機建模理論對于其性能分析與飛控系統的設計改進具有重要意義.壓氣機是燃氣輪機的主要氣路部件，通過對空氣壓縮做功確保其在燃燒室能夠與燃油充分燃燒.壓氣機的流量系數是表征壓氣機流通能力的重要指標，同時也是進行燃氣輪機數字化建模的重要參數.通常情況下，流量系數的獲取首先需要進行燃氣輪機試車，然后基于試車數據構造插值模型，利用該模型計算出滿足燃氣輪機建模所需的流量系數.目前，傳統的插值模型在進行流量參數擴展時普遍存在插值精度較低的問題[1-3].

為了提高壓氣機流量系數的計算精度，涂環等[4]提出了基于Kriging 算法的壓氣機流量特性預測模型，并討論了模型中相關參數的初值以及模型本身對預測結果的影響.尹大偉等[5]引入元建模的原理，通過定義原模型的輸入輸出維數，利用Kriging算法建立了流量和效率參數的代理模型，并基于此模型對其他轉速下的特性數據進行估計.趙勇等[6]針對Kriging 模型對初始參數取值敏感的特點提出利用量子粒子群優化算法對原始Kriging 模型中相關參數進行尋優，建立了優化后的Kriging 代理模型.Gholamrezaei 等[7]提出基于有限的實驗樣本，利用前饋神經網絡對壓氣機的特性數據進行重構.網絡的權重和偏差由帶貝葉斯正則化的Levenberg-Marquardt 算法進行調節.Marek 等[8]提出利用兩個變量逼近特性數據曲線，提出了針對特性數據在其變化范圍內進行建模的可能性，并給出了精度的估算辦法.上述方法在計算壓氣機流量系數時具有一定的精度，但這些方法并未考慮不同換算轉速下流量系數的相似性，因此，流量系數的計算精度具有進一步提高的可能性.

為了提高壓氣機流量系數的計算精度，本文建立了基于Kriging 算法的主從式插值模型.首先利用試車數據建立增壓比、換算轉速、流量系數的多維樣本向量，通過該向量來表征不同換算轉速下流量系數的相似性，其次分別利用Kriging 算法構造面向流量系數的多維向量插值模型及單點插值模型，最后通過實際樣本數據進行了仿真驗證.

1 Kriging 插值模型

Kriging 算法是通過對樣本賦予一定的權重，通過加權線性組合的辦法求出待計算目標處的具體值，且滿足估計方差最小.其建模過程如下：

步驟1系統的響應值與輸入變量可表示為[9]

式中：F(x,β)=fT(x)β，為系統回歸模型集合，β為模型系數矩陣，且β=[β1β2β3··· βq]p×q，f(x)為p階多項式的回歸模型，通常階次可設定為1.且f(x)=[f1(x)f2(x)f3(x) ···fq(x)]Tz(x)；為隨機函數，且滿足式（2）的條件.

式中：E(z(x))、分別為隨機函數的均值與方差；xi、xj為兩個任意輸入樣本；θ 為樣本點相關性的衰減程度，θ=〈xi,xj〉/(|xi||xj|)；r為樣本點與估值目標點之間的相關性；矩陣R的元素反應了樣本點之間的空間關聯程度，可用核函數來表征，常用的核函數包括高斯核函數、指數函數、線性函數等，本文采用高斯函數[10-12]，如式（3）.

2 壓氣機特性數據主從式建模

2.1 樣本數據預處理

對于某給定的換算轉速ni，壓氣機的流量系數和增壓比存在一一對應的關系，即有{（ωi1,πi1）,（ωi2,πi2）,···,(ωi j,πij),···,(ωik,πik)}.其中：ωi j、πij分別為對應于ni的第j個流量系數和增壓比，i為換算轉速的編號，j=1，2，···，k，k為給定換算轉速下流量系數與增壓比的數量.為了后面的計算方便，限定所有換算轉速下，效率系數和流量系數的樣本數量相同.

利用Kriging 算法建模首先需要定義輸入、輸出樣本及其維度.根據壓氣機流量系數分布特點，定義輸入輸出樣本向量為

需要注意的是，此處定義的參數為對應于換算轉速、流量系數、增壓比真實值的歸一化數值.

2.2 健康參數主從式插值建模

傳統的基于Kriging 算法的壓氣機流量系數插值是將所有樣本點作為輸入，構造面向單個樣本的插值模型.這種傳統的建模方式精度較低，而且計算效率低下.文章提出的主從式建模思想是根據壓氣機流量系數的空間分布相關性，定義固定轉速下的樣本維度，建立多維輸入輸出主模型.利用主模型可估計出目標轉速下的包含目標點的估值向量.然后利用估值向量建立針對單個目標點的從模型，最后實現目標點的計算.圖1 和圖2 描述了傳統Kriging算法建模和主從式Kriging 建模法的處理過程.其中：分別為第i個換算轉速以及對應于該換算轉速的第j個增壓比和流量系數.

圖1 傳統Kriging 插值估計法Fig.1 Traditional Kriging interpolation estimation method

圖2 主從式Kriging 插值估計法Fig.2 Master-slave Kriging interpolation estimation method

以上為主模型的計算過程.利用主模型的計算結果作為樣本建立從模型，并針對待估計參數進行計算.這里首先定義從模型的輸入輸出樣本，有

與主模型的多維輸入輸出形式不同，從模型是針對具體目標參數進行插值計算，從模型的輸入樣本由組成二維向量，即xi，輸出樣本為ωi.

3 仿真驗證

某型燃氣輪機壓氣機流量系數15 組，為了驗證論文提出的主從式建模方法的精度，以12 組數據作為樣本，剩下3 組作為驗證數據，分別利用傳統Kriging插值模型和主從式模型進行流量系數計算[13-16].待估計流量系數對應的換算轉速及增壓比如下：

表1 待估計流量系數Tab.1 Flow coefficients to be estimated

圖3 為利用主從式模型估算流量系數向量值的示意，表2 為插值精度比較，且所有數據均以歸一化處理.

圖3 基于主從式模型的流量系數向量插值Fig.3 Calculation of flow coefficients vector based on the Master-slave model

從圖3 可以看出：相比傳統模型的估值精度，代表主從式模型估計值的紅色點更靠近藍色曲線.

從表2 可以看出：傳統模型在轉速為0.3315和0.8478 時精度較好，而在轉速為1.1268 時，誤差有所增大.導致這種結果是由于傳統模型在計算過程中樣本矩陣求逆時存在奇異值，利用偽逆矩陣代替逆矩陣時引入的誤差.另外，Kriging 模型計算時為了保證高精度，要求樣本點具有代表性，采樣時應盡量反應數據分布特性，傳統模型的建模難以有效提取數據分布特征.而主從式模型將樣本數據映射到高維空間，通過高維度樣本插值得到對應目標轉速下的流量系數向量值，然后以向量估計值作為樣本點，構造針對目標點的插值模型.這種處理方式淡化了樣本數據分布過于集中帶來的影響.

表2 流量系數精度比較Tab.2 Accuracy comparison of flow coefficients

接下來將15 組數據樣本中換算轉速取值為0.2182、0.9018、1.0620 對應的流量系數作為待估計點，其他樣本作為模型輸入參數，估值結果如圖4 所示，流量系數目標點估值見表3.

由圖4 和表3 可以看出：在單點插值的情況，主從模型插值精度高于傳統模型.

表3 流量系數目標點估值Tab.3 Estimation of target point of flow coefficients

圖4 基于主從式模型的流量系數單點插值Fig.4 Flow coefficient calculation of single-points based on the Master-slave model

4 結 論

為了提高航空燃氣輪機數字模型的建模精度，建立一種基于Kriging 算法的面向壓氣機流量系數的主從式插值模型.首先構造包含換算轉速、增壓比、流量系數在內的多維樣本向量；其次基于Kriging算法建立適用于向量形式的主插值模型；最后利用主插值模型的計算結果作為樣本，構造目標點插值模型.通過仿真表明，該建模方式有效可行，且具有以下特點：

1）針對多目標點（向量插值）或單目標點進行插值計算時具有較高的精度，且精度明顯高于傳統插值模型.

2）可以實現多維向量插值計算，計算效率明顯高于傳統模型.

3）利用換算轉速、增壓比、流量系數構造的多維樣本向量具有表征參數相似性的優點.