談如何借“求聯”助“倍”的概念有效形成

宋春霞　馬寧

數學概念是客觀事物的空間形式與數量關系的本質特征在人的思維中的反映。它既是一種觀念形態也是一種思維形式，這些觀念形態是從客觀現實中抽象出來的。數學概念既是學習數學知識的基礎，也是運算能力、思維能力、空間觀念等學科核心素養形成的前提條件。“倍的認識”是兩個數之間的關系由“差比”拓展到“倍比”，是小學階段一個重要的數學概念。該概念的教學理應成為核心素養視野下教師教學關注的焦點。下面談談在“倍的認識”教學中，如何借助“求聯”的方法，在數學課堂教學中溝通知識之間的聯系，構建新的知識體系。

一、讀懂教材，明晰知識脈絡

讀懂教材是教師的基本功。讀懂教材是了解文本內容、理解文本內涵、明晰知識脈絡的過程。讀懂教材也是分析教材的過程，通過對教材的分析，理解“倍”的概念本質。

首先，明確文本內容，知道本課教學內容涵蓋哪些知識點？“倍的認識”是人教版三年級上冊的教學內容。若選取B作為標準，那么A里面有幾個標準，我們就說“A是B的幾倍”。所以“幾個幾”是建構“倍的認識”的基礎，是兩個量比較的結果由“差比”到“倍比”的拓展。

其次，明晰知識脈絡，了解這個教學內容的基礎是什么？它將為后續的哪個知識作鋪墊？在小學數學體系中處于什么位置？

對于兩個量之間的關系，小學數學教材是按照由“差比”到“倍比”再到“分數”，最后延展到“百分數”的順序推進的，兩個量之間從差比轉到倍比是一個拓展，而倍與分數、百分數、比之間則是相通的，關鍵在于教師如何引導學生在辨析中準確發現他們之間的“同”。

二、前后貫通，構建知識網絡

小學生的知識基礎、認知水平、生活經驗等存在差異，只有讀懂學生，教師才能準確地確定教學起點。讀懂學生后再審視教材、設計教學時，教師便能從學生的視角分析教材，按照學生的思維方式預設，充分展現學生的認知歷程。教學“倍的認識”前，教師需要清楚地了解這個教學內容的基礎是什么？

（一）分析學情，明晰從哪來

學生在一年級下學期已經掌握了用差比的方法表示兩個數量比較的結果。二年級上冊乘法口訣的教學材料中對“幾個幾”的認識是按照“找→擺→畫”的呈現順序，從借助圖形直觀表現到逐步過渡到用數軸、漢字筆畫等抽象表達，如“木、森、森林”的筆畫數問題。對于“比一個數的幾倍多（少）幾”，在二年級已經出現原型，通過以形助數的方式幫助學生理解了“乘加”“乘減”就是先求幾個幾，再加或減去不足1份的那個數。

（二）分析教材，了解在哪出發

前測問題是：你聽說過“倍”嗎？你怎么理解？試著舉例說一說。我們一起走進學生，看看學生的前測卷。學生一：我聽說過倍，如12÷6=2，2是倍數，我認為倍數是除法算式中的商。學生二：我也聽說過倍，10是5的倍數;4是2的倍數。學生三：兩個數量間有可能存在倍，例如10朵花是5朵花的2倍。

從前測卷中了解到，學生們聽說過倍，認為倍數在除法里，倍是兩個量之間的關系。通過前測卷得出結論：學生對兩個數的比較最熟悉的就是比多少，也有少部分學生有倍比的經驗，教師通過提問及時找準學生的認知起點，同時讓學生明白數量之間除了相差關系之外還有倍數關系，開門見山地引入本節課的主題，為學生進一步學習作好準備。

三、課堂教學實施策略

小學數學中的概念教學應該遵循學生的認知規律，并且要符合小學數學概念思維的特征，經歷理解—掌握—運用—形成概念的過程。基于對課標、學情和教材的深入解讀，結合三年級小學生的認知特征，我們通過以下三個層次促進課堂教學。

（一）引入“倍”的概念，思維方法上求聯

概念的引入是概念教學的起步。它是培養和激發學生學習興趣，調動其學習積極性的必要環節，直接關系著學生對這一概念的認識、理解和掌握。在導入部分，筆者專注于思考如何把新知識的學習和現有經驗相互聯系。

活動1：重現“原型”，產生概念。從主題圖中搜集的兩種蘿卜數量的比較入手分析，教師提出問題：“對比兩種蘿卜的數量，你有什么發現？”喚醒學生已有知識和生活經驗，激活學生的“原型”認知。在對比過程中，引領學生理解兩個數量之間的比較除了可以一個一個地比，還可以一組一組地比。理解“倍也是比較兩個數量關系的一種方法”，同時滲透一一對應的思想，初步感知可用相差關系及倍數關系表示兩個數量比較的結果。

活動2：在形式轉換中體驗本質。用小棒替代主題圖中的蘿卜后，讓學生思考：“現在它們的關系還是3倍嗎？”讓學生體會到“情境、圖形等不同的表征形式，對倍的本質意義并沒有影響”。

（二）豐富“倍”的概念，表征方式上求聯

活動1：經歷操作，創作一個“2倍”關系的圖。畫圖能有效外顯學生對概念的理解情況。通過“創作一個‘2倍關系”的畫圖活動，直觀形象地展示出兩個數量之間的倍比關系，使學生感受到在比較倍數關系時要明確是誰和誰比，體驗到倍數不變時，總數隨著標準數的變化而變化，幫助學生在求同中完善對“倍”的認識。

活動2：體悟變化，創作一個喜歡的倍數。第一次“畫一畫”可讓學生自主確定倍數，思考后再畫出。學生在第一次“畫一畫”中經歷體驗到當標準不變時，總數隨著倍數的變化而變化，同時教師要通過追問：“10倍行嗎？100倍行嗎？1000倍呢？”引導學生體驗到倍的數量的無限性。

學生在經歷了第一次操作體驗之后，可以安排第二次“畫一畫”，之后全班交流，根據學生的匯報，教師提問：“第二行數量保持不變，為什么兩行之間的倍數關系卻在變化？”一石激起千層浪，該問題引發學生的認知沖突，帶著困惑感受“標準”的重要性，從而對“倍”的認識更加深刻。同時，學生還可以體驗到當總數保持不變時，標準的個數變化能夠引起倍數的變化。對于“誰是誰的1倍”這個難題也設置環節予以解決，引導學生正確理解：當A和B兩個量相同時，既可以說A是B的1倍，也可以說B是A的1倍。

經歷兩次“畫一畫”的過程后，學生感悟到倍的本質是兩個數量在比較，選取其中一個量作為標準，再看另一個量中包含了幾個標準就是它的幾倍。由此幫助學生深度理解倍的含義，并建立起數學模型，同時初步滲透了正、反比例的思想。

（三）建構“倍”的模型，學習內容上求聯

活動1：提供變式，體驗本質。呈現第1組材料，讓學生在第1組素材中的三個量之間找尋倍數關系，提高對倍的概念的靈活應用。再次讓學生感受到“倍”是在兩個量相比較中產生的。通過“9”在“9是3的3倍，18是9的2倍”中的切換， 感悟到“9”是個多重角色：既可作標準量也可作比較量，從而引導學生有序思考。

還可以變式練習：如果沒有圖，只有這三種圓的數量，如何知道兩種不同顏色的圓中誰是誰的幾倍？一種圓的幾倍是多少？如此設計也為后面學習“倍的解決問題”作了鋪墊。

第2組素材是從長方形到線段的抽象過程，既可以培養學生的圖形意識，也為學習有關倍的解決問題作好鋪墊。因為長方形可以表示1個物體，如1棵樹、1輛汽車……也可以表示一個整體，如6棵樹、60輛汽車……讓學生初步體會從一道題發展到一類題。

第3組變式素材是無序排列的8朵紫花、4朵黃花。學生通過觀察發現，必須將無序排列的兩類物體先進行整理，其實在整理的過程中學生就已經自覺地將實物比較轉化為數之間的比較了。

活動2：呈現反例，凸顯本質。如果更改紫花的數量，再添2朵紫花，使圖中的黃花與紫花之間不存在整數倍的關系，這是一個倍數的“錯誤結構”模型。首先讓學生找一找兩者之間的關系，學生因為有乘加、乘減的知識基礎，能說出紫花的朵數比黃花的2倍多2個（也可以說為3倍少2個），與二年級學習的乘加、乘減問題無縫對接。適時追問：“怎么變化，就能使紫花的個數正好是黃花的2倍（3倍）呢？”鼓勵學生進行逆向思維。

這個反例根據倍的概念的本質，以問題進行驅使，鼓勵學生通過思辨錯誤來加深對“倍”的認識和理解。

（責任編輯? 吳淑媛）