噴砂除銹并聯機器人模糊自適應滑模控制

高 航，高國琴，方志明

（江蘇大學電氣信息工程學院，江蘇鎮江 212013）

0 引言

并聯機器人因精度高、剛度大、結構簡單等優點受到企業和研究機構的青睞。本文研究對象噴砂除銹并聯機器人Stewart 并聯機構具有動平臺位姿控制方便、機構尺寸小、剛度大、點對點對位精度高、自由度廣等優點，為其在加工制造、裝配與模擬駕駛等領域的應用提供了可行性。并聯機構的軌跡控制對其應用起決定性作用，考慮到其動態特性，可基于機構動力學模型采用動力學控制，以有效提高運動精度。然而，機構動力學模型本身的特性以及外界干擾的不確定性制約著該方法的應用，尤其是Stewart 并聯機構關節換向、關節過零速導致的摩擦力正負突變現象，會使系統跟蹤產生較大誤差，嚴重影響控制精度。因此，研究如何減少Stewart 并聯機構摩擦力突變對控制精度的影響具有重要意義。

常用摩擦力控制方法為基于摩擦模型的補償控制，分為固定模型補償和自適應補償，其中固定模型補償在模型參數優化選擇上存在困難，而自適應補償參數需通過線性迭代估計確定［1］。文獻［2-3］先對摩擦模型作線性參數化處理，再通過自適應律在線辨識模型參數；文獻［4］基于LuGre 模型設計觀測器進行補償。然而目前摩擦模型尚未有統一標準，無法確定哪個模型最為適合，因此依賴某個摩擦模型設計控制律有一定局限性。滑模控制在機器人領域應用廣泛，由于其具有實現簡單、應用方便、魯棒性強等優點，亦被應用于抑制結構的關節摩擦干擾［5-7］。近年來比較流行采用智能算法在線逼近機器人關節摩擦，如模糊控制［8-10］、神經網絡控制［11］以及模糊神經網絡控制［12］等。文獻［8］利用模糊控制的非線性逼近函數辨識關節摩擦，但控制律需獲取不確定性上界；文獻［12］采用模糊神經網絡辨識機器人的關節摩擦，但參數取值與計算過程比較繁瑣。以上文獻均只給出了速度穩態時的控制效果，沒有闡明關節過零速時摩擦突變現象對機器人控制精度的影響。對此，文獻［13-14］基于自抗擾控制器，采用模糊自適應參數整定方法抑制了航天器在飛輪過零速時摩擦力突變引起的力矩突變。然而，目前在并聯機構控制方面考慮摩擦突變影響的文獻還很少。

本文考慮到Stewart 并聯機構6 條電動缸摩擦力突變的影響，建立系統動力學模型，以滑模控制為核心，提出魯棒自適應律和模糊控制，設計了一種模糊自適應滑模控制方法。

1 噴砂除銹Stewart 并聯機構

1.1 機構簡述

噴砂除銹并聯機器人實物如圖1 所示，由Stewart 并聯機構、升降平臺和移動平臺構成，具有結構相對簡單、工作范圍大、承載能力較強等優點。與移動平臺和升降平臺相比，Stewart 并聯機構作為噴砂除銹機器人的主體，其控制性能的好壞對噴砂除銹質量有較大影響。為此，本文將Stewart 并聯機構作為研究重點。

Stewart 并聯機構的簡化結構與數學模型如圖2 所示。Stewart 并聯機構由定平臺、動平臺、6 根電動缸和12 個虎克鉸組成。在定平臺中心Og建立慣性坐標Og XgYgZg，在動平臺中心Op建立運動坐標系Op XpYpZp。分別設動平臺、定平臺上的虎克鉸為Ai、Bi(i=1,…,6)，定平臺和動平臺由虎克鉸和電動缸連接，通過電動缸的伸縮運動，動平臺可以進行6 個自由度的空間運動：沿運動坐標系X、Y、Z軸的移動分別用變量x、y、z表示；繞X、Y、Z軸的轉動分別用歐拉角α、β、χ表示。動平臺和定平臺的半徑分別為R0、R1，動平臺上兩相鄰鉸點與動平臺中心的夾角為θ0，定平臺上兩相鄰鉸點與定平臺中心的夾角為θ1。并聯機構處于初始狀態時，各電動缸長度為l，定平臺與動平臺之間的高度為?。

Fig.1 Physical picture of sandblasting and rust removal parallel robot圖1 噴砂除銹并聯機器人實物

Fig.2 Sketch of sand blasting and rust removal Stewart parallel mechanism圖2 噴砂除銹Stewart 并聯機構簡圖

1.2 運動學分析

運動坐標系原點Op在慣性坐標系下的矢量表示為t=[x y z]T，動平臺運動時，運動坐標系與動平臺相連，則動平臺理論位姿向量在慣性坐標系中可表示為：

q為Stewart 并聯機構在工作空間的廣義坐標。動平臺虎克鉸在運動坐標系中的定義為定平臺虎克鉸在慣性坐標系中定義為bi=[bix biy biz]T（i=1,2,…,6）。將動平臺虎克鉸經過空間坐標變換可得到動平臺上虎克鉸相對于慣性坐標系的向量ɑi，變換表達式為：

式中，T為旋轉矩陣，表示動平臺繞坐標系Zg旋轉角χ，然后繞Yg旋轉角β，最后繞Xg旋轉角α，則可得旋轉矩陣表達式為：

式中，s和c分別代表三角函數sin 和cos。

式（2）兩邊同時減去矢量bi可得6 根電動缸的長度矢量方程為：

式中，li表示電動缸位移矢量，結合式（2）和式（4）對li求模即可得到如下電動缸位移表達式：

1.3 動力學分析

本文研究對象是一個典型的完整系統，拉格朗日法能滿足完整系統建模需求［15］。因此，通過推導機構的雅可比矩陣結合拉格朗日法建立動力學方程。

雅可比矩陣既能表示驅動關節到動平臺廣義速度之間的映射關系，亦能表示驅動關節驅動力與動平臺廣義力的傳遞關系。定義如下：

式中，˙為動平臺廣義速度，J為機構雅可比矩陣，l=[l1l2…l6]T，為驅動關節位移矢量，l˙為驅動關節速度矢量。

推導˙到動平臺上各虎克鉸的雅可比矩陣J2，動平臺上各虎克鉸相對于慣性坐標系的坐標向量為ɑi，對ɑi進行求導可得以下表達式：

式中，vɑ表示動平臺虎克鉸速度矢量，J2為˙到vɑ的雅可比矩陣，具體形式如下：

式中，I3為3 階單位矩陣，Si,j,k為反對稱矩陣，當：

Tz,Ty,Tx表示旋轉矩陣T在各坐標軸上的分量。

推導動平臺上虎克鉸速度矢量vɑ到驅動關節速度矢量l˙的雅可比矩陣J1，設l˙=J1vɑ，則：

結合以上兩個雅可比矩陣定義，可以得出驅動關節速度矢量l˙與動平臺廣義速度˙的雅可比矩陣為：

拉格朗日函數L定義為系統動能K與系統勢能P之差，即L=K-P，該拉格朗日方程可表示為：

式中，mp為動平臺質量，Ip為相對于運動坐標系的慣性矩陣，即：

將式（14）和式（18）代入拉格朗日動力學方程（13），可得到以下動力學標準方程：

式中，G(q) ∈R6×1為重力項，由式（18）可得：

基于以上構建Stewart 并聯機構的拉格朗日方程，表示為：

式中,F并非電動缸所提供的驅動力，而是作用在理論位姿q上的假想力，且F=JTτ。因此，統一的Stewart 并聯機構拉格朗日方程可表示為：

機構在實際工作過程中，電動缸來回伸縮，關節過零速，電動缸存在摩擦力正負突變現象。經典的庫侖加粘性摩擦模型能表示出電動缸在過零速時的不連續性，其數學模型為：

式中，Fc為電動缸的庫侖摩擦力，v為電動缸的伸縮速度，v(k)、v(k+1)分別表示電動缸k時刻和k+1 時刻的速度，f(k)表示k時刻的電動缸摩擦力，μv為粘性摩擦系數。

考慮到機構還存在建模誤差、外部干擾和參數時變等不確定因素，均有可能影響機構總體控制性能。因此，進一步優化得到更加準確的Stewart 并聯機構動力學模型為：

為簡化式（25）所示動力學模型，將建模誤差、摩擦與外部干擾集中起來作為總的不確定項，記為d。因此，式（25）可表示為：

2 模糊自適應滑模控制器設計

模糊自適應滑模控制原理如圖3 所示。

2.1 魯棒自適應律設計

通過將系統軌跡保持在滑模面s(t)=0 上，可以解決跟蹤控制問題，本文選擇積分型模面［17］。

式中，s(t)∈R6×1；λ∈R6×6，是1個對角正定矩陣；e=分別為跟蹤位置誤差矢量和跟蹤速度誤差矢量，其中矢量qd和q分別為廣義坐標的期望值和實際值。式中引入了誤差積分，保證零偏移誤差。在存在較大初始誤差的情況下，積分會導致較大超調與執行器飽和，因此只有當誤差在一定范圍內時才能啟動控制器的積分作用。

控制器設計的下一步是選擇具有可變參數的控制律，以使Lyapunov 函數成為時間的遞減函數［18］。選擇以下控制律：

式中所提出的ueq、upid和定義如下：

（1）等效控制項ueq表示在沒有擾動的情況下，用于近似已知的系統可以基于Filippov 等效動力學構造［19］。當處于滑動模態時，s˙=0，通過式（27）可以推導出˙為：

Fig.3 Schematic diagram of controller圖3 控制器原理框圖

（2）反饋項upid能增強系統的閉環穩定性并改善系統運行過程中的瞬態性能，補償由于估計擾動可能導致的誤差，定義如下：

式中,K為對角正定常數矩陣，upid項為針對滑模變量s的比例控制。

（3）魯棒自適應項是為了補償不確定項，基于不確定項定義為：

式中，為1 個設計參數，通過在控制律中加入在線估計不確定項，無需知道不確定項上界。為了得出，本文將在下節魯棒性和穩定性分析中進行詳細推導。

基于以上內容，提出以下魯棒自適應律：

2.2 穩定性與魯棒性分析

為證明本文所提出控制器的穩定性和魯棒性，采用以下穩定性定理：由式（26）表示的非線性不確定系統如果采用式（34）所示的控制律，可以保證系統在模型不確定性和擾動情況下的漸進穩定性。

為證明控制器的魯棒性和穩定性，并推導出不確定估計項，選擇以下Lyapunov 函數：

式中，Λ為對角正定常數矩陣，E為集總不確定項估計誤差向量，定義如下：

如果選擇以下自適應律：

此時，在兩個不同假設下進行穩定性分析：慢時改變不確定項，可以保證系統漸進穩定；快時改變不確定項，可以實現狀態空間原點的小范圍有界性和收斂性。

假設1：假設不確定項任意大，并且隨時間變化緩慢，此時為零或可忽略不計。例如較大，但對于控制回路的采樣時間而言變化緩慢或變化很小，如果=0，式（41）可表示為：

式（42）始終為負或零，證明軌跡會漸漸從任何非零初始誤差收斂到滑模面s=0，并確保系統穩定性。

假設2：假設不確定項任意大，時變快，但有界。通過式（41）可知，不等式能導致系統漸進穩定，系統狀態更快收斂至平衡點。滿足上述不等式的兩種情況為：①E>0 和>0，即它們的分量均為正，估計誤差和不確定項隨時間的變化率均有利于閉環系統的穩定；②在最壞情況下，即式（41）可以表示為：

為展示具有快速時變和有界不確定性系統的最終有界性，并為選擇設計參數提供指導，對閉環動力學進行分析，可通過式（40）估計不確定項，即：

所提出的估計量源于不確定項對滑動函數動力學的影響，因此s從t0到t的積分可以表明不確定項。

通過替換式（34）中的不確定項，可以得到以下魯棒自適應律：

2.3 自適應增益模糊規則設計

魯棒自適應律式（45）無法有效估計不確定項擾動，這是由于在移動副過零速時摩擦力發生突變，不確定項也隨之發生突變，理論上會趨向無窮大，此時為確保自適應律能更好地估計，應增大自適應項增益Λ。因此，需要根據不確定項的變化調整自適應項增益Λ大小，具體調整規律可從大量仿真經驗中獲得。考慮到模糊控制［20］是基于專家、操作人員的控制經驗與知識，本文采用模糊邏輯系統實現對自適應項增益Λ的動態調整。

滑模面大小可以反映出不確定項的變化情況，因此將滑模面作為選擇自適應項增益的參考，對Λ的每個分量Λi建立模糊邏輯系統，以s和˙作為模糊系統輸入，Λi作為模糊系統輸出，模糊規則表達式如下：

規則（1）系統遠離滑模面，趨近滑模面的速度為零，自適應項增益取較大值。規則（2）系統離滑模面不遠，且正在接近滑模面，自適應項增益取小值。規則（3）系統在滑模面上，但由于滑模變量導數非零，系統正趨于離開滑模面，自適應項增益取較小值。規則（4）系統在滑模面上且由于滑模變量導數為零，系統不能離開滑模面，自適應項增益取適中值。利用相似推理規則構建補償摩擦力突變模糊自適應滑模控制器模糊規則，具體規則見表1。

Fig.4 Membership function of fuzzy system圖4 模糊系統的隸屬度函數

3 仿真試驗與結果分析

為驗證所設計控制方法的正確性與有效性，以式（26）所示的噴砂除銹并聯機器人Stewart 并聯機構為被控對象，分別對傳統滑模（Sliding Mode Control，SMC）和本文提出的模糊自適應滑模控制（Fuzzy Adaptive Sliding Mode Control，FASMC）進行MATLAB 仿真研究，其中Stewart 并聯機構主要參數如表2 所示。

Table 1 Adaptive gain fuzzy rule表1 自適應增益模糊規則

Table 2 System parameters表2 機構參數

進行仿真時，取模型各個參數誤差率為10%，在移動平臺上方施加變負載15 sin(1.5t)N·m。摩擦模型參數Fc=5N,μv=0.2；動平臺期望軌跡設為y(t)=0.1sin(πt)；位姿初始狀設為y(0)=0.02m；控制器參數K=diag(100),λ=diag(5),Λ=diag(15 000)。采用四階Runge-Kutta 法求解系統動態響應，仿真步長取0.001s。

由于Stewart 并聯機構沿Yp軸運動，6 條電動缸運動軌跡呈兩兩對稱現象，因此圖5 和圖6 僅給出其中3 條不同運動軌跡的關節信息。由圖5 可知，傳統滑模控制在系統整個運行過程中存在嚴重驅動力抖振，特別是在關節過零速導致摩擦力發生突變時，驅動力抖振更為嚴重，會降低電機使用壽命，因此該方法不適合實際應用。

由圖6 可知，本文方法的控制量輸入與傳統滑模控制相比具有抖振較小的優點，有利于機構平穩運行。這是由于魯棒自適應項替換了滑模魯棒項，能實時估計不確定項并加以補償。

由圖7 可知，動平臺沿Y軸做正弦運動時，若摩擦力不發生突變，魯棒自適應律（Adaptive Sliding Mode Control，ASMC）與本文方法均能較好地跟蹤，控制誤差較小。當運動到0.1m 和-0.1m 位置時，動平臺換向，各關節過零速導致摩擦力發生突變，此時ASMC 軌跡發生滯滑，并在運動約0.05m 后才能重新跟蹤成功，說明ASMC 對摩擦力突變較敏感。通過對比，本文方法在整個運行過程中都能較好地跟蹤期望軌跡，這是由于其通過模糊規則調節自適應項增益，使自適應項在摩擦力發生突變時也能準確估計不確定項并作補償，增強了系統魯棒性。圖8 反映了關節1 上不確定項估計值與實際值的對比，模擬電動缸伸縮換向時，摩擦力發生突變，可以看出模糊魯棒自適應律可準確平穩地逼近不確定項。

Fig.5 SMC driving force curve圖5 SMC 驅動力曲線

Fig.6 FASMC driving force curve圖6 FASMC 驅動力曲線

Fig.7 Y axis trajectory tracking圖7 Y 軸軌跡跟蹤

Fig.8 Drive joint 1 uncertain term圖8 驅動關節1 不確定項

4 結論

本文對噴砂除銹并聯機器人Stewart 并聯機構進行了運動學分析，并在其工作空間建立了動力學模型，提出了一種可以實時補償摩擦力和不確定項的模糊自適應滑模控制方法。該方法集合了滑模控制、自適應控制和模糊控制的優點，同時彌補了這些方法的缺點。本文還分析比較了傳統滑模控制與模糊自適應滑模控制的控制效果，結果發現傳統滑模控制存在驅動力抖振問題，所設計的魯棒自適應律能削弱驅動力抖振，但對摩擦力突變較敏感，在機構摩擦力突變時存在軌跡跟蹤畸變問題。

在魯棒自適應律的基礎上進行改進，將智能控制方法與傳統控制方法相結合，通過模糊控制器動態調整魯棒自適應增益，可有效估計摩擦力突變帶來的干擾，提高系統魯棒性。本文設計的模糊自適應滑模控制器結構簡單，在魯棒性、跟蹤誤差收斂性和干擾估計方面均表現出色，適用于類似于電動缸等往復運動器件構成的多輸入多輸出復雜不確定系統。

本文僅研究了Stewart 并聯機構在摩擦力突變時的軌跡跟蹤問題。然而，在實際工作場景中，末端噴槍會產生較大射流反作用力。在后續研究中將考慮射流反作用力的影響，并在此基礎上驗證和改進控制方法，進一步提高該方法的實用性。