基于漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法的橋梁找型工作研究

王 軍，王 萍，馮昭亮

（1.西安市政設(shè)計研究院有限公司，陜西 西安 710068；2.內(nèi)蒙古阿拉善盟公路運輸維護中心，內(nèi)蒙古 阿拉善盟750306；3.西安航天城市政公用發(fā)展有限公司，陜西 西安 710005）

0 引言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，通俗點說，就是選擇較好的設(shè)計方案并進行設(shè)計。從廣義上說，應(yīng)當(dāng)是用系統(tǒng)的、目的定向和良好標準的設(shè)計過程來實現(xiàn)對所選結(jié)構(gòu)形式、外形尺寸、采用材料等的設(shè)計[1-2]。拓撲優(yōu)化時，在限定條件較少，如尚不明確構(gòu)件尺寸、構(gòu)件之間的連接方式時，可以利用拓撲優(yōu)化工具進行橋梁結(jié)構(gòu)的找型工作，得到橋梁結(jié)構(gòu)材料最優(yōu)分布的橋型方案。

1 拓撲優(yōu)化及其基本原理

優(yōu)化設(shè)計按所選設(shè)計變量類型的不同可分為截面（尺寸）優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化。其中，拓撲優(yōu)化屬優(yōu)化設(shè)計的概念設(shè)計階段。其目的主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)選型和結(jié)構(gòu)布置上，即在滿足各種約束條件下，去除不必要的構(gòu)件和材料使結(jié)構(gòu)在規(guī)定意義上達到最優(yōu)，屬于優(yōu)化設(shè)計的最高階段，難度也最大。因此，拓撲優(yōu)化才是真正意義上的創(chuàng)造結(jié)構(gòu)[3]。

對于設(shè)計人員，只要將有限元分析軟件與優(yōu)化設(shè)計方法結(jié)合起來，并把工程實際問題合理地轉(zhuǎn)化為優(yōu)化模型，就可以利用相關(guān)計算方法很好地完成優(yōu)化設(shè)計。借助ANSYS 軟件強大的優(yōu)化分析功能，能夠很好地完成既定的優(yōu)化目標。ANSYS 的優(yōu)化模塊中三大優(yōu)化變量為設(shè)計變量、狀態(tài)變量、目標函數(shù)[4]。

1.1 設(shè)計變量

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方案諸多變量中，可以變化的量為設(shè)計變量。通過不斷改變其值而逐漸得到最終的優(yōu)化結(jié)果。ANSYS 分析軟件最多可以定義60 個設(shè)計變量。

1.2 狀態(tài)變量

狀態(tài)變量為設(shè)計變量的函數(shù)，也可以獨立于設(shè)計變量。狀態(tài)變量必須滿足一定的約束條件。約束條件可以是等式或不等式。避免狀態(tài)變量的上限和下限取值過于接近，造成無解現(xiàn)象。ANSYS 分析軟件中最多可以定義100 個狀態(tài)變量[5]。

1.3 目標函數(shù)

目標函數(shù)是要盡量減小的函數(shù)。它必須是設(shè)計變量的函數(shù)。在ANSYS 優(yōu)化程序中，它總是以最小化為目標函數(shù)。如果實際工程問題中所求目標函數(shù)為極大值，可以通過取倒數(shù)來實現(xiàn)。ANSYS 程序要求優(yōu)化過程中只能有一個目標函數(shù)。

2 漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法

2.1 拓撲優(yōu)化方法

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化可分為離散型和連續(xù)型。目前，連續(xù)體結(jié)構(gòu)為拓撲優(yōu)化主要的研究對象[6-7]。連續(xù)結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化常用的研究方法有均勻化法、變密度法和漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（Evolutionary Structural Optimization，簡稱ESO）等。

ESO 是近年來興起的一種解決各類結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的數(shù)值方法。ESO 技術(shù)自1992 年提出以來，在國際上反響很大[5]。該方法由于能夠很好地與有限元程序進行對接，能夠獲得較可信的優(yōu)化結(jié)果。該算法基本原理為：通過構(gòu)建一定的準則（應(yīng)力、位移/ 剛度、頻率），將結(jié)構(gòu)中那些低效的單元慢慢刪除，通過不斷地重復(fù)迭代計算，獲得一個最佳的結(jié)構(gòu)形式[8]。由于該方法所依據(jù)準則簡單、物理概念明確，因此很快擴展到多工況、非線性、動力等復(fù)雜問題。

2.2 基于應(yīng)力和剛度共同約束的ES O

絕大多數(shù)的工程結(jié)構(gòu)在運行狀態(tài)下都同時受到應(yīng)力和位移兩方面的約束控制。橋梁結(jié)構(gòu)在正常使用狀態(tài)下不僅要滿足應(yīng)力約束條件，還要滿足撓度約束條件。所以，研究這類問題更有工程應(yīng)用價值。

對優(yōu)化結(jié)構(gòu)進行有限元分析后，如果所求的單元位移靈敏度數(shù)較低，則表明需要刪除較多的單元，單元的刪除率也相應(yīng)較高。如果所求單元的應(yīng)力較低，則表明結(jié)構(gòu)中有較多單元處于低應(yīng)力狀態(tài)，相應(yīng)的單元刪除率也會較高。

基于以上分析，在位移和應(yīng)力兩方面控制下的單元綜合靈敏度公式可表示為[8]：式中：αi，z為單元綜合靈敏度；為每個單元Von Mises 應(yīng)力；為單元最大Von Mises 應(yīng)力；αi為每個單元位移靈敏度數(shù)；αmax為單元最大位移靈敏度數(shù)。

由于αi，z的取值范圍為0＜αi，z＜1，所以單元應(yīng)力值和位移靈敏度數(shù)有相同的數(shù)量級，不會產(chǎn)生較大的計算誤差。

以上所分析的都是結(jié)構(gòu)在單工況下的優(yōu)化問題。而橋梁結(jié)構(gòu)通常會同時受到汽車荷載、人群荷載、溫度荷載等作用。對于多荷載工況，單元的刪除準則為：每一個工況都滿足刪除準則的單元才能被刪除。通過式（1）可以很容易計算出在不同荷載工況下，每個單元的綜合靈敏度數(shù)，…，將其中最大值定義為這個單元的綜合靈敏度數(shù)，即：式中，k 為總工況數(shù)。

3 截面拓撲優(yōu)化

3.1 單元模型的選取

對截面采用漸進優(yōu)化算法時，首先是將其離散成數(shù)量可觀的單元，使單元網(wǎng)格盡可能小，這樣得到的優(yōu)化結(jié)果越精確。單元網(wǎng)格的劃分要在建模階段完成。在優(yōu)化階段，總是對同一模型進行反復(fù)迭代計算。研究發(fā)現(xiàn)，最初選取的模型形狀能否代表所要進行優(yōu)化的截面尤為重要，它直接影響到優(yōu)化的合理性和正確性。

截面的拓撲優(yōu)化可以分為平面應(yīng)力單元優(yōu)化和三維實體單元優(yōu)化。平面應(yīng)力單元優(yōu)化采用四節(jié)點矩形平面應(yīng)力單元計算，相對比較簡單。有時候可將一些復(fù)雜的三維實體單元優(yōu)化問題簡化為平面應(yīng)變和平面應(yīng)力問題，能獲得較好的優(yōu)化效果。

3.2 控制截面的選取

當(dāng)構(gòu)件受力并不復(fù)雜時，采用結(jié)構(gòu)中具有代表性的截面，如受力最不利截面，對其進行優(yōu)化，就能客觀地反映結(jié)構(gòu)真實的優(yōu)化后形狀。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到復(fù)雜荷載作用時，可以選擇多個控制截面進行優(yōu)化，對不同控制截面的優(yōu)化結(jié)果進行比較，從而得出最優(yōu)設(shè)計。根據(jù)已有的設(shè)計經(jīng)驗，首先考慮矩形截面為其初始設(shè)計截面。可以采取由結(jié)構(gòu)整體→局部截面→優(yōu)化后結(jié)構(gòu)整體這樣一個循環(huán)迭代過程。

3.3 設(shè)計區(qū)域的選取

設(shè)計區(qū)域的幾何布局是未知的，要通過拓撲優(yōu)化來確定其具體的位置形狀，所以該區(qū)域是可以刪除的區(qū)域。在優(yōu)化模型的建立時，對于設(shè)計區(qū)域的幾何體，在劃分單元時盡量選用較為簡單的單元形狀，以有利于減少迭代收斂的時間。

4 拓撲優(yōu)化實例

4.1 二維平面單元拓撲優(yōu)化典型算例

對于平面應(yīng)力單元的拓撲優(yōu)化，ANSYS 軟件分別提供了兩種拓撲優(yōu)化算法。第一種是以獲得結(jié)構(gòu)剛度最大為目標的線性結(jié)構(gòu)靜力分析。第二種是以獲得結(jié)構(gòu)動態(tài)剛度最大為目標的模態(tài)分析。本算例為第一種形式。該算法的中心思想是結(jié)構(gòu)在靜力荷載作用下，在滿足體積縮減量約束條件的情況下，使得結(jié)構(gòu)剛度最大。該算法不考慮材料和結(jié)構(gòu)非線性，將結(jié)構(gòu)剛度最大定義為目標函數(shù)。

拓撲優(yōu)化時，尚不明確構(gòu)件尺寸、構(gòu)件之間的連接方式。在這種限定條件較少的情況下，可以利用拓撲優(yōu)化工具進行橋梁結(jié)構(gòu)的找型工作。以下就是很好的典范。

4.2 模型的建立

在修建道路上需要建造一座鋼拱橋。該橋所在的空間形狀如圖1 所示。長方形頂面兩側(cè)連接的是兩側(cè)道路，長方形下面的左右兩端點是拱橋兩個橋墩安裝的位置點。鋼材的彈性模量為E=2.06×105 MPa，泊松比μC=0.3。假設(shè)橋面上承受P=110 MPa 的均布荷載，要求體積減少70%的條件下尋找最合適的拱橋橋型。

圖1 初始設(shè)定拱橋空間形狀

4.3 設(shè)計目標和約束條件

本例只有一個荷載工況，屬于單荷載工況求解拓撲優(yōu)化問題，如圖2 所示。首先，將體積減少70%定義為約束函數(shù)。將施加在拱橋頂部的P=110 MPa荷載定義為拓撲優(yōu)化函數(shù)。該函數(shù)也就是目標函數(shù)。

圖2 拱橋截面拓撲優(yōu)化區(qū)域及有限元模型

4.4 優(yōu)化結(jié)果

由于要尋求拱橋最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形式，必須有橋面部分的存在。要求橋面部分為本次研究長方形的頂部，即長方形的上表面單元必須保留，不參與拓撲優(yōu)化迭代過程。所以，求解時將長方形頂層單元指定為非設(shè)計區(qū)域，其他單元指定為設(shè)計區(qū)域。

程序通過七次迭代，以獲得結(jié)構(gòu)最大剛度為最終目標，并通過設(shè)計變量給每個單元賦予內(nèi)部偽密度來實現(xiàn)。

優(yōu)化第一階段，體積減小10%時，優(yōu)化結(jié)果如圖3 所示。

圖3 迭代第一步優(yōu)化圖示

優(yōu)化第二階段，體積減小40%時，優(yōu)化結(jié)果如圖4 所示。

圖4 迭代第四步優(yōu)化圖示

優(yōu)化第三階段，體積減小50%時，優(yōu)化結(jié)果如圖5 所示。

圖5 迭代第五步優(yōu)化圖示

優(yōu)化第四階段，體積減小60%時，優(yōu)化結(jié)果如圖6 所示。

圖6 迭代第六步優(yōu)化圖示

優(yōu)化第五階段，體積減小70%時，優(yōu)化結(jié)果如圖7 所示。

圖7 迭代第七步優(yōu)化圖示

通過五次迭代，當(dāng)體積刪除VS=50%時，拱橋的橋型逐步顯現(xiàn)；當(dāng)體積刪除率VS=70%時，能夠清晰地顯示出拱橋的橋型。此時迭代停止。在開始的幾次迭代中，目標函數(shù)和體積變化比較明顯，在經(jīng)歷了第16 次迭代后，優(yōu)化結(jié)果趨于穩(wěn)定，如圖8 所示。

圖8 目標函數(shù)、約束函數(shù)的迭代曲線

5 結(jié)語

拓撲優(yōu)化時，由于尚不明確構(gòu)件尺寸、構(gòu)件之間的連接方式，所以可以利用拓撲優(yōu)化工具開展橋梁結(jié)構(gòu)找型的工作。本文算例是以單元剛度最大為優(yōu)化目標的二維單元拓撲優(yōu)化。經(jīng)過數(shù)次迭代獲得了較成功的拱橋橋型的優(yōu)化結(jié)果，充分證明了采用ESO 法可以很好地開展橋梁的找型工作。