網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下“數(shù)學(xué)分析”混合式教學(xué)設(shè)計(jì)研究
——以連續(xù)函數(shù)的概念為例

陶玉杰，段麗芬，程亞煥，于梅菊

“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，也是后繼課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，具有極強(qiáng)的理論性、邏輯性和系統(tǒng)性［1］.而數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)分析知識(shí)體系中重要的一環(huán)，是深入學(xué)習(xí)、理解一切的基礎(chǔ)，因此做好概念教學(xué)是十分必要的.在以往的概念教學(xué)中，通常是直接給出定義，這種教學(xué)方式硬性灌輸，忽略了學(xué)生認(rèn)知形成過程和參與體驗(yàn)，使得原本就抽象的概念更加枯燥乏味難以理解，不能有效激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣.因此，在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，要充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，借助超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)，大膽嘗試、精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，采取線上線下混合式教學(xué)模式，從生活現(xiàn)象、生活實(shí)際出發(fā)，利用問題驅(qū)動(dòng)法讓學(xué)生直接參與定義得出的過程，親自嘗試用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行刻畫，這樣學(xué)生對(duì)定義的理解一定會(huì)更深刻，有益于后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí).

1 教學(xué)?內(nèi)容分析

1.1 內(nèi)容分析

連續(xù)函數(shù)是“數(shù)學(xué)分析”中著重討論的一類函數(shù)，連續(xù)函數(shù)概念是學(xué)生進(jìn)入連續(xù)函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的第一道門檻，由于定義很抽象，初學(xué)的學(xué)生在理解上會(huì)有一定的難度.本節(jié)主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容為：

（1）函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義；

（2）函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式；

（3）定義的應(yīng)用.

1.2 學(xué)情分析

“數(shù)學(xué)分析”的授課對(duì)象為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)大一學(xué)生，經(jīng)過一個(gè)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)極限思想有了充分的了解；由于剛剛步入大學(xué)校門，學(xué)生還未完全適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)生活，沒有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，課前自主預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)沒有成為學(xué)習(xí)常態(tài)，課后只是為了完成作業(yè)而做作業(yè)；學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)參差不齊，差異性較大，有的學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)分析不感興趣.

1.3 目標(biāo)分析

知識(shí)目標(biāo)：從生活現(xiàn)象出發(fā)，通過問題的設(shè)置使學(xué)生了解連續(xù)性概念的實(shí)際背景，建構(gòu)對(duì)連續(xù)性的認(rèn)知基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生思考，給出連續(xù)性概念，掌握函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的精確定義及等價(jià)形式.

能力目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象、發(fā)現(xiàn)和轉(zhuǎn)化的思維能力；培養(yǎng)學(xué)生課前、課后自主學(xué)習(xí)能力及課上合作探究能力.

思想目標(biāo)：通過學(xué)生親自參與知識(shí)建構(gòu)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生真正理解連續(xù)性定義，并能認(rèn)識(shí)到在生活中，凡事不能急于求成，必須遵循事物原本的規(guī)律.

1.4 重點(diǎn)難點(diǎn)分析

（1）利用問題驅(qū)動(dòng)法引導(dǎo)學(xué)生探索連續(xù)性的本質(zhì).

（2）通過小組合作，師生共同討論完善對(duì)連續(xù)性的理解.

（3）通過典型例題進(jìn)一步加深和拓展對(duì)概念的理解，掌握極限存在與函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)策略

“數(shù)學(xué)分析”中的概念具有抽象性，不易理解，所以在教學(xué)過程中依據(jù)先行組織者策略，打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，積極采用現(xiàn)代信息技術(shù)，通過超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)將線上線下混合式教學(xué)融入傳統(tǒng)教學(xué)模式中，以學(xué)生為中心，提高課堂效率.在課堂實(shí)施過程中，采用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)方法，借助小視頻、PPT等輔以講授法、小組討論等形式完成對(duì)函數(shù)連續(xù)性概念的感知、提煉、形成、鞏固和應(yīng)用，提高學(xué)生對(duì)概念的理解和運(yùn)用能力.

3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

“數(shù)學(xué)分析”中連續(xù)函數(shù)的概念與高中階段學(xué)習(xí)的概念相比較，“數(shù)學(xué)分析”中連續(xù)函數(shù)的定義不僅僅是定性的描述，而重要的是要從定性描述中抽象出定量的描述.如何從具體教學(xué)中抽象出連續(xù)函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生明晰其各種等價(jià)形式是連續(xù)函數(shù)概念教學(xué)的重點(diǎn).本節(jié)內(nèi)容以課前（線上）—課中（線下）—課后（線上）為主線，利用超星學(xué)習(xí)通完成教學(xué)任務(wù).

3.1 課前（線上）準(zhǔn)備

課前，通過線上超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)目標(biāo).第一步，教師線上發(fā)布學(xué)習(xí)資源，比如課件、小視頻等，小視頻中主要給出植物的生長過程、潺潺的流水、溫度的變化、舞者手中的飄帶等生動(dòng)的畫面，讓學(xué)生從鮮活的畫面中去感知連續(xù)性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)欲望，促使學(xué)生進(jìn)行在線預(yù)習(xí)；第二步，布置查閱任務(wù)：通過所發(fā)布的小視頻，結(jié)合生活實(shí)際，讓學(xué)生再查找一些與連續(xù)相關(guān)的生活現(xiàn)象，加深對(duì)連續(xù)性的認(rèn)知.連續(xù)來源于生活，反過來又怎么樣應(yīng)用于生活中呢？引導(dǎo)學(xué)生查閱連續(xù)性的應(yīng)用，在查閱過程中讓學(xué)生感受到抽象的數(shù)學(xué)與生活是息息相關(guān)的，激發(fā)他們繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣；第三步，教師與學(xué)生進(jìn)行線上互動(dòng)交流，收集學(xué)生課前預(yù)習(xí)中所遇到的疑難問題，以備課堂上進(jìn)行探究釋疑.課前的線上教學(xué)是學(xué)生自主完成的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是上好一節(jié)課的關(guān)鍵.

3.2 課中（線下）課堂實(shí)施

線上學(xué)習(xí)活動(dòng)是作為線下教學(xué)的補(bǔ)充，根據(jù)線上學(xué)習(xí)反饋，完成知識(shí)的鞏固、拓展和提升.在這一環(huán)節(jié)中，通過問題驅(qū)動(dòng)法完成連續(xù)函數(shù)的概念教學(xué)，重點(diǎn)是抽象出連續(xù)函數(shù)定義及其等價(jià)形式，按課前回顧、問題引入、分組探究、歸納總結(jié)、課堂小結(jié)這五個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行展開.

（1）課前回顧.教師首先檢驗(yàn)線上自主學(xué)習(xí)效果，設(shè)計(jì)幾個(gè)關(guān)于函數(shù)極限問題作為課前小測，這為后面解答函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)之間的關(guān)系做準(zhǔn)備.利用學(xué)習(xí)通統(tǒng)計(jì)小測結(jié)果，可以快速掌握預(yù)習(xí)情況.其次讓學(xué)生代表展示其查閱的與連續(xù)性相關(guān)的生活現(xiàn)象，讓學(xué)生快速融入課堂氣氛之中.

（2）問題引入.首先，借助學(xué)生查閱的生活現(xiàn)象提出問題：“一提到連續(xù)，你會(huì)想到什么詞匯？”學(xué)生通過預(yù)習(xí)肯定會(huì)答出：“連綿不斷”.教師可補(bǔ)充說明連續(xù)描述的就是連綿不斷的現(xiàn)象.

其次，通過與連續(xù)相關(guān)的生活現(xiàn)象設(shè)計(jì)問題：“我手里有一根斷開的繩子，那么怎么樣把他們連接起來，使兩段繩子看起來是連綿不斷的一根繩子呢？”這個(gè)問題比較簡單，很容易引導(dǎo)學(xué)生得出簡單的方法，就是將斷開的繩子湊到同一個(gè)點(diǎn)，然后用膠水粘住即可，這樣斷開的繩子便連接起來.

最后，引導(dǎo)學(xué)生從這一現(xiàn)象出發(fā)嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行刻畫，進(jìn)一步抽象出函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義.將斷開的繩子湊到一起，也就是這兩段繩子從兩側(cè)向同一個(gè)點(diǎn)湊近，在數(shù)學(xué)上解釋這一現(xiàn)象可以用左右極限刻畫.這兩段繩子的斷點(diǎn)湊在一起并用膠水粘住，在數(shù)學(xué)上描述就是這一點(diǎn)處左右極限存在且相等，而且還要等于函數(shù)在這一點(diǎn)處的函數(shù)值，這就給出了函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，用數(shù)學(xué)符號(hào)表述如下：

（3）分組探究.在給出函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義后，設(shè)計(jì)以下4個(gè)層層遞進(jìn)的問題讓學(xué)生進(jìn)行分組合作探究，通過探究性問題可實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

探究1：針對(duì)上述抽象出來的f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義，你是否能用其他形式來表達(dá)這個(gè)定義？

探究2：函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義是用極限定義的，那么函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)極限存在和f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)之間有什么聯(lián)系呢？

探究3：函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)如何定義？

探究4：怎樣證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)？

在小組合作探究的時(shí)候，教師可以與各小組進(jìn)行交流，了解同學(xué)們的掌握情況.幫助他們盡快實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

（4）歸納總結(jié).經(jīng)過小組合作探究，讓各組學(xué)生代表進(jìn)行歸納總結(jié)，小組之間也可以進(jìn)行互評(píng)，教師在此期間進(jìn)行補(bǔ)充、糾錯(cuò)，最后對(duì)所提問題進(jìn)行總結(jié).

對(duì)于探究問題1：設(shè)函數(shù)f(x)在某U(x0)內(nèi)有定義，若滿足下列條件之一，函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù).

對(duì)于探究問題2：函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)極限存在，則f(x)在x0點(diǎn)不一定連續(xù)，反之函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)極限存在.即函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)極限存在是f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的必要條件.

對(duì)于探究問題3：函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則f(x)為I上的連續(xù)函數(shù).對(duì)于閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間的端點(diǎn)，函數(shù)在這些端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù).

對(duì)于探究問題4：若要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，依據(jù)定義，只需證明區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)均連續(xù)，即?x0∈I，證明f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)即可.若區(qū)間I是閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間，還需證明在端點(diǎn)處左連續(xù)或右連續(xù).

（5）課堂小結(jié).教師對(duì)整個(gè)教學(xué)過程中學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)做進(jìn)一步梳理，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)、難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課后學(xué)習(xí).

3.3 課后（線上）提升

通過超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)，教師布置課后任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生再次進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和應(yīng)用.課后任務(wù)要有層次，以滿足不同層次學(xué)生的需求，使學(xué)生在課后得到進(jìn)一步提升.

教師可以在平臺(tái)上批閱學(xué)生提交的作業(yè)，通過作業(yè)情況掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)于個(gè)別接受較差的同學(xué)或接受能力強(qiáng)的同學(xué)可以進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo).

在(0,1)內(nèi)任何無理點(diǎn)處都連續(xù)，任何有理點(diǎn)處都不連續(xù).

4 教學(xué)效果

線上線下混合式教學(xué)有效拓展了教學(xué)時(shí)空，極大地豐富了教學(xué)資源，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，最大限度實(shí)現(xiàn)了預(yù)期教學(xué)目的.課前通過學(xué)習(xí)通平臺(tái)向?qū)W生發(fā)布自學(xué)任務(wù)和學(xué)習(xí)資料，為課上討論做好前期準(zhǔn)備；課上從植物的生長、潺潺流水、溫度的變化、舞者手中的飄帶等生活現(xiàn)象入手，讓學(xué)生感受到抽象的連續(xù)函數(shù)概念有著豐富生動(dòng)的生活背景.課上通過斷開的繩子設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生給出函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義，并用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行刻畫，使學(xué)生對(duì)抽象的概念有了直觀認(rèn)識(shí).再通過精心設(shè)計(jì)的問題，讓學(xué)生分組進(jìn)行討論并匯報(bào)討論結(jié)果，教師進(jìn)行補(bǔ)充、糾錯(cuò)，使學(xué)生完成知識(shí)的遷移，使相關(guān)認(rèn)知得到升華；課后布置階梯式練習(xí)，滿足各個(gè)層次學(xué)生的需要，真正做到全員參與學(xué)習(xí)“一個(gè)也不能少”.整個(gè)教學(xué)過程層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，內(nèi)容一氣呵成，通過學(xué)生親歷定義的給出過程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，函數(shù)連續(xù)的概念教學(xué)在匠心獨(dú)運(yùn)的教學(xué)設(shè)計(jì)和意趣盎然的教學(xué)環(huán)節(jié)中完美收官.

“信息化教學(xué)手段引入數(shù)學(xué)課堂，有助于走出一支粉筆、一塊黑板、一本書的傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式”［3］.線上線下混合式教學(xué)模式避免了傳統(tǒng)教學(xué)中“填鴨式”式教學(xué)方法的枯燥與單一，課堂上，通過層層遞進(jìn)的問題，讓學(xué)生分組討論，教師從旁輔助、糾錯(cuò)，克服了線上教學(xué)模式中教師與學(xué)生溝通不便的弊端，實(shí)現(xiàn)了教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的互動(dòng)，這不僅能夠發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用，又能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性與創(chuàng)造性.信息化教學(xué)已成為現(xiàn)代教育發(fā)展的必然趨勢［4?5］.但是要想實(shí)現(xiàn)高效的線上線下相結(jié)合的課堂教學(xué)，教師必須要掌握現(xiàn)代信息技術(shù)，具備較高的業(yè)務(wù)水平，這對(duì)教師提出了極大的挑戰(zhàn).本文以“函數(shù)的連續(xù)性概念”為例，充分發(fā)揮了線上的優(yōu)勢，通過超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)，學(xué)生自主學(xué)習(xí)，打破了時(shí)間和空間的界限，線下采用分組討論研究式學(xué)習(xí)，真正調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，構(gòu)建了以學(xué)生為主體的線上線下相結(jié)合的課堂教學(xué)方式，但如何在“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中全面實(shí)踐線上線下混合式教學(xué)模式還需要更多的探索.