帶有閾值捕獲功能型反應函數的捕食-食餌系統的穩定性分析

劉煒

（湖北警官學院，湖北 武漢 430034）

一、引言

生物科學的研究主要包括微觀和宏觀兩方面，微觀主要指細胞、分子等的形態研究，宏觀主要指生物體與周圍生存環境的關系，即生態學。生態學中的這種“關系”我們也可以看成生物體和周圍環境共同形成的“系統”，如果我們用“分析”的方法來研究系統，就是數學中的建立模型，這個模型叫作種群生態學模型。

當前，隨著科技文明的不斷進步，自然資源明顯匱乏，人與自然如何良性共存是世界熱點問題，人與生物自然資源的關系屬于生物體與周圍環境的關系，用建模和分析的方法研究這類生態系統可以對人類的行為有科學的指導。捕食-食餌系統屬于種群生態學模型中的兩種群模型，它可以反應很多自然界中生物體之間和生物體與環境之間的關系。兩種群模型主要包含三種關系，即食餌與捕食者、競爭關系、互惠互存關系。本文中研究的模型是基于Lotka-Volterra模型，屬于食餌與捕食者的關系，模型中用線性化來近似表示種群A、B的密度增長。

我們以魚類資源和捕魚業為例。近幾年，過度捕撈致使物種滅絕的情況很常見，過度捕撈的目標是為了追求經濟利潤，如何在保護自然資源的同時，能使捕撈和魚類繁殖形成良性發展關系，就是模型需要研究的問題。例如，B.Ghosh在2014年研究了一類帶有生態閾值和經濟共同制約的捕食-食餌模型的食餌種群可持續利用問題，很多學者也利用捕獲和經濟效益的微分代數系統模型得到了許多有價值的結論，為經濟和生態環境的平衡發展做出了有指導意義的推理結論。

在之前的研究中，關于微分代數系統的穩定性及分支的研究有很多，也得到了很多好的結論，但在其模型中，關于捕獲函數的描述并不確切，在實際生產中捕獲并不是以常數進行正比例增長的，這些會影響整個系統的穩定性結果。因此，我們考慮加入一個更為實際的閾值捕獲函數，建立了一個帶有閾值捕獲功能型反應函數的微分代數生態經濟系統，利用微分代數方程定義的動力系統中平衡點及其局部穩定性理論來分析上述模型的穩定性，從而得出有實際價值的結論。

二、帶有閾值捕獲功能型反應函數的捕食-食餌模型的建立

我們采用的基礎模型是帶有對捕食者捕獲的ratio-dependent捕食-食餌模型

x和y表示食餌和捕食者在時間tf時的密度，其中αθε，，為正常數，a,b分別代表食餌和捕食者兩種群的密度，C*指對捕食者的捕獲能力，αC*y表示在時間t捕獲與捕食者密度成正比關系。

在捕魚業中，0=t時開始捕撈是不能實現的，J.S.Collie曾在Technical Report中介紹過Threshold Policy的概念，若被捕獲量在閾值T水平以下不捕獲，若被捕獲量超過閾值T采用常數捕獲率進行捕撈。即

當然，考慮到時滯和捕撈能力等因素的限制，當被捕獲量達到閾值時立刻開始捕撈是不能實現的，因此我們加入一個連續的閾值捕獲功能型反應函數，

當Ty= 時，捕撈光滑增長，直到達到h。

1954年，Gordon結合經濟因素，提出了關于捕獲能力對生態系統影響的經濟學原理，即Net Economic Revenue=Total Revenue - Total Cost,簡稱NER。依據此原理我們可以得到一個如下的經濟效益方程：

其中 )(tC代表時間t時的捕獲效率，p表示單位重量的捕獲效益，q表示單位捕獲成本，m表示經濟效益，mqp,, 均為正參數。

結合以上閾值捕獲功能型反應函數和經濟效益方程，我們可以得到以下帶有捕獲的捕食-食餌生態經濟系統：

當Tv< 時，捕獲為0，關于閾值捕獲功能型反應函數的研究以有成熟結論，因此在接下來的研究中我們之考慮Tv> 時的情況。

三、穩定性分析

當 0TT> 時，系統（1）的正平衡點是不穩定的；

當 0TT< 時，系統（1）的正平衡點是漸進穩定的；

當 0TT= 時，系統（1）的正平衡點是一個非雙曲平衡點。

四、結語

上文中我們得到了系統局部穩定的條件，我們還可以根據Hopf分支定理，選取T作為分支參數，得到方程滿足Hopf分支存在的條件，進一步應用形式級數判別法來研究系統（1）的中心焦點問題等。這樣我們能有更全面細致的結論，這會在后續研究中進行。

生物資源的合理利用和開發一直是我們所提倡的，但在某些國家和地區仍然不顧環境一味追求經濟利潤，給生態環境造成了很多不可逆的影響。如果將本文研究的帶有閾值捕獲功能型反應函數的捕食-食餌系統應用于捕魚業，單從經濟角度出發，捕魚者趨向以最小成本收獲最大捕獲量，因此在局部范圍內選擇的閾值T越大，經濟效益越大。但通過上述研究我們發現，閾值T的選擇會影響整個微分代數生態系統的穩定性，當 0TT> 時，食餌、捕食者和捕獲量會呈現不穩定狀態，這很大概率會影響生態系統平衡，影響生物體繁殖，甚至最終導致物種滅絕。因此我們需要計算出符合系統穩定性的閾值0T，在超過該值時進行捕撈，這樣才能在保證生態環境可持續發展的前提下提高經濟利潤。

當然，我們的模型并不完善，沒有考慮時滯、染病等因素，沒有加入對食餌的捕獲，這些因素也會對系統產生影響。因此這些研究也是十分有意義的，生態數學的研究可以幫助很多工、農領域進行科學的可持續發展，我們會在這個問題上繼續進行研究，持之以恒，做出更多有價值的成果，給人與自然的和諧發展給予積極的影響。