齒輪傳動特性影響因素的全局靈敏度分析

李安民，于友明，李梁，張文盟

（東風汽車股份 商品研發院，武漢 430100）

0 引言

齒輪是現代機械傳動系統中最為重要的零部件之一，由于其恒定的傳動比、大功率及高效率等特點，廣泛應用于各類工程機械。高端裝備的迅速發展對齒輪副的傳動精度和穩定性提出了更高的要求。齒輪傳動系統結構復雜且受內外激勵的共同作用，分析各因素對其動態響應的影響，對揭示齒輪動態傳遞誤差和動態嚙合力的形成機理具有重要意義。

齒輪轉子系統中，影響齒輪動力學特性的因素主要包括內部激勵（如時變嚙合剛度）、外部激勵和系統參數的隨機波動[1]。國內外學者采用集中質量法建立齒輪動力學模型，以動態傳遞誤差（Dynamic transmission error，DTE）和動態嚙合力（Dynamic meshing force，DMF）作為響應指標，對齒輪傳動系統的動力學特性進行了大量研究。在動態傳遞誤差方面，Kahraman等[2]以DTE 為指標研究了嚙合剛度和側隙對直齒輪動力學特性的影響；曾作欽等[3]以DTE的振動加速度為指標研究嚙合剛度和嚙合阻尼對齒輪傳動時所產生振動的影響；陳安華等[4]以DTE 為指標研究了重合度、支承剛度、嚙合阻尼和支承阻尼對齒輪傳動系統動力穩定性的影響；張義民等[5]建立了多級齒輪傳動系統模型，以DTE為指標，研究嚙合剛度和轉速對齒輪系統的影響。在動態嚙合力方面，Chen等[6]以DMF的最大值為研究指標，詳細分析了動態間隙對齒輪傳動系統非線性特性的影響；Xiang等[7]以DMF的均方根值和最小值為研究指標，深入討論了齒輪偏心和轉速對系統的影響。

當前大多數文獻通常采用單一變量原則，分別研究各因素對傳動系統響應的影響，容易忽略各因素間可能存在的相互耦合對系統動態響應的影響，無法客觀分析各因素對系統響應影響的顯著程度。全局靈敏度分析[8]是研究因素在全局范圍內變動對模型輸出的影響，能夠辨別影響系統響應的關鍵因素和各因素間的耦合作用。目前，基于方差的Sobol’方法是全局靈敏度分析的主流算法之一[9]。

本文借助于三自由度齒輪非線性動力學模型，采用基于方差的全局靈敏度分析Sobol′方法，研究齒輪時變嚙合剛度、嚙合阻尼、支撐剛度和阻尼及齒側間隙等因素對齒輪動態傳遞誤差和動態嚙合力的影響，揭示影響齒輪系統傳動特性的關鍵因素，為高傳動精度、高可靠齒輪設計與制造提供理論指導。

1 齒輪動力學分析

1.1 動力學模型的建立

本文考慮時變嚙合剛度、嚙合阻尼及支撐體的剛度與阻尼等因素，基于集中質量法建立了3自由度齒輪嚙合動力學模型，該模型具有一定工程實際的代表性[2,4]，如圖1所示。

圖1 齒輪轉子系統動力學模型

根據牛頓定律建立系統的動力學方程：

1.2 模型求解

由于模型（1）的時變非線性，很難推導得到其解析解，通常采用Runge-kutta法或基于Simulink框圖的方式數值求解[1]。本文采用前一方法求解，選擇狀態變量Z：

利用變步長Runge-kutta法對系統的狀態方程進行數值求解，獲得動態傳遞誤差q（t），并根據式（5）計算齒輪的動態嚙合力。

1.3 齒輪系統動態響應

本文以動態傳遞誤差（DTE）和動態嚙合力（DMF）作為響應指標分析齒輪的動態特性，這是因為動態傳遞誤差直接反映了齒輪的傳動精度，動態嚙合力能夠展現齒輪在作業過程中的受載狀況。典型的齒輪傳動系統的動態傳遞誤差（DTE）和動態嚙合力（DMF）響應分別如圖2和圖3所示。在輪齒嚙合過程中，動態傳遞誤差和動態嚙合力均產生周期性的振蕩，主要發生在由單齒嚙合向雙齒嚙合過渡的區域。

如圖2所示，本文采用動態傳遞誤差最小均值mDTE和單雙齒交替嚙合時的階躍值δDTE表征齒輪傳動精度，使用齒輪系統的振蕩幅值ADTE和振蕩衰減指數ηDTE描述齒輪傳動系統的穩定性。

圖2 動態傳遞誤差響應

如圖3所示，采用齒輪動態嚙合力均值mDMF表征齒輪作業過程中的受載情況，動態嚙合力的振蕩幅值ADMF反映齒輪嚙合過程中的振動沖擊。最后，以振蕩衰減指數ηDMF表示齒輪傳動的平穩性，ηDMF越大傳動可快速趨于平穩。另外，采用數學方程x=Ae-ηt來近似描述齒輪系統的傳動振蕩衰減，η可通過數據擬合得到。

圖3 動態嚙合力響應

綜上，本文以動態傳遞誤差的最小均值mDTE、單雙齒交替嚙合時的階躍值δDTE、振蕩幅值ADTE和衰減指數ηDTE，以及動態嚙合力的均值mDMF、振蕩幅值δDMF和衰減指數ηDMF作為研究指標，綜合表征齒輪傳動系統的響應。

1.4 模型參數

在齒輪傳動系統中，齒輪靜態傳遞誤差（見式（2））、齒側間隙（見式（4））及由于單雙齒交替嚙合時剛度的時變性均會引起齒輪系統產生強烈的非線性。下面對時變嚙合剛度和嚙合阻尼的計算進行簡要說明。

關于時變嚙合剛度km計算主要有勢能解析法和有限元法[11]。而嚙合阻尼的機理較為復雜，與齒輪的材料和結構有關，其大小可依據嚙合剛度來測算[3]：

因此，齒輪的嚙合阻尼也具有一定的時變特性。由于嚙合阻尼產生機理的復雜性，本文將其作為一個獨立參數，分析其對齒輪系統動態響應的影響。

為便于研究嚙合剛度和嚙合阻尼的大小與其時變性對齒輪傳動系統響應的影響，將它們視為由均值（mk，mc）和階躍值（δk，δc）兩部分組成：

從式（7）可以看出，影響齒輪動態特性響應的因素除了上述參數外，齒輪的支撐剛度和阻尼對系統亦具有一定的影響。因此本文采用全局靈敏度分析方法，旨在辨別影響齒輪傳動系統的關鍵因素，揭示齒輪動態傳遞誤差和動態嚙合力的形成機理。

2 動態特性影響因素分析

2.1 全局靈敏度分析基本原理

本文使用的全局靈敏度分析方法是基于方差的Sobol′法，它的基本思想是當輸入參數間相互獨立時，響應函數f（x）可唯一分解為2k個遞增項之和，通過對模型參數采樣，估算出模型輸出響應的各項方差，最終計算各階靈敏度指數。響應函數f（x）的具體分解形式為

式中：E(·)表示期望，x-i表示除了xi外所有變量組成的向量。

參數i的總靈敏度指數STi，包含該參數與其他參數相互耦合作用的影響。故當Si和STi相差較大時，即可認為參數i與其他參數之間存在明顯的耦合作用。

2.2 靈敏度指數的計算

3 算例分析

根據表1給出的齒輪副參數，運用有限元方法計算齒輪的時變嚙合剛度（如 圖4），建立3自由度齒輪系統動力學模型，采用全局靈敏度分析方法，以動態傳遞誤差和動態嚙合力響應為目標函數，辨別影響齒輪傳動系統的關鍵因素。表2給出齒輪動力學模型的參數及取值范圍，表中x1～x10分別為時變嚙合剛度均值、剛度階躍值、嚙合阻尼均值、阻尼階躍值、齒側間隙、主從動輪的支撐剛度和阻尼及靜態傳遞誤差，假定各個參數服從均勻分布。

表1 齒輪副基本參數

表2 齒輪動力學模型參數的概率分布

圖4 齒輪時變嚙合剛度

為保證計算的準確性，設定所抽取參數樣本數N為5000，基于Sobol′法計算齒輪傳動系統響應指標的一階和總階靈敏度指數，分別如圖5和圖6所示。

3.1 動態傳遞誤差響應

根據圖5可發現：

圖5 動態傳遞誤差響應的靈敏度指數

1）對于動態傳遞誤差最小均值mDTE，齒側間隙的靈敏度指數遠大于其他激勵因素，表明齒側間隙對mDTE的影響最 為 顯著。

2）對于動態傳遞誤差的振蕩衰減指數ηDTE，齒輪時變嚙 合 剛度、齒側間隙、主從動輪的支撐阻尼均 有 影響，其中嚙合剛度均值的影響最大。

3）對于動態傳遞 誤 差δDTE，嚙合剛度的影響較為顯著，且嚙合剛度均值的影響大于其階躍值。

4）影響動態傳遞誤差振蕩 幅 值ADTE的主要因素為嚙合剛度和主從動輪的支撐阻尼，其中嚙合剛度均值的靈敏度指數最大，表明其影響最為顯著，且ADTE隨嚙合剛度增大而增大。

5）對于δDTE、ADTE和ηDTE，嚙合剛度的階躍值對上述指標的影響均較大，表明嚙合剛度的時變特性對動態傳動精度的穩定性具有明顯影響。

6）最后，每一個模型參數的一階靈敏度指數和總階靈敏度指數基本相等，說明各模型參數對動態傳遞誤差的影響不存在明顯的相互耦合。

3.2 動態嚙合力響應

根據圖6可發現：

圖6 動態嚙合力響應的靈敏度指數

1）對于動態嚙合力均值mDMF，各因素的一階靈敏度指數均偏低，嚙合剛度、嚙合阻尼和支撐阻尼等參數的一階靈敏度指數和總階靈敏度指數差別較大，表明這些參數與其他參數間存在明顯的耦合作用。經過進一步對各參數的高階靈敏度計算發現，嚙合剛度、嚙合阻尼與支撐阻尼之間存在的相互耦合對mDMF的影響最為顯著。

2）對于動態嚙合力的振蕩衰減指數 ηDMF，嚙合剛度和主從動輪的支撐阻尼都有影響，其中嚙合剛度的階躍值影響最大。3）對于動態嚙合力的振蕩幅度ADMF，嚙合剛度的影響最為顯著，尤其是嚙合剛度均值。

4 結論

1）對于動態傳遞誤差響應，各因素之間沒有明顯的耦合作用，影響齒輪傳動精度的關鍵因素是齒側間隙和嚙合剛度。同時，嚙合剛度和支撐阻尼對齒輪傳動平穩性具有明顯的影響，其中嚙合剛度均值的影響最大。

2）對于動態嚙合力的均值，發現各因素之間存在明顯的耦合作用，其中嚙合剛度、嚙合阻尼和支撐阻尼之間的相互耦合最為突出。嚙合剛度對動態嚙合力的振蕩衰減指數和振蕩幅值影響顯著，尤其是嚙合剛度的階躍值，表明嚙合剛度的時變特性嚴重影響齒輪傳動的振動沖擊和穩定性。另外，支撐阻尼對齒輪的傳動穩定性的影響亦不可忽略。