始于猜想·行于探究·終于建模

【摘要】本文以人教版“雞兔同籠”問題教學為例，從三個層面溝通聯系，幫助學生提升思維能力，即溝通列表與假設的聯系，先假設全是雞或者全是兔，再比較調換;溝通畫圖與假設的聯系，借助直觀的圖示解釋抽象算式的算理;溝通三種方法之間的內在聯系，揭示其本質上都是“假設—比較—調換”的思維方式，突出假設思想。

【關鍵詞】雞兔同籠 溝通聯系 假設思想

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）29-0078-04

“雞兔同籠”問題出自《孫子算經》，是我國民間廣為流傳的數學趣題，長期以來被用作學生思維訓練的經典教學內容。課堂上，學生能仿照例題有序地分析，面對問題也能對答如流，但在解決問題時依然出現兩點尷尬。尷尬一：依靠記憶和模仿。比如假設是雞（兔），學生知道求出來的分別是兔（雞），只知套用算法而不知其因，不能遷移解決生活中的類似問題。尷尬二：知識理解缺乏深度。如學生沒有真正理解畫圖法、列表法、假設法三種方法的內在聯系，知識呈碎片狀。面對這些尷尬，筆者不禁深思：問題究竟出在哪里？以下，筆者試圖從教材比較分析、學生認知分析兩個緯度出發，從問題解決教學的角度，對人教版“雞兔同籠”問題教學進行系統的梳理與思考。

一、構思：“雞兔同籠”教材比較的啟示

教材是實現課標的顯性載體，不僅承載了輸送基本知識和技能的任務，而且包含了一定的數學思想與方法。筆者嘗試從不同版本教材“雞兔同籠”問題的比較中，分析教材編排背后隱藏的理念與思考，以期為改進“雞兔同籠”問題的教學預設提供理論支撐。

（一）多版本教材對比解讀

多版本研讀“雞兔同籠”問題的編排，主要有以下兩方面的變化。

1.教學內容的編排順序存在明顯差異

從教材編排的順序看，《雞兔同籠》這一教學內容被安排在不同的年級中（如表1）。從表1中可以看出，“雞兔同籠”內容所涉及的教學對象中，年級最低的是二年級學生，最高的是六年級學生，年級跨度較大。

2.例題所滲透的解決方法呈現多樣性

各版本教材“雞兔同籠”例題中所滲透的解決方法呈現多樣性。從表1可以看出，由于教材編寫的年級不同，學生認知特點不同，不同版本教材例題所要滲透的解決方法并不完全一致，呈現出多樣性的特點。

（二）教材變與不變的啟示

1.教材編排求“同”存“異”

結合教材及比較表1，主要可以發現以下一些特點：

（1）思想一致。各版本教材基本都包括了“猜想—比較—推理—調整”的過程，采用“由簡單到一般，具體到抽象”的思維模型。

（2）策略聚焦。“列表法”是各版本教材都采用的解決方法。

（3）方法互通。不同版本教材例題所要滲透的解決方法呈現多樣性，但各種方法之間互通，在教學中應將“畫圖法與列表法”“列表法與假設法”等有機結合。

2.求“同”存“異”探教法

比較6種不同版本的教材可知：“雞兔同籠”這道古題適用于小學階段的各個年級，但由于各版教材的教學定位不同，解決問題的方法也不盡相同。由此引起筆者思考：學生的思維起點在哪里？如何確定某一種數學思想為教學的核心思想？怎樣讓“雞兔同籠”問題應用于生活實際，構建問題模型思想呢？

基于上述分析與思考，筆者設計如下實施路徑：以列表法為平臺，讓學生充分經歷猜測、比較的思維過程，感受規律;依照規律，小組合作探究假設法;結合畫圖進一步幫助學生直觀理解數量變化規律及調整辦法;溝通三種方法的內在聯系，建立問題模型。（如圖1，見下頁）

二、實踐：“雞兔同籠”課堂實踐的變革

“雞兔同籠”問題不僅存在知識的內在聯系，還存在著一定的知識“序列”，這種“序列”既有知識的邏輯之序，也有學生認知的發展之序。依循學生的認知之“序”，筆者設計如下實施路徑。

（一）猜想——感悟化歸思想

一個“適當的問題”能引領學生深入地思考。教材中編排了“雞兔同籠”這個經典的數學問題，不僅讓學生感受我國數學文化源遠流長，而且理解了“化繁為簡”的思想。

1.學習古題，感受數學文化

【教學片段1】

教師用多媒體演繹主題圖（如圖2），學生模仿圖中孩子冥思苦想的畫面，有感情地朗讀：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各有幾何？”學生品讀文言文中“雉”“足”“幾何”所蘊含的現代文意譯，還有每只兔、每只雞“腳數”的生活常識等。

教學運用多媒體演繹主題圖中的生動情境，引導學生模仿畫面有感情地朗讀，感受這段文言文的內在含義、文言文之美，激發學生解決問題的興趣。

2.經歷猜想，體會化繁為簡

“雞兔同籠”原題的數據較大，對學生經歷猜測、驗證的過程提出了挑戰，經過幾次簡單的猜測和數據調整，學生發現仍然不能得到正確的結果，體會從簡單問題入手的必要性，初步感受“化繁為簡”的思想。

【教學片段2】

（前面學生已經理解了古題的意思，并獲取相關信息：雞和兔一共有35只，它們的腳一共有94只。）

師：這個問題你能解決嗎？你準備怎樣解決？

生1（小聲）：猜一猜吧！

師：“猜一猜”也是一種方法。

生2：它們一共有35只。

生3：如果一共有94只腳，這樣就猜對了。

師：古人說，天下難事始于易。我們不妨從簡單的數據入手，尋找解決問題的方法。

教師順勢出示例1：

課件呈現：籠子里有若干只雞和兔，從上面看有8個頭，從下面數有26只腳，雞和兔各有幾只？

根據學生的認知特點，降低難度，把原題改為學生更容易理解的問題，逐步培養學生的推理能力，讓學生從簡單的問題開始經歷猜測結果、嘗試調整得到正確結論的過程，逐步掌握“化繁為簡”的方法。現以示例1為例進行講解。

（二）列舉——促進邏輯思維

經過初期猜想與調整，引發學生思考“怎樣讓猜想更有序”，找到逐一列舉的方法，跳躍列舉或取中列舉，直到頭和腳的總數符合題目信息，讓學生學會有序思考，培養思維的嚴密性和邏輯性。

1.借助列表，學會有序思考

學生從最初的隨機猜測中，對頭數與腳數的對應變化有了一些感悟，但因猜測的無序性容易重復或遺漏，從而順勢推出列表法，讓猜測從“無序”走向“有序”。

【教學片段3】

師：剛才同學們有各種猜法，聽起來比較混亂，也不知道是否重復和遺漏。該怎么猜呢？你們可以和同桌合作，把想法有序地填在下表中嗎？（學生合作完成表格2，匯報。）

生1：我們從“一共有8只雞”開始猜起，當有8只雞時，兔有0只，腳有16只。接下來雞變成7只，兔有1只，合起來是8只，腿有18只，依次是……

師：觀察這張表格，你們還有什么問題嗎？

師（小結）：要有序地思考，就要把每一種情況都考慮到，雖然這種情況不太可能出現，但不能否定其存在的可能，像這樣把每一種情況都有序地列舉出來的方法，就叫列舉法。

2.探尋規律，鋪就假設推理

運用有序列表的方法，可讓學生經歷逐一調整數據變化的過程，掌握列表法的規律，為后面的探究假設法做好鋪墊。

【教學片段4】

師：再次觀察這張表格，有沒有新的發現？

生1：我發現雞減少1只，兔子就增加1只，腳的只數會增加2只。

師：為什么每次腳的只數會增加2只呢？

生2：雞減少1只，少了2只腳，兔多了1只，多了4只腳，這樣總數就增加了2只腳。

生3：1只兔換成1只雞，腳就減少2只。

師：如果雞和兔腳的總只數比26少，那就要讓腳的只數多一些，并不斷地調整。

生4：把里面的雞換成兔。

生5：如果雞和兔腳的總只數比26多，要讓腳的只數少一些，可以把里面的兔換成雞。

生6：還可以全部猜成雞，然后根據規律把雞和兔換一換，讓腳的只數達到26只就可以了。

列表法讓學生不斷嘗試列舉各種情況，累積猜測和推理的經驗，體會有序思考的數學思想，發現列表法的規律，為后面的探究假設法學習奠定基礎。

（三）假設——提升推理能力

假設法是解決“雞兔同籠”問題的一般方法，更具有思維的邏輯性和推理性，解題過程需要經歷“假設—比較—推理—調整”的過程。

1.合作學習，打開思路

雖然學生有了列表法猜測和推理的經驗，基于四年級學生邏輯思維連貫性的不足，可以通過小組合作和“小錦囊”提示，幫助學生打開思路。

【教學片段5】

師：根據剛才發現的規律，請同學們每四人小組合作猜測其中一種情況，然后調整腳的只數，再來解決這道題。當你們遇到困難時，可以借助“小錦囊”的提示哦！

[小錦囊：

1.你猜測的是怎樣一種情況，腳共有多少只？

2.腳的總數和要求比起來多了還是少了？

3.你準備怎樣調整？需要調整幾次？

4.調整后，雞、兔各有幾只？

5.能列出算式嗎？ ]

2.經歷“假設”，培養推理能力

學生充分經歷“假設—比較—推理—調整”的解答過程，不斷完善思路，能夠培養邏輯推理能力。

【教學片段6】

生1：我們這組猜測有4只雞、4只兔，一共有24只腳。跟26只腳比起來少了2只腳，就把其中一只雞換成兔，多了2只腳，剛好26只腳。這樣雞有3只，兔有5只。

師：能列出算式嗎？

生2：4×2+4×4=24（只），26-24=2（只），4-1=3（只），4+1=5（只）。

師：大家還有其他的方法嗎？

生3：我們假設全是雞。

假設全是雞：2×8=16（只） 26-16=10（只） 4-2=2（只）

兔的只數：10÷2=5（只）（差的10只腳要換5次，也就是放進5只兔）

雞的只數：8-5=3（只）

生4：我們假設全是兔……

教師提供“小錦囊”幫助小組合作分析，學生遵循規律充分經歷嘗試、分析、再嘗試的探索歷程，逐步掌握假設法。這不僅體現了新課標要求合作學習、互動交流、將課堂交給學生的理念，還揭示了列表法與假設法之間的內在聯系。

（四）求聯——突出假設推理

從列表法的規律探索到假設法的推理，揭示了列表法與假設法之間的內在聯系，學生借助畫圖直觀地理解“假設—比較—推理—調換”的思維過程，從假設的角度把三種方法融會貫通。

1.數形結合，直觀理解推理

實踐證明，數形結合能讓學生的思考更為直觀，啟發學生用畫圖直觀地理解假設法的推理、調換過程，讓抽象算理更加形象、更易于理解。

【教學片段7】

師：誰能用畫圖法解決問題？

生1（邊畫邊講）：先畫出8只雞，每只雞有2只腳，一共16只腳，可實際上有26只腳，少了10只。接著就可以把雞換成兔，換一只兔就添上2只腳，10只腳就需要換成5只兔。（如圖3）

師：你剛才畫圖時，為什么先畫出8只雞呢？

生1：我也是假設全是雞。

師：可見，畫圖法和假設法盡管方法不同，但是道理是相通的。

2.反思求聯，聚焦假設方法

引導學生“比較”和“反思”列舉、假設、畫圖三種方法的“同與不同”，追溯每種方法的思考起點，溝通內在聯系，揭示其本質都是“假設—比較—調換”的思維方式。

【教學片段8】

師：同學們用列表、畫圖、假設三種方法解決了問題。那么，這三種方法之間有沒有區別與聯系呢？

生1：列舉法是從8只雞和0只兔開始列舉;假設法是從假設全是雞開始計算;畫圖法是從8只全是雞開始畫。

生2：我認為列舉法和畫圖法也都是先假設的。

師：其實畫圖、列表、假設這三種方法本質上是一致的，都是假設法的不同體現，都要經歷“假設—比較—調換”這樣一種循環往復的思維過程。

溝通三種方法的內在聯系，其實質都是“假設—比較—調換”循環往復的思維過程。由此，引導學生把看似不相同的方法化歸為一般方法，通過對比、梳理，讓數學知識從“厚”到“薄”，更具系統性。

（五）遷移——建構模型思想

“雞兔同籠”問題突出的思想就是假設推理，本質上是“假設—比較—調換”的思維方式。教師可以將學生初步感悟的“雞兔同籠”問題數學模型，演繹到各種生活情境中，在解決新問題時實現自主遷移，進一步促進模型思維內化。

1.模型演繹，解決具體問題

【教學片段9】

（1）解決古算題，重點追問“假設全是雞，為什么先求出的是兔的只數”和“假設全是兔，為什么先求出的是雞的只數”。

（2）“龜鶴算”問題。

師：“龜鶴”問題跟“雞兔”問題有聯系嗎？“龜鶴算”問題是從“雞兔同籠”問題演變來的。其實“雞兔同籠”只是這類問題的一個統稱，生活中有許多這類“雞兔同籠”的問題，也能用上今天學習的方法去解決。請看下面的問題：

①三輪車和自行車共10輛，共有23個輪子。三輪車和自行車分別有多少輛？

②光明小學“紅領巾”小分隊12人參加植樹活動，共栽了32棵樹。男生每人栽3棵樹，女生每人栽2棵樹，男、女生各有幾人？

從“雞兔同籠”中感悟的問題模型，演繹到具體的實際問題情境中，進一步明確“雞兔同籠”問題的實質。

2.內化模型，建立數學思想

教師引導學生將“雞兔同籠”問題模型，遷移到解決各種具體實際問題中，引領學生思維不斷走向深入。在解決問題的過程中，學生的思維進一步發展，逐步從問題解決走向思維建構。

三、追尋：“雞兔同籠”教學引發的思考

“雞兔同籠”問題的教學實踐與思考，序列建構合理、方法各有側重，有助于提升學生的數學思維能力。

（一）溝通聯系，思維融通，促進知識建構

針對學生知識內容碎片化，溝通畫圖、列表、假設三種方法的內在聯系，從方法多樣走向方法互通，引導學生建立融通的認知結構。

1.學習內容：從“孤立碎片”走向“聯系整合”

對知識的學習是從點狀開始，當學生完成一部分知識點的學習之后，教師就要引導他們用聯系整合的觀點建構知識。用畫圖、列表、假設三種不同的方法解決“雞兔同籠”問題，其方法樣態和方式有所不同，知識呈碎片狀。但假設法只是列表法中的特殊情況，假設全是雞或全是兔;畫圖法則是用直觀的方式呈現列表法、假設法的思考過程。對此，教師可以通過對知識梳理整合、建立聯系與融通，使教學從孤立碎片走向聯系整合，完善學生的認知結構。

2.知識結構：從“要素溝通”走向“模型建構”

將“聯系”的觀點貫穿教學全過程，可以將各知識要素聯結起來，在聯系建構中建立起數學模型。通過溝通畫圖、列表、假設三種方法的內在聯系，感悟初步的問題模型;從初步感悟的數學模型演繹，再到具體的各種生活情境中解決實際問題，實現知識的自主遷移，從而由要素溝通過渡到模型構建。

（二）突出思維，問題解決，促進思維建構

針對學生不能遷移解決生活中類似“雞兔同籠”的問題，教師可以將問題模型演繹到各種生活現象和問題情境中，借助解決生活中的實際問題強化模型思維，促進思維建構。

1.情境遷移：從“舉一反三”走向“舉三反一”

“舉三反一”是指問題解決后的理解、感悟、抽象、概括，形成某一種數學思想方法。“一”是指習得問題解決的一種方法，“三”用習得的方法遷移到相似情境中解決一類問題。從雞兔同籠中習得的基本假設，用推理方法解決生活中各種“雞兔同籠”的問題，實現知識遷移。學生在解決各種問題的過程中完善方法，強化基本的問題模型。

2.認知體驗：從“問題解決”走向“思維建構”

教學實踐證明，學生經過一段時間之后會將知識遺忘，但運用學習到的思想方法，對解決具體實際問題和提升思維品質，具有重要的現實意義;同時通過解決生活中“雞兔同籠”這一類問題，在解決生活實際問題中內化基本的數學模型，從而逐步從解決問題走向思維建構。

總之，數學教學從教材比較分析、學生認知分析兩個緯度出發，從問題解決教學模式的角度，對人教版“雞兔同籠”問題做了系統的梳理與思考，優化教學設計，發揮教育價值。

【參考文獻】

[1]王宏偉.順應學生思維特征的學習方式選擇[J].教學月刊·小學數學，2017（9）.

[2]牛獻禮.溝通聯系 突出思想[J].小學教學研究，2018（3）.

[3]郜舒竹.學生解決雞兔同籠問題的協變思維[J].教學月刊·小學數學，2019（9）.

【作者簡介】張燕萍（1970— ），浙江杭州人，大學本科學歷，一級教師，現就職于浙江省杭州市余杭區實驗小學，研究方向為小學數學教學。

（責編 楊 春）