基于R/S分析法的礦井涌水量時間序列分析及定量預測*

田罡豪，崔中良，胡體才，黃保勝，夏榮輝，劉紅偉，王 宏，任周洪

(云南馳宏鋅鍺股份有限公司，云南 曲靖 655000)

0 引言

R/S分析法是現代非線性理論的重要組成部分[1]，目前被廣泛應用于自然科學領域的時間序列研究。王波雷等[2]、馮新靈等[3]認為R/S分析法是進行氣候預報的有效手段，并運用R/S分析法研究了氣候變化趨勢。喬美英等[4]基于R/S分析法對千秋煤礦礦井的涌水量進行了分形特性研究，結果表明R/S分析法可用于涌水量時間序列研究，這為礦井涌水研究與治理提供了新的思路。基于R/S分析法開展礦井涌水量預測所需水文地質信息極少，因此在水文地質條件不明或水文地質條件研究程度較低的情況下具有較大的應用潛力。然而R/S分析法目前僅能實現定性預測，除少數學者嘗試定量研究外[5-8]，基于分形刻畫特征的涌水量定量預測研究還鮮有報道，因此本文采用R/S分析法實現對礦井涌水量時間序列的分形刻畫，并結合灰色預測理論實現礦井涌水量的定量預測，以期為更深入地開展分形預測打好基礎。

1 分析法概述

1.1 R/S分析法基本原理

R/S分析又稱變標度極差分析(重標極差法)，最初由HURST于1965年提出，后經MANDELBROT和WALLIS不斷完善而成熟[1-3]。R/S分析法的基本思想是通過改變樣本序列的時間尺度，研究其在不同尺度范圍內的統計規律，從而進行大小時間尺度間的相互轉換[9]。R/S分析法的基本步驟敘述如下。

(1)假設不同時間t1，t2，t3，…，tn的礦井涌水量分別為x1，x2，x3，…，xn，那么礦井涌水量時間序列即為{xi，n≥i≥1}。計算在τ(τ≥2)時段內礦井涌水量平均值

(2)在時間tj時，礦井涌水量對于平均值的積偏差為

(3)計算x(t，τ)的極差

R(τ)= maxx(t，τ)- minx(t，τ)，

tn≥t≥t1，τ=2,3,4,…。

(4)同一個τ值下，與R(τ)對應的礦井涌水量標準偏差為

(5)極差R(τ)與標準偏差S(τ)的比值為

τ=2,3,4,…。

(6)R(τ)/S(τ)=(τ/2)H+C，τ=2,3,4,…；C為常數。

兩邊取對數得

(1)

式中,H為Hurst指數，等于以雙對數坐標系ln(τ/2)為橫軸、ln(R/S)為縱軸中應用最小二乘法擬合得到的直線斜率。Hurst指數可以表征時間序列的隨機性[9-12]：①當0.5>H>0時，表示反持續性時間序列，為負反饋機制，意味著未來的趨勢與過去相反，H值越接近0，反持久性越強；②當H=0.5時，表示隨機性時間序列，即未來時間序列的變化與過去時間序列沒有關系；③當H>0.5時，表示持續性時間序列，具有長期記憶性，且其記憶性不隨時間標度的變化而變化，意味著未來與過去呈現相同的變化趨勢，H值越大，持久性越強。

非線性動力系統具有非周期循環特征，平均循環周期的確定常借助時間序列V(τ)-lnτ關系圖進行分析，統計量V(τ)的計算公式為

1.2 灰色預測模型

信息完全確定的系統為白色系統，信息完全未確定的系統為黑色系統，而灰色系統介于兩者之間，既含有已知信息又含有未知信息。礦井涌水量預測與水文地質條件、開采體積、開采強度等多種因素有關，既有已知信息，又有未知信息，是一個典型的灰色系統[7]。灰色預測模型是針對灰色系統的特點而建立的預測模型，所需建模信息少，運算方便，是處理小樣本預測問題的有效工具。其中GM(1，1)是最常用的灰色預測模型，具體計算步驟如下。

(1)根據涌水量原始數據序列X(0)計算一次累加序列X(1)。

設X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)}，則

(2)建立矩陣B，Y。

(3)求發展灰數a及灰色作用量b。

GM(1,1)模型的影子方程為

(4)確定GM(1,1)模型。

將求得的參數a、b代入GM(1,1)模型的時間響應方程得

則原始涌水量時間序列預測模型為

k=1,2，…,n。

1.3 R/S灰色預測模型

R/S灰色預測模型的建立分為4個步驟：

a.運用R/S分析法刻畫涌水量時間序列分形特征(Hurst指數、平均循環周期T)；

b.選取長度為T-1的涌水量時間序列{x1，x2，x3，…，xT-1}建立灰色預測模型GM(1,1)1；

c.對建立的灰色預測模型進行精度檢驗，若建模精度大于80%，開展下一步；若建模精度小于80%，進行修正后開展下一步。

d.有兩種預測模式：①基于灰色預測模型GM(1,1)1預測xT。基于涌水量時間序列{x2，x3，x4，…，xT}建立灰色預測模型GM(1,1)2預測xT+1。重復此步驟可預測今后若干時間序列的涌水量。②Hurst指數若顯著大于0.5，則說明時間序列具有長程相關性，并且持續性極強，此時循環周期遠大于平均循環周期，因此可用灰色預測模型GM(1,1)1連續預測xT、xT+1、xT+2等。

2 研究區涌水量時間序列

研究區含水層類型為巖溶裂隙含水層，整體富水性弱至中等。其中礦床直接充水含水層由石炭系威寧組、擺佐組、大塘組及泥盆系宰格組組成，礦床頂板間接充水含水層由二疊系棲霞-茅口組組成，礦床底板間接充水含水層由震旦系燈影組組成。礦床直接頂板隔水層由二疊系梁山組及石炭系馬平組組成，礦床直接底板隔水層由泥盆系海口組及寒武系筇竹寺組組成，目前隔水性能較好。根據研究區2011-2017年季度涌水量時間序列(見圖1)可以看出，2015年一季度至2017年四季度，涌水量整體呈小幅波動式增長。

圖1 礦井2011-2017年季度涌水量時間序列

3 涌水量時間序列的R/S分析

3.1 涌水量時間序列的Hurst指數

計算2011-2017年季度涌水量時間序列的分析參數(見表1)，在雙對數坐標系中擬合得到季度涌水量時間序列ln(R/S)-ln(τ/2)線性關系圖(見圖2)。由圖2可知，相關系數大于0.98，判定系數接近1，說明模型擬合度較高，擬合效果較好。擬合直線的斜率為1.027 2，即Hurst指數估計值為1.027 2，與1極為接近，說明時間序列具有長程相關性，并且持續性極強。2011-2017年季度涌水量變化曲線前一部分呈低數值平坦形(略有波動)，后一部分為劇烈抬升后的波動增長形(見圖1)，根據Hurst指數預測2018年季度涌水量相對于2017年整體應呈增大趨勢，但不排除小范圍的波動。

表1 礦井涌水量時間序列R/S分析結果

圖2 涌水時間序列ln(R/S)-ln(τ/2)線性關系圖

3.2 涌水量時間序列平均循環周期

礦井涌水量時間序列具有非線性分形特征，而非線性動力系統的特征之一便是具有非周期循環特征。在礦井涌水量時間序列分析中，常引入統計循環概念，即平均循環周期，平均循環周期的確定可以借助時間序列V(τ)-lnτ關系圖分析得到。根據V(τ)、lnτ值繪制時間序列V(τ)-lnτ關系圖(見圖3)。V(τ)單調性變化分界點也是時間序列持續性的消失點，因此找出V(τ)-lnτ關系曲線的第一個轉折點，也就找到了時間序列的平均循環周期。由圖3可知，轉折點τ=5，說明研究區礦井涌水量時間序列的平均循環周期為5個季度。

圖3 涌水量時間序列V(τ)-lnτ關系圖

3.3 涌水量時間序列的隨機性

Hurst指數是表征時間序列隨機程度的重要參數。上述計算及分析結果均表明研究區礦井涌水量時間序列為有偏隨機游走，即歷史涌水量時間序列與未來涌水量時間序列有相關性，隨機打亂原始礦井涌水量時間序列，根據重新計算的Hurst指數，可以有效評估Hurst指數估計量的有效性。若原始涌水量時間序列真正獨立，為完全隨機序列，則打亂后重新計算得到的Hurst指數保持不變。若重新計算得到的Hurst指數發生變化，則說明原始的礦井涌水量時間序列存在記憶性，亦說明了利用Hurst指數開展分析預測的有效性。將2011-2017年季度涌水量時間序列打亂，重新計算得到的Hurst指數為0.936 9(見圖4)，發生了較明顯的變化，說明原始的礦井涌水量時間序列存在記憶性，為有偏布朗運動。

圖4 重新構建涌水量時間序列的ln(R/S)-ln(τ/2)線性關系圖

4 涌水量時間序列預測模型

4.1 灰色預測模型構建

基于2011-2017年季度涌水量數據建立灰色預測模型GM(1，1)，該模型的時間響應方程為x(1)(k+1)=6 749.66e0.042 4k-6 400.68，則原始涌水量時間序列預測模型為x(0)(k+1)=(1-e-0.042 4)6 749.66e0.042 4k。根據原始涌水量時間序列預測模型預測2011-2017年季度涌水量，并進行誤差分析(見表2、圖5)。

表2 灰色預測模型GM(1,1)建模誤差分析

圖5 GM(1,1)模型預測2011-2017年涌水量時間序列

從表2、圖5可以看出：GM(1，1)模型預測的相對誤差為0.01%～71.41%，平均相對誤差為18.65%，模型建模精度為81.35%；GM(1，1)模型在涌水量序列劇烈變化時的相對誤差急劇增大，說明模型精度急劇下降。

4.2 R/S灰色預測模型構建

研究區礦井涌水量時間序列的平均循環周期為5個季度，因此連續選取4個季度涌水量建立灰色預測模型。選取2017年4個季度涌水量建立灰色預測模型GM(1，1)，該模型的時間響應方程為x(1)(k+1)=6 515.03e0.104 1k-5 847.36，則原始涌水量時間序列預測模型為x(0)(k+1)=(1-e-0.104 1)6 515.03e0.104 1k。R/S灰色預測模型GM(1，1)預測的相對誤差為0%～4.78%，平均相對誤差為2.44%，模型建模精度為97.56%。

表3 R/S灰色預測模型GM(1,1)建模誤差分析結果

4.3 預測模型精度對比

應用兩種預測模型預測2018年季度涌水量時間序列，結果見表4。由表4可知：灰色預測模型GM(1,1)預測結果的絕對誤差為130.82～262.20，相對誤差為11.14%～21.48%，平均相對誤差為18.24%，預測精度為81.76%；R/S灰色預測模型GM(1,1)預測結果的絕對誤差為32.95～189.11，相對誤差為2.67%～16.22%，平均相對誤差為10.94%，預測精度為89.06%。R/S灰色預測模型是基于刻畫涌水量時間序列平均循環周期上的灰色預測模型，可有效減少預測樣本數量，一定程度上確保了涌水量時間序列的平穩性，因此預測精度高于灰色預測模型。綜上所述，R/S灰色預測模型兼具灰色預測及R/S分析的特點，相比R/S分析法能實現定量預測，相比灰色預測能提高預測精度，可滿足礦井防治水要求。

表4 兩種預測方法的結果對比

5 結論

a.2011-2017年季度涌水量時間序列的Hurst指數估計值與1極為接近，說明時間序列具有長程相關性，并且持續性極強。

b.Hurst指數有效性的驗證結果表明，研究區原始的礦井涌水量時間序列存在記憶性，為有偏布朗運動。為量化礦井涌水量時間序列的記憶性，計算得出研究區礦井涌水量時間序列的平均循環周期為5個季度。

c.基于2011-2017年季度涌水量數據建立的灰色預測模型、R/S灰色預測模型建模精度分別為81.35%、97.56%，對2018年季度涌水量時間序列的預測精度分別為81.76%、89.06%。

d.R/S灰色預測模型兼具灰色預測及R/S分析的特點，相比R/S分析法能實現定量預測，相比灰色預測法能提高預測精度,在水文地質條件不明或研究程度較低的情況下具有較大的應用潛力。