基于一種Gauss型積分算法的輸電線路電壓測量方法與試驗

汪金剛 顏曉軍 李 想 廖巨成 陶亞琴

（1.輸配電裝備及系統安全與新技術國家重點試驗室（重慶大學）重慶 400044 2.國網重慶市電力公司江北供電分公司 重慶 401147）

0 引言

輸電線路電壓的準確測量是評估電力系統運行狀態的重要環節。隨著電力系統的智能化與小型化，傳統接觸式電壓測量方法逐漸難以滿足測量需求，非接觸式電壓測量方法近年來已成為研究熱點之一[1-4]。面對傳統電磁式傳感器存在的設備體積龐大、價格昂貴、絕緣隱患等共性問題[5-8]，在非接觸電壓測量方法中，通常采用光學傳感器和D-dot傳感器作為信號采集媒介[9-12]。其中，D-dot場式傳感器具有測量原理簡單、結構體積小、易于安裝等優點，可與數值積分算法緊密結合，實現電壓參數的可靠測量[13-15]。相比之下，光學傳感器則存在成本高、價格昂貴以及易受溫度條件影響等缺點，限制了其應用推廣[16-19]。

當前應用于輸電線路電壓測量的數值積分算法主要包括高斯積分算法、高斯-勒讓德算法及切比雪夫算法，各算法在求解精度和應用可靠性方面存在差別。其中高斯積分算法的積分節點數量過多時，最高節點代數值對應的傳感器位置通常過于靠近導線，造成電壓測量誤差增大，甚至引起傳感器絕緣故障[20-23]；高斯-勒讓德算法和切比雪夫算法則普遍存在積分區間優化的問題，由于這兩種積分算法均需進行歸一化處理，使積分區間變為[-1,1]，在求解過程中需要進行多次區間重復換算，過程復雜且易產生額外誤差，影響積分計算結果[24-26]。

針對上述積分算法的缺陷，本文提出一種給定積分節點的Gauss型積分算法，將積分節點分為固定積分節點與待求積分節點，在節點位置與對應權重的計算過程中，可對方程進行降階處理，無需進行區間換算，從而簡化計算。在合理固定積分節點的初始限定條件下，優化積分節點位置，降低積分節點傳感器的對地距離，減小測量誤差，提高電壓的測量精度。

文章首先在空間電場積分法與Gauss積分原型算法的基礎上，推導出基于給定節點的Gauss型積分法的節點參數解析式與代數計算過程。然后建立了5～20kV輸電線路電場仿真模型，得到輸電線路下方積分路徑上的電場分布參數。據此計算出不同的固定節點位置情況下，剩余節點位置及其對應的積分權值，并完成與高斯積分法原型積分節點的對比分析。最后，在所搭建三相電壓試驗平臺上，對所提出方法的有效性進行了測試。

1 電場積分算法

1.1 空間電場積分法

輸電線路的工頻電場屬于準靜態電場，其物理效應可用靜電場理論來分析。由于電場強度是無旋的，任意兩點之間的電位差與積分路徑無關[27]。如圖1所示，A、B、C代表三相輸電線路，M代表測點，l為有向積分路徑，對該場域中線路與地電位積分路徑上的電場強度進行積分，即可結合數值積分方法得到線路的空間電位φ為

圖1 輸電導線下方的電場強度Fig.1 The E-field intensity under the transmission lines

設φA為A相空間電勢，對于距離為d的垂直積分路徑，可以得到線路電位與積分路徑上的電場強度關系為

根據式（2），以輸電線至大地間的鉛垂線為積分路徑，僅需考慮積分路徑各點處電場強度在x方向的分量Ex，在積分上、下限不變的情況下，積分結果必然不變，均為導線的電位值。

1.2 Gauss積分算法研究

在空間上，電場的分布為連續函數，而在實際應用中是無法測量電場強度連續參數曲線的，因此采用數值積分的方法，將連續函數的積分進行離散化求解。具體過程是在進行輸電線電壓測量時，根據不同積分節點位置上安裝的D-dot傳感器，采集測點位置處的電場值，通過數值積分累加求和完成計算。式（3）給出了高斯型數值積分原型，對于任一連續函數f(x)，N個積分節點的Gauss積分一般形式為

式中，ω(x)為積分區間[a,b]上的權函數，在該積分區間上ω(x)≥0。積分節點xk(k=1,2,3,???,n)為區間上[a,b]的高斯積分點，Ak為對應積分系數。電場積分表達式可以進一步等效為

式中，Ex(xk)為積分點xk處的電場強度。空間中除三相導線產生的電場強度外，還存在一定的外來電場干擾。因此，待測電場Ex(x)可以用式Ex(x)=來描述，用于表示這種微小空間電場帶來的干擾，其中E′x(x)是無干擾時的電場強度，可通過仿真得到。

令Ak=為N階方程矩陣系數，代入式（4）中可得

特別地，取ω(x)= 1,x,x2,x3,… ,x2N?1，sk(k=0,1,…,2N-1)為各階方程代數求和結果，采用代數逼近的方法求解式（5），可得到方程組

1.3 給定節點的Gauss型積分算法

具有若干預定節點的Gauss型積分算法，其一般形式為

式中，為固定節點；m為其節點數量；n為待求積分節點的數量，而m+2n個待定系數αk、βk、xk的確定則要依據使積分法代數精度盡可能高的原則，即m+2n-1次代數精度[28]。

在求解輸電線路電壓的過程中，以地面為參考電位，φA-φC為三相輸電線路空間電勢，給定節點型Gauss積分算法原理如圖2所示。

圖2 給定節點型Gauss積分算法Fig.2 The Gauss integral algorithm with the fixed node

圖示電場積分公式可以等效為

式中，a=0,b=d作為Gauss積分區間的上、下限，分別代表零電勢地電平和導線高度；αk、βk為給定積分節點的Gauss型求積公式權值；分別為積分點、xk位置處的x軸方向電場強度。

積分求解的具體求解過程可表示如下：記λk、θk為中間權系數，且αk=代入式（8）得

令ω(x)= 1,x,x2,x3,… ,xm+2n?1，可得關于λk、θk、xk的m+2n階方程組為

可以看出，相比原型高斯積分算法的電壓計算過程，給定節點的高斯積分算法可將節點進一步劃分為固定節點和待求節點分別求解。通過固定節點的調整，以及含k次擾動的代數逼近，雖然增加了計算復雜度，但該方法在降低部分節點對地距離的同時，保證了電壓數值積分計算精度。

2 輸電線路仿真及積分節點選擇

2.1 輸電線路的電場仿真分析

在求解sk時需要仿真數據支撐，即采用電磁場仿真軟件得到三相無干擾時的空間電場值，通過1.3節提出的求解模型可得sk值。以通過電場積分法求取20kV、10kV、5kV電壓的問題為例，進行仿真求解分析。在仿真模型及后續實驗平臺的搭建過程中，三相輸電導線采用水平等間距分布，相間距設為0.6m，輸電導線距離地面為2m，檔距（即導線模型長度）設定為2m，本文使用的Maxwell仿真軟件搭建線路模型如圖3所示。

圖3 三相輸電線路仿真模型Fig.3 The simulation model of three-phase transmission line

施加三相交流激勵后，得到圖4所示的10kV電壓輸電線路下方電場強度的分布圖。從圖4中可以看出，靠近導線的位置電場變化迅速，遠離導線的位置電場變化緩慢。為更直觀地體現電場變化趨勢，利用軟件自帶的場計算器輸出電場分布數據，可得圖5所示的電場分布曲線，圖中橫軸為對地垂直距離，縱軸為測點位置垂直方向的電場強度大小。根據輸電線路下方電場的變化情況，將1.9～2m區域視作電場強度的突變區，0～1.9m區間視作電場強度變化平緩區。

圖4 10kV輸電線路下方電場分布Fig.4 The electric field distribution diagram under the 10kV transmission line

圖5 10kV電壓激勵下的電場強度曲線Fig.5 The electric field intensity curve under the 10kV voltage excitation

當積分節點過于靠近導線時，傳感器的電場測量誤差會有一定程度的增大。因此，積分節點的選擇并非越近越好，保持一定的對導線距離，可以減少電壓測量誤差，同時降低傳感器的安裝難度。

2.2 積分算法的節點計算及選擇

回顧多類型數值積分算法，n節點的高斯型求積公式具有2n+1次代數精度。雙節點方案雖然易于實施，但僅具有5次代數精度。三、四節點方案代數精度分別可達7次和9次，均可以滿足積分精度要求[28]。綜合考慮測量方法精度與實施難度，積分節點過多將加大測量系統負擔，因此本文采用三節點方案進行求解。

根據高斯積分原型算法，求出線路高度為2m、電壓水平為20kV、10kV、5kV的積分節點參數見表1。同理根據1.3節給出的給定節點高斯型積分算法及2.1節仿真計算結果，根據該積分算法求出線路高度為2m、電壓水平為20kV、10kV、5kV時對應的節點參數信息見表2。對比計算結果，給定節點的高斯型積分法與高斯積分法原型具有相似的節點位置分布規律。相同導線高度與電壓等級情況下，總體積分節點的坐標隨著固定節點對地距離的減小而下移，但大地作為求解域下限使得最低節點理論數值無法小于0。因此固定積分節點選取的合理性，直接影響剩余積分節點的分布情況。當給定節點坐標為0.8m時，無論積分路徑選擇在邊緣A、C相導線，還是中間B相導線，所提出的積分算法最高節點位置計算值均要比高斯原型算法最高節點位置低。

表1 高斯積分算法節點參數計算結果（線路高度為2m）Tab.1 The calculation results of the node parameters in Gauss integral algorithm

結合圖4給出的三相輸電線路空間電場分布差異、圖5的電場參數總體變化趨勢，以及表2給定積分節點的高斯型積分算法節點信息對比，可以看出，雖然邊緣A、C兩相與中心相B存在電場分布差異，但體現在積分節點信息的差別幾乎可以忽略。在此情況下，傳感器裝設在A、C相或者B相的正下方，對測量精度影響甚微。本文在2m架空高度輸電實驗平臺下，對給定節點的高斯算法進行測試，所采用的三節點方案積分坐標從高到低依次為1.830m、0.800m、0.049m。

表2 固定節點的高斯型積分算法節點參數計算結果Tab.2 The calculation results of the node parameters in Gauss integral algorithm with fixed nodes

（續）

在給定節點的選擇方面，需要綜合考慮如下因素：①給定節點位置對導線距離應滿足測量精度要求和傳感器裝設的絕緣強度要求；②根據應用場景下的電場參數分布情況，調整積分節點數量，保證各電場分布區間均有節點覆蓋的同時盡可能限制節點數量。在滿足上述選取原則的情況下，給定節點的高斯型積分法可以通過固定部分積分節點，尋求更優的節點分布方案，以此來降低系統的測量誤差，進一步提高方法整體測量效果。

3 實驗驗證

3.1 實驗平臺搭建

為驗證給定節點的高斯型積分算法在求解輸電線路電壓參數的準確性與優勢，基于仿真試驗分析結果與節點參數信息，搭建如圖6所示的三相輸電導線電壓測量實驗平臺，測量實際工況下高斯積分算法與給定節點的高斯型積分算法輸電導線電壓結果。

圖6 三相輸電導線電壓測量試驗平臺Fig.6 The 3-phase transmission line voltage measurement experimental platform

三相輸電線路電壓測量實驗平臺實測現場如圖7所示。三相調壓器與升壓變壓器產生幅值可控的三相工頻電壓，輸電導線電壓同時使用D-dot電場傳感器測量系統和衰減比為1 000∶1的泰克P6015A高壓探頭進行測量，將經過校正后的高壓探頭電壓的最大值（相電壓幅值）作為導線實際電壓Us，而由積分算法求解的結果記作U。因此，可以得到給定節點的高斯型積分法求解線路電壓的相對誤差ε，計算公式為

圖7 三相輸電線路電壓測量實驗現場Fig.7 The experimental site of 3-phase transmission line voltage measurement

輸電導線使用的是直徑1cm的實體銅棒，導線中心距地面的距離為2m，相間距0.6m，與仿真模型所采用的參數同步。采用高斯原型算法計算出來的節點坐標1.881m、1.061m、0.238m和給定節點的高斯型算法計算的積分節點坐標位置1.830m、0.800m、0.049m進行對比試驗分析。實驗過程中，示波器同時采集高壓探頭與三個節點位置處的Ddot傳感器的輸出，驗證傳感器的測量效果，并將高壓探頭的輸出作為實際的標準電壓值。圖8為20kV電壓情況下得到的測試波形。

圖8 D-dot傳感器輸出與高壓探頭的輸出波形Fig.8 The output waveforms of D-dot sensor and highvoltage probe

D-dot電場傳感器分別放置于導線正下方積分節點處，采集的電場信息由硬件電路進行處理，將其轉換為離散電場信號，并通過WiFi無線傳輸模塊發送到上位機的LabVIEW軟件中，最終經過信號處理計算后由圖9所示的前置面板顯示出來。該界面包括三積分節點電場值和由積分算法求解出的理論電壓值，并顯示出傳感器所測電場波形和計算得到的導線電壓波形。

圖9 電壓測量系統前置面板Fig.9 The UI of the voltage measuring system

3.2 實驗結果及分析

使用所搭實驗平臺分別對5kV、10kV和20kV三種電壓的輸電導線進行測試，利用D-dot傳感器測量出對應積分節點的場強Ex。采用LabVIEW軟件對積分點電場強度進行加權求和即可得到數值積分電壓U。根據式（11）可以得到實際相對誤差ε，記錄數據及求解的相對誤差見表3。

表3 三種電壓等級下高斯積分法的計算結果Tab.3 The calculation results of Gauss integration method under three levels of voltage

改變傳感器位置，將其分別放置于1.830m、0.800m、0.049m位置處，在施加相同水平電壓的情況下，測得固定節點的高斯型積分算法的積分結果見表4。

表4 三種電壓等級下固定節點的高斯型積分法的積分結果Tab.4 The calculation results of Gauss integration method with fixed nodes under three levels of voltage

對比試驗結果，可得如下結論：

（1）對比示波器采集的傳感器輸出波形可見，D-dot傳感器輸出的波形與高壓探頭輸出的波形之間相位差小于2°，并且均為標準工頻正弦波形。

（2）LabVIEW軟件運算得到的電場、電壓波形均為標準的工頻正弦波形，失真度小，在實驗環境下具有較好的電壓波形跟隨效果。

（3）相同測試電壓水平情況下，基于固定節點的高斯型積分算法計算結果的測量相對誤差低于0.5%，且均明顯小于高斯積分原型算法計算的相對誤差，證明該算法在降低積分節點位置的同時，可有效提高測量精度。

4 結論

對比目前各類型電場積分算法存在的不足，本文提出一種給定節點的Gauss型積分算法，并應用于D-dot傳感器電壓測量系統中。通過理論研究、仿真分析與試驗對比發現，所提出的輸電線路電壓測量方法可以簡化求解過程，優化傳感器節點位置，其實測電壓參數的相對誤差均小于0.5%，優于Gauss原型算法的測量效果。研究內容對輸電導線非接觸電壓測量系統的算法選取，傳感器節點位置的選取提供一種新思路，為推動電力系統非接觸電壓測量的實際應用提供了技術解決方案。