分析實驗中有效數字的運算法則

趙新穎 危 晴 曹奇光 袁 騉

(北京電子科技職業學院，北京 100176)

確定了數值的有效數字位數，并按照修約原則修約后，還要對有效數字進行運算。運算法則主要有加減法、乘除法和連續運算法則。

1 運算法則

1.1 加減法

以小數點后有效數字位數最少的數值為依據，對其他數值的有效數字進行修約后，再進行運算。如：0.0243、7.1058、70.06、164.2和1000的連續加和運算，需要以小數點后有效位數最少的164.2為依據，對其他數據進行保留1位小數的修約，再進行加和運算，結果為1241.4。也可以164.2為依據，對其他數據進行保留兩位小數的修約，加和運算后結果為1241.39；再以164.2為依據進行修約得到1241.4。二者結果完全一致。值得注意的是0.0243，如果保留1位小數修約結果為0.0，則記為0.0，說明該數值對運算誤差沒有影響(表1)。減法、加減混合運算也遵循該法則。

表1 有效數字加減法運算分析

1.2 乘除法

以所有參與運算的數值中相對誤差最大的數值為依據，確定有效數字的位數，然后對其他數值進行有效數字修約，再進行運算。如：0.0243、7.1058、70.06、164.2和1000的乘除法運算(0.0243×7.1058×70.06×1000÷164.2)。

首先，分別計算所有數值的絕對誤差和相對誤差。如：7.1058的有效數字為5位，可能產生的絕對誤差為小數點之后第四位，即±0.0001，則相對誤差為：[(±0.0001)÷7.1058×100%=(±0.001)%]。

然后，將所有數值按照相對誤差由大到小排列：0.0243、1000、164.2、70.06、7.1058。

第三，選擇相對誤差最大數值確定有效數字保留位數，并以此為依據對其他數值進行有效數字修約。如：0.0243的相對誤差為(± 0.41)，在上述5個數值中最大，以它為依據確定有效數字保留3位，其他數值修約后為1000、164、70.1、7.11；或者多保留一位有效數字，即4位有效數字，其他數值修約后為1000、164.2、70.06、7.106。

最后，進行計算。保留3位有效數字修約后運算為(0.0243×7.11×70.1×1000÷164=73.8)結果為73.8；保留4位有效數字修約后運算為(0.0243×7.106×70.06×1000÷164.2=73.68)，然后再以0.0243為依據，進行有效數字修約，結果為73.7，兩種修約方式結果相差0.1(表2)。

表2 有效數字乘除法運算誤差分析表

1.3 四則運算

在實際操作中，數據量往往很大，需要計算器(機)進行連續的“四則運算”。有效數字應該按照連續運算法則進行，即在過程中不考慮有效數字位數問題，直接將數值輸入，得到結果時再考慮有效數字問題。例如：[0.0243 × 7.1058 × 70.06 × 1000 ÷ 164.2 -(0.0243 + 70.06-7.1058)]，利用四則運算中乘除法后和加減法運算法則，分別按照習慣多保留一位有效數字修約，按照四則運算得到(73.68-62.978 = 10.702)；此時，應以加減法運算法則為準，保留小數點后兩位有效數字得到結果為10.70。如果將所有數值直接輸入計算器(機)，則得到10.69583651887942，此時有效數則的修約原則依舊要參考上述計算步驟，結果仍為10.70。兩種運算方法的結果一致。

1.4 特別提醒

在進行加減法運算時候，會出現首位數數位增加或者減少的情況，造成有效數字的位數不好判定，如(50.11 + 49.93 = 100.04)或(50.11 - 49.93 = 0.18)。此時，有效數字位數即為結算結果所示。但是，乘除法運算則不會存在上述現象，計算結果有效數字位數清晰，如(50.11×49.93 = 2.502 × 10-3)或(50.11÷49.93 = 1.004)。

2 極限數值的修約

按照進舍原則對實際值進行第1次修約，獲得報出值。和修約值相比，報出值需多保留一位有效數字。需要注意的是：第一，按照修約規則報出值和修約值為0時，均需要以<0.1表示，即二者均不能為0；第二，1000等無法記錄有效數字的數據，報出值和修約值均不變；第三，當出現當報出值最右的非零數字為5時，應在數值后面加(+)或(-)或不加符號，以分別表明實際值是否進行過進舍。如：報出值為16.5(+)，表示實際值大于16.5；報出值為16.5(-)，表示實際值小于16.5；報出值為16.5，表示實際值等于16.5。當報出值到修約值時，報出值中擬舍棄數字的最左一位數字為5且后面無數字或皆為零時，數值后面有(+)號者則進一，數值后面有(-)號者舍去(表3)。

表3 極限數值的修約(到個數位)