用向量法解立體幾何題，建系求點是關鍵

梁業興

摘 要：利用空間向量法解立體幾何題，可把抽象的空間圖形關系轉化為具體的數量運算，并有很強的規律性和可操作性，但在實際教學中發現，學生對某些幾何體存在建系求點上的困難.本文主要通過實例探討解決問題的辦法。

關鍵詞：立體幾何;向量法;建系求點

向量是近代數學中最重要和最基本的數學概念之一，是具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”的概念，是溝通代數與幾何的橋梁。將空間向量引入高中數學，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具。解題時，只需建立合適的空間直角坐標系，求出相關點的坐標，然后化為向量問題，通過進行向量運算，即可轉化為幾何問題。在這里，建系求點將是解決問題的關鍵。

一、問題的提出

學生用向量法解如下高考真題（例1）時容易求錯或無法求出點P的坐標。

例1.如圖1，在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F分別是BC，PC的中點。

（1）證明：AD⊥平面DEF;

（2）求二面角P-AD-B的余弦值。

二、問題分析

學生用向量法解立體幾何題主要的錯誤有兩個：一是建系不合理，二是求錯甚至不會求點的坐標。

主要原因有兩個方面：一方面是圖形認知障礙.平面幾何圖形反映圖形的真實情況，但在立體幾何中，由于是用斜二側畫法畫成的直觀圖，圖形往往不能反映原形的真實結構和全部特點。例如在“水平放置的平面圖形的直觀圖畫法”中，正方形、矩形在水平放置后呈平行四邊形，以及在圖中看上去明顯不垂直的兩條線段卻偏要證明他們互相垂直，明顯是銳角的實際上卻是一個鈍角等;另一方面是缺乏空間想象能力。由于空間想象能力是一個比較復雜、抽象的思維過程，想象能力從二維到三維的拓展難度較大，在實際教學中，學生往往不易建立空間概念，在腦海中難以形成較為準確、直觀的幾何模型，不能靈活運用一些重要元素之間的位置關系，沒掌握一些解題技巧（如局部圖形建立平面直角坐標系作平面化處理），造成點的坐標求錯，甚至求不出來等。

三、解決問題之建系方法研究

學生建系不合理，主要集中在x軸與y軸的建立，原因就是對圖形的認知有障礙.所以主要方法就是把圖形還原——局部平面化處理.畫出底面的平面圖，把建x，y軸的問題放在平面幾何里完成。

例2.如圖2，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60o，PA=AC=1，PB=PD=，點E在PD上，且PE=2ED。

（1）建立合適的坐標系，并寫出A、B、C、D四個點的坐標。

分析：作底面平面圖如圖3，圖4，圖5所示.由此平面圖可以比較清楚地看到以那兩條互相垂直的直線分別為x 軸、y 軸為宜，且方便寫出平面內各點的坐標。可以看到建系的方法并不唯一，要根據題意選用一個合適的坐標系。

解：以圖5為例.因為底面ABCD是菱形， ∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=1。

在△PAB中，由PA2+AB2=2=PB2知PA⊥AB。

同理， PA⊥AD，又AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD。

以A為坐標原點，AD、AP所在直線分別為y軸、z軸，過A點作垂直AD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖6所示.由題設條件，相關各點的坐標分別為。

點評：平面內常見的垂直關系有：菱形、正方形的對角線;等腰、等邊三角形的中線與底邊（三線合一）;直徑所對圓周角的兩邊;或在某個三角形中知道兩邊一角，先用余弦定理求出第三邊，再用勾股定理證明線線垂直等。

四、解決問題之求點方法研究

（一）垂線法

在空間直角坐標系中，有些點的坐標可以通過向坐標平面或坐標軸作垂線，再求出垂線段的長，從而寫出點的坐標。

例2.（2）在第（1）問建系的基礎上求出點E的坐標。

解法一：過點E作EM⊥AD于M，作EN⊥AP于N，如圖7所示.

由△DEM∽△DPA，得，所以，同理，得

所以。

點評：點E為線段PD的三等分點，個別學生可能會類比中點坐標公式，容易犯“將P、D坐標相加除以3得到E點坐標”這樣的錯誤。此題還可以用下面的向量法解決。

（二）向量法

在空間直角坐標系中，利用兩向量相等，可以求出點的坐標。

例2.（2）在第（1）問建系的基礎上求出點E的坐標;

（3）在棱PC上是否存在點F，使BF∥平面EAC，并證明你的結論。

（2）解法二：設點E的坐標為E（0，y，z），P（0，0，1），

則，，

因為，即，

解得，

即。

點評：因為底面ABCD是菱形，對角線 AC 與 BD 互相垂直，所以可以以對角線的交點O為坐標原點，OA、OB所在直線分別為 x 軸、y 軸建立空間直角坐標系，那么點P的坐標將是解決問題的關鍵.這里采用待定系數法，根據題目給出的線段的長度：，，列方程組求解即可求出P點的坐標，使得問題迎刃而解。

參考文獻：

[1]徐曉宇，屈黎明.向量法解立體幾何題的點坐標求法——2017年高考浙江卷立體幾何解答題的方法總結. 《數學教學》，2018（8）：33～36.

[2]盧學淵.向量法解立體幾何題時動點的設法.《數學學習與研究：教研版》，2012（11）：107～107.