對一道數列題漏解的多維度探究

夏麗娟 胡廣宏

摘 要：從思維方法分析運算是一種推理，是一種典型的演繹推理。因此，在運算教學時一定要講清道理，讓學生明白其中的算理。從簡單的表面分析出深刻道理，這是數學的魅力所在，也是數學教學時追求的目標。在進行數列專題教學時，完成一道數列綜合題時，多數學生求解時，出現了漏解的情況，但又找不到問題所在。下面我們來一起進行多維度探究，分析學生的解題過程中出現的問題及如何解決。

關鍵詞：數列;漏解;多維度;探究

一、原題再現：

等差數列的首項為1，公差為d，數列的前n項和為Sn.且對任意的， 6Sn=9bn-an-2恒成立，如果數列是等比數列，則d的值為????? .

二、學生的錯誤解法展示：

學生A解法：由為等差數列，首項為1，公差為d，則an=1+（n-1）d.

由6Sn=9bn-an-2.n≥2時，6Sn-1=9bn-1-an-1-2 ，兩式相減：6bn=9bn-9bn-1-d.∴3bn=9bn-1+d .

如果為等比數列 ，則 .

與對比，則

學生B解法：對任意的， 6Sn=9bn-an-2恒成立， ∴令n=1， 3b1-1-2=0得b1=1.

由

由為等比數列

整理得：，

∴d=3或-6.

檢驗：當d=3時， bn=3bn-1+1. 又 為等比數列 ∴d=3符合.當d=-6時，bn=3bn-1-2.

∴d=-6不合，舍去.

（學生在求得問題出現兩解時，經常會去思考舍解的問題，可以理解）

三、學生的思維誤區與解法完善

學生用兩種方法得出來答案一致，有問題嗎？

分析學生A的解法：主要的問題在于：如果數列為常數列時，與對比對應關系不成立。繼續分析：

解法一、數列為等比數列，設公比為q，（q≠0），由 .

，由 ，所以

當q=1時，? ，此時，數列為常數列.

為等比數列.當q≠1時，（*）式恒成立.

綜上：d=3或-6.

分析學生B解法：b1=1， bn=3bn-1-2， 的表達式確定的，我們換一個思路，求出表達式可以嗎？

解法二：

由b1-1=1-1=0，所以bn-1=0? ∴bn=1 ，為非零常數列，符合為等比數列.

從而學生解法B可以進行修正，從而得到兩解。

繼續與學生進行相關分析可以得到其它解法。

四、培養創新思維，拓展思維的深度與廣度。

解法三：得

①當 即d=-6，此時 恒等于，為常數列.

②，為等比數列.? .綜上d=3或-6.

解法四：由.是與n無關的常數.

或為常數.時， d=3符合題意.

當為常數時， .此時，? ，綜上：d=3或-6.

本道數列綜合題的研究，既解決了學生解題過程中的困惑，又培養了學生嚴謹的思維習慣。學生在解題時往往跟著感覺走，缺少對問題的認真細致的分析，從而經常出現漏解或多解的情況，教師在上課時要進行嚴謹地分析，讓學生找出問題所在，從而避免下次犯同樣的錯誤，提高學習效果，培養了學生嚴謹的思維和良好的解題習慣。