淺析利用導數證明不等式的常用方法

劉璇 許楠桸 郭歡 許璐

摘 要：不等式的證明在高考數學中既是重點又是難點，利用函數與方程的思想構造函數或者是尋找中間函數利用導數的性質和幾何意義證明不等式是常用方法之一，本文歸納總結了利用導數證明高考數學中不等式的常用方法，并結合高考數學試題加以分析說明。

關鍵詞：導數;不等式證明;構造函數

高中數學中，有均值不等式、重要不等式、絕對值不等式、柯西不等式等幾個重要的不等式，它不是孤立存在的。在函數、數列、解析幾何、向量中，幾乎所有數學都是有不等式知識的，可以說不等式貫穿了整個高中數學，即使在大學里面的微積分，不等式也是證明的利器。高考數學中，單獨考查不等式的大題不多，但是大部分題目里面都會體現，不等式在高考數學中占有十分重要的地位，而利用導數的有關性質證明不等式是最常見的方法。下面將介紹利用導數證明不等式的幾種常用方法.。

一、構造函數直接求導法：

即先把不等式的證明通過轉化與化歸的思想轉化為利用導數研究函數的單調性或者是求最值問題，從而證明不等式，這里如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是利用導數證明不等式的關鍵。如欲證不等式（或），只需證明（或）即可。則可構造函數（或），即證（或）.如果，那么即證（或）.

接下來，若能證得函數是增函數即可，這往往用導數容易解決。

評 注：這里證明分三個步驟：一是構造函數（常利用作差法）;二是對構造的函數直接求導，判斷其單調性;三是求此函數的最值，得出結論。但是，這里需要注意的是構造的函數在定義域內的導數存在且此時函數的最值也存在才行，否則不能直接利用作差法來構造函數，再利用單調性去證明。

二、分拆區間設而不求法：

有些函數它不是單調的，不能直接利用求導判斷其單調性，如證明不等式：（x>-1）。通過構造函數，顯然不能直接判斷它在定義域內的單調性，直接用函數的單調性法來證明，但可以通過分拆其函數區間，證明該函數在上分別是減函數、增函數，進而可得結論成立。

評注： 欲證函數不等式，只需證明.設，即證，也即證（若不存在，則須求函數的下確界），而這用導數往往容易解決。也就是說，當構造的函數不能直接利用單調性判定時，可以分析其區間來尋求其最值或求其函數的確界。

三、利用函數最值證明法

即欲證函數不等式是區間）恒成立，只需證明，而這用導數往往可以解決。它在證明一些復雜的數列不等式中經常用到，其證明思路是將所組不等式轉化為或恒成立的形式，進而轉化為證明。

評注：對于某些不等式要求恒成立，我們往往可以求出函數的最小值和g（x）的最大值進行比較，特別是含參數的此類題的恒成立問題。

四、構造中間函數分析法

要證明不等式（或），想辦法尋找出一個中間函數，使得（或）成立，如：（2013年高考新課標全國卷II理21（2）的等價問題）求證：.這里，我們設，我們想辦法尋找出一個中間函數，使得且兩個等號不是同時取到。當然，一般地，函數越簡潔越好。

顯然不可能是常數（因為函數的值域是R），所以我們可聯想到導數的幾何意義，嘗試能否為一次函數，所以首先應當考慮切線. 可求得函數在點處的切線是，進而可得;還可求得函數在點處的切線也是，進而可得.最后可用導數證得且兩個等號不是同時取到，所以欲證結論成立。

當然，這里也可以用前面的方法二設而不求法證明之。這也說明這些方法的等價性，只是在不同的問題中各自的側重點不同罷了。

評注：? 欲證函數不等式是區間），只需尋找一個中間函數（可以考慮曲線是函數的公切線）使得（或）成立且兩個等號不是同時取到，而這用導數往往容易解決。

綜上所述，對于一些函數不等式或數列不等式的證明，我們通常可以利用作差法構造出其函數，如果該函數的單調性和極值均存在，則直接利用求導得到單調性極值來證明;如果該函數的單調性或極值不存在，則分區間利用設而不求法來證明。另外，如果此方法都不行，則尋求中間函數（往往是一次函數）過渡來證明。還有，如果是已知不等式恒成立時，求所含參數的取值范圍時，往往可以轉化為求函數的最大值與最小值問題。

參考文獻：

[1]許楠桸，許賽飛. 例談“非等價轉化”方法解高考數學題[J]，科學大眾，2021（1）：274-280.

[2]鄧偉民，潘琴. 提高學生數學解題方法探討[J]，教育科學，2019（6）：326-327.

[3]黃如炎. 構建函數探尋不等式求證思路——以數學問題為例[J]，數學通報2019（12）.

[4]吳佐慧，爺瀚文. HPM視角下的基本不等式教學[J]，數學通報2020（6）.

[5]王新. 一類三角函數題的簡解[J]，天府數學，2021（9）：254.

*基金項目：（1）面向個性化學習的學生認知能力分析研究與實踐，湖北省教育廳資助項目（2018036）。

（2）基于中學數學教育的翻轉課堂教學研究，湖北名師工作室基礎教育研究項目（JJ16）2020.01-2021.12。

作者簡介：劉璇，女，（1996.10-），江漢大學人工智能學院數學與大數據系數學教育研究生。

通訊作者：許璐，男，（1969.02-），副教授，研究方向：數學教育與應用數學。