搭建勻速圓周運動中向心加速度教學支架的探討

趙小玲 趙強

摘 要：在勻速圓周運動向心加速度的教學中，根據學生認知困難，從構建有助于問題解決的模型的視角，探討了借助于教學輔助軟件時，針對微元法的不足，使用類比法來進行替代，并結合圓錐擺作為應用案例對模型進行驗證，從而為搭建適合于課堂教學的有效教學支架提供了可行的方案.

關鍵詞：向心加速度;學習障礙;教學支架

中圖分類號：G633.7???? 文獻標識碼：B???? 文章編號：1008-4134（2021）19-0040-02

作者簡介：趙小玲（1995-），女，重慶人，碩士研究生，研究方向：中學物理教學;

通訊作者：趙強（1972-），男，新疆奇臺人，博士，副研究員，研究方向：物理學科教學.

在勻速圓周運動教學中， 如何引導學生構建向心加速度的概念是關鍵所在， 此時， 應用合理的教學支架被普遍認為是事半功倍的解決途徑.鑒于科學模型及其構建被廣泛認為是科學的核心實踐活動和基本技能， 在教學中具有重要作用[1].同時，研究結果表明， 在教學過程中，與已有的知識之間建立關聯，并且編碼過程富有意義，將會有利于有效地激活先驗圖式和實現相關記憶的激活擴散，從而可以實現教學效果的改善[2-4].為此， 本文將基于如何構建有助于問題解決的模型及其構建的視角， 結合對微元法、r-v-a類比法和圓錐擺實驗的分析和應用，探討勻速圓周運動中向心加速度的教學支架構建.

教學中的建模過程按順序可以簡化為三個主要環節（見表1）： 錨定問題、模型構建、評價模型，三個環節可以循環進行直到得出滿意的結果.本文將沿此過程進行探討.

1 錨定問題

在學習勻速圓周運動之前，學生的認知結構中已有速度、加速度等概念處于上位結構，明白速度和加速度的矢量屬性和相互關系.在勻速圓周運動中， 由于線速度的大小不變而方向連續均勻地改變， 所以問題的核心就是確定導致物體運動線速度方向發生變化的加速度的大小和方向.

若將加速度沿線速度方向和與線速度垂直的指向圓心的方向進行分解， 那么， 因為線速度的大小不變， 可判斷出加速度在線速度方向的分量為0， 所以可以得出加速度的方向始終指向圓心， 方向也是以周期T均勻連續地變化， 且大小不變.這一推論也可以通過常見的實例（例如帶墨水的旋轉圓盤在周邊濺出的墨跡）得到證明.

因此， 問題被錨定為如何確定加速度的大小.

2 構建和評價模型

2.1 微元法

微元法是目前分析勻速圓周運動向心加速度較為普遍的方法，在此不予贅述.然而，由于在分析過程中需要進行近似處理和使用極限的概念，對于中學生來說，即使借助于輔助軟件（如Geogebra、幾何畫板 等）動態呈現過程，也會由于學生思維能力發展的局限和相關基礎方法掌握的不足，導致很難完全消除對結果的懷疑.事實上，部分大學生在系統地學習了微積分后也仍然存在類似的疑惑.因此，需要尋找其他方法來進行補充或替代.

2.2 r-v-a類比法

針對微元法在教學效果方面的局限性，接下來討論的“r-v-a類比法”是一種不錯的補充或替代方法（強調與其他類比法不同，本文將此方法稱為r-v-a類比法）.

為了輔助學生進行空間思維，我們使用Geogebra軟件構建了如圖1所示的動態分析模型.質點Q相對于點O的位移為r，并以速度v繞點O做勻速圓周運動.另外，為了分析的方便，同時將速度v和加速度a的關系在右圖中給予同步展示.

基于前面錨定問題時的分析，可知r、v、a均以相同的角速度旋轉，并且，若以Q為參考點，可以發現a與v間的關系在數學上和v與r間的關系類似.因為v描述的是位移r的瞬時變化，a描述的是速度v的瞬時變化，所以v/r=a/v，也就是

a=v2r①

對這一類比過程如果感覺跨度過大，可以使用更加淺顯的方式.如圖1的右圖所示，假設Q點位于一個以O點為圓心且半徑為r的圓盤的邊緣，同時帶動一根細線沿Q點的軌跡進行纏繞，并且該細線始終在靜止的點B所示的位置與圓盤相切，那么B點下方的細線的速度為v，Q旋轉一周纏繞的細線長度為2πr，也就是Q點經過的路程為vT，因此可以得出 v=2πr/T.同理可推導出向心加速度、線速度、周期的關系：aT=2πv.亦可得出式①.

類比過程由表2給出.可知，此類比法比微元法更直觀明確，可以取代微元法或者進行補充.

2.3 圓錐擺實驗

為了對前面推導的結果在課堂教學中進行驗證，圓錐擺是一個非常好的教學實踐案例[5，6].實驗示意圖由圖2給出，質量為m的實心鋼質小球Q通過一根彈性和質量均可忽略的長度為l 的細線懸掛在轉軸O的底端.從理論分析的角度，若角速度ω不大，可忽略空氣阻力等次要因素，使用理想物理模型來進行分析.

對小球Q進行受力分析，可知ma等于小球受細線的拉力F和小球的重力mg的合力，因此，小球Q的加速度a的方向指向圓心.并且，由小球Q做勻速圓周運動的線速度v=ωr，依據式①，可得加速度a的大小為

a=ω2r ②

由①和②式，有

ma=mgtanθ=mgrh ③

可得出

ω2=g/h ④

可知，只要驗證式④成立即可驗證式①，也就是驗證了前面對勻速圓周運動的分析推理.

在課堂教學中，我們在完成上述分析和推理之后，播放課前錄制的圓錐擺實驗視頻，對實驗現象進行展示，然后借助Tracker軟件便捷地、直觀地對視頻進行數據提取和分析，驗證了式④的正確性[6]，很好地實現了教學支架效果.

3 結束語

在勻速圓周運動向心加速度的教學中，從有助于問題解決的模型構建的角度，使用r-v-a類比法可以很好地對微元法進行替代或補充，同時采用圓錐擺作為模型的應用和評價的實踐案例，可以為課堂教學搭建很好的教學支架.

參考文獻：

[1]Christina V.Schwarz， Brian J.Reiser，Elizabeth A.Davis.Developing a Learning Progression forScientific Modeling：Making Scientific Modeling Accessible and Meaningful for Learners [J].Journal of Research in Science Teaching， 2009（46）：632-654.

[2]Kinjo， H.，Snodgrass， J.G.Does the generation effect occur for pictures [J].American Journal of Psychology，2000（113）：95-121.

[3]Radvansky，G.A.Situation models， propositions， and the fan effect [J].Psychonomic Bulletin & Review， 2005（12）：478-483.

[4]Anita Woolfolk.Educational Psychology[M].Pearson Education，2007.

[5]薛慧玲，賈昱，李志堅.兩種擺運動的視頻分析 [J].大學物理，2017，36（07）：62-64+73.

[6]趙小玲.用Tracker和Geogebra軟件探究中學物理教學中的單擺運動 [D].上海：華東師范大學， 2018.

（收稿日期：2021-06-17）