基于混合GSA-GA的起重機主梁優化設計

李 軍，周 偉，魏 睿

（1.重慶交通大學機電與車輛工程學院，重慶400074；2.軌道交通車輛系統集成與控制重慶市重點實驗室，重慶400074）

1 引言

橋式起重機主梁的金屬結構，承載和轉移起重機的負擔及其自重，是起重機整個運行機構的主要部件。它們的設計質量直接影響整個起重機的技術和經濟效益以及安全性。一般來說，起重機的箱型主梁由大量鋼板焊接而成，因此主梁的重量相當大。它的成本占總成本的三分之一以上。因此，在滿足實際設計規范的條件，改進起重機主梁結構的尺寸參數，來達到節省材料，減少重量對于節省成本具有重要意義。

目前在起重機結構的優化主要有尺寸優化、拓撲優化和形狀優化。在工程實際情況中主要采用的是對主梁的截面進行尺寸優化。文獻［1］利用免疫系統中的抗原和抗體之間的相似度和適應度來改進遺傳算法，對橋式起重機主梁進行結構優化，但是收斂速度降低，導致計算時間較長。文獻［2］在人工魚群算法的后期，將遺傳算子引入到算法中對其進行自適應和反饋改進，改善了算法的搜索精度和收斂速度。文獻［3］通過將PSO算法中的粒子更新全局和歷史最優位置的機制引入引力搜索算法中幫助粒子獲得迭代過程中的位置信息，驗證了算法的有效性。文獻［4］將引力搜索算法中的在慣性質量中加入權值來達到自適應調整，進而改變適應度值，提高了算法的效率。另外還有一些學者采用現代智能方法［5-7］對起重機進行主梁尺寸進行優化。這里采用引力搜索算法結合遺傳算法中遺傳算子等操作對解進行更新修改，然后對變量參數進行優化，最后進行有限元分析驗證其有效性。這里將采用混合GSA-GA算法對主梁的截面進行尺寸優化，以實現對雙梁橋式起重機主梁的輕量化設計。

2 主梁優化問題的數學模型

起重機的主梁通常是一個由結構鋼板制成的箱形截面，由主腹板和副腹板，頂部和底部的翼緣板組成，如圖1所示。在一般情況下，它們具有不同的厚度。由于優化任務是獲得最小的自重，即最小主梁橫截面積，同時滿足給定條件。主梁的變量參數總結，如表1所示。

表1 主梁截面中的參數向量Tab.1 Parameter Vector in The Main Beam Section

2.1 目標函數的建立

由于這里的目的是對主梁的截面尺寸優化，來達到主梁的重量最小，同時還需主梁在正常工作條件下滿足要求。而主梁的重量最直接的影響條件就是其面積，故以主梁橫截面面積為優化的目標函數，其數學表達式為：

2.2 優化參數的確定

起重機主梁優化設計的目標是在滿足整機各種約束性能的基礎上減小其自重。因此這里選取了截面中所需優化的關鍵參數向量。如圖1所示，展示了截面中6個參數向量。

圖1 主梁截面參數示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Main Beam Section Parameters

2.3 確定約束函數

為了使設計變量滿足結構強度，剛度，穩定性，制造工藝和尺寸限制，根據起重機設計規范［8］，可確定以下幾種約束條件：

（1）主梁跨中最大應力

作用力在跨中時，會在最大彎矩截面翼緣板上產生最大正應力，則在計算截面上的正應力應滿足：

式中：σ-在彎矩截面上危險點的最大應力；［σ］-主梁許用應力，單位pa。

（2）主梁跨中靜剛度約束

式中：fv和fh-主梁跨中最大的垂直和水平撓度；［fv］和［fh］-跨中垂直方向和水平方向的許用撓度。

（3）主梁動剛度約束

滿載小車在跨中時，主梁在垂直和水平方向上會對結構的振動頻率產生影響，故小車在主梁跨中的垂直和水平方向上的振動頻率應滿足：

式中：［fV］，［fH］-是垂直和水平允許的動態剛度，分別等于（2～4）Hz和（1.5～2）Hz；

（4）穩定性約束

箱梁的高寬比約束條件為：（5）邊界約束

除了上述的約束外，各設計變量應限制一定的范圍，稱為邊界約束條件。

3 優化算法及改進

3.1 遺傳算法

遺傳算法是一種全局優化概率搜索算法，它的原理是模仿生物在進化過程中，通過優勝劣汰的法則來保留最佳個體。在遺傳算法中，通過使用選擇，交叉和變異操作來更新稱為染色體的解決方案，以達到最佳解決方案。在該算法下，應用選擇操作根據適應度值找到最佳個體，然后應用交叉和變異操作來更新解。

3.2 引力搜索算法

引力搜索算法（Gravitational Search Algorithm，GSA）［9］是一個受牛頓基本物理理論啟發的啟發式算法，它指出“宇宙中每個個體之間的吸引力與其質量的乘積成正比，與距離的平方成反比”。在GSA中，各個個體被認為是通過重力彼此吸引的對象。每個個體由位置，質量，主動和被動引力質量組成。根據Rashedi［10］等人的說法。考慮一組N個個體，第i個個體的位置（i=1，2，...，N）定義為：

在第t次迭代時由第j個個體作用于第i個個體的重力定義為：

式中：Maj-與個體j相關的“主動引力質量”；Mpi-與個體i相關的“被動引力質量”；ε-非常小的常數；Rij-“兩個個體i和j之間的歐幾里德距離”。引力常數G（t）隨時間減小，控制搜索精度并由下式給出：

式中：α和G-用戶定義的“下降系數”和“初始值”，并且T是“總迭代次數”。因此，作用于第i個個體的總力由下式給出：

式中：“Kbest”-具有更好適應度的第一個K代理的集合，randj是0到1之間的隨機數。因此，根據運動定律，個體i在d維度下的時刻t的加速度由下式（10）給出：

式中：Mii（t）-慣性質量。下面給出了在第d維下t次迭代中第i個個體的速度和位置更新方程：

3.3 混合GSA-GA算法

由于GSA的優點，如魯棒性，適應性和簡單性，它被廣泛用于解決非線性約束優化問題。此外，GSA在搜索解的過程中容易陷入局部極小值且收斂速度降低，從而會降低解的質量。另一方面，在GA中，通過使用諸如選擇、交叉和變異的操作來更新解的集合以避免過早收斂。為保留兩種算法的優點，提出了一種新的混合算法GSA-GA來解決主梁截面尺寸優化問題。該算法在求解質量上增加了遺傳算法的交叉和變異算子，提高了GSA算法的性能。

在初始化階段之后，使用GSA算法的機制將每個粒子個體更新為最優解。為此，通過使用公式（7）計算每個種群的適應度“擬合”值和重力值。在更新過程中，計算時間t處所有個體的質量：

式中：best(t)和worst(t)-時間t處時目標函數的“最佳”和“最差”適應值。假設對于i=1，2，...，N時，Maj=Mpi=Mii=Mi，定義：

所有個體的速度和位置由公式（11）和（12）進行更新。因此，在迭代之后，GSA算法形成了新的種群，并應用遺傳算法通過使用選擇、交叉和遺傳等通用函數來更新選定的個體。由于GSA的種群規模巨大，應該從GSA的種群中選擇多少個體更新，為了節省時間，我們通過公式（15）選擇了受GA影響的個體數量。然后分別對每個個體應用GA算法。

式中：GSAi-當前迭代次數；

GSAimax-引力搜索算法的“最大迭代次數”；

GAnmax、GAnmin-受遺傳算法影響最大和最小的個體數量。

根據式（15）計算的數量，選擇種群個體（xk）用于遺傳算法更新位于第一個和“Jmax”之間，其中“Jmax”定義為：

其中，GSAP代表GSA的種群大小。在選擇用于更新的個體之后，通過應用遺傳算子進行組合交叉和變異，產生出新的個體。通過使用精英主義來保留最佳解決方案。

最后，根據以下等式定義，得到GA算法的種群大小和迭代次數隨著GSA迭代的變化而變化。

其中，GAminP，GAmaxP是GA中的第一個和最后一個種群大小。另一方面，GAimax和GAimin是GA的第一個和最后一個迭代次數。δ，β分別代表GA種群大小和最大迭代次數的增長率。從這些等式（17）和（18）可以清楚地看出，隨著算法的迭代，遺傳算法的種群大小和迭代次數都會增加。整個算法過程一直重復直到得到符合要求的結果為止。

4 實例分析

4.1 參數值的選擇

引力搜索算法中的參數：常數ε，G0和α分別設置為10-100，100和20，而其他變量的初始值為零。遺傳算法中的參數：交叉速率為0.9，突變率為0.01，輪盤選擇用于更新染色體。GSA-GA參數：隨機選擇的控制參數是γ=2，δ=15，β=15，GAminP=10，GAi-min=10，GAnmin=1和GAnmax=20。這里選擇主梁在跨中最危險的工況下來驗證改進前后的應力強度大小的變化，來證明所提出的算法能力。主要技術特點如下：起重量50t/10t，起重機跨度22.5m，小車質量約為13000kg，工作級別A6。

4.2 優化結果

比較和驗證所提出的混合算法的優化結果，所提出的算法在相同的例子中運行30次，并且最大演進次數設置為200代。圖2顯示了每種算法從30次試驗中隨機選擇的收斂曲線。

圖2 目標函數值迭代曲線Fig.2 Objective Function Value Iteration Curve

從表2可以看出，這里算法對主梁截面的參數變量都有不同程度的優化，從而使主梁的截面面積達到一定的優化減小，這里優化前后減少了4000mm2，截面面積優化率達到了12.35%，故而達到減少主梁重量的目的。

表2 主梁優化結果比較Tab.2 Comparison of Main Beam Optimization Results

4.3 優化后模型的力學分析

根據起重機載荷選擇在最危險的位置跨中進行分析，其計算結果如圖3、圖4所示。

圖3 優化前后的主梁應力圖Fig.3 Main Beam Stress Map Before And After Optimization

圖4 優化前后的主梁撓度圖Fig.4 Main Beam Deflection Diagram Before And After Optimization

如圖3所示，優化前跨中最大應力值為107MPa，優化后為136MPa，最大應力出現位置在主梁跨中附近，但都在許用應力值范圍之內，滿足設計要求。如圖4所示，優化前的撓度值為9.612mm，優化后的撓度值為17.920mm，雖然在優化后撓度值有所增大，但都還滿足許用撓度值要求。

5 結論

為了解決起重機主梁金屬結構在滿足結構強度和剛度的要求前提下，主梁的質量過重的問題。這里結合遺傳算法和GSA算法的特點，提出了一種稱為GSA-GA的混合算法，該算法通過添加選擇、交叉和變異等遺傳算子，提高了GSA算法尋找最優解的性能。也就是說，將遺傳算子嵌入到GSA算法中，可以提高GSA算法的探索和開發能力。通過實驗結果和測試表明，提出的算法對于找到全局最優解搜索效果好且更加可靠。最后通過對主梁進行有限元建模仿真分析，其強度和剛度都滿足要求，且主梁截面面積優化比為12.35%，可為起重機的結構設計提供參考。