基于Daubechies小波基的木材聲學振動信號分析與評價

尹玉雪,苗媛媛,萬珂,王秀雅,翟學勇,劉鎮波

(生物質材料科學與技術教育部重點實驗室(東北林業大學),哈爾濱 150040)

木材是一種環境友好型材料[1]，并且具有音色優質以及音響特性良好等特點，常被用于樂器音板的制造[2]，木質材料的聲學振動性能在很大程度上決定著樂器的聲學品質[3]。雖然我國林業資源十分豐富，樹木種類較多[4]，但可用于制造樂器音板的木材比較緊缺。一般優良的樂器音板要求具備比動彈性模量大、密度適中、傳聲速度快、聲輻射品質常數大、內摩擦能量損耗低、聲阻抗小等特性[5-6]。前人對聲學技術在木材科學領域的應用方面做出了顯著成績，但仍有一些問題需要進一步研究。樂器音板的振動性能直接決定著樂器產品的質量，如何有效地評價音板的聲學振動性能是一個重要的研究課題。目前主要采用動態彈性模量、比動態彈性模量、聲輻射品質常數、聲阻抗以及對數衰減率等參數來評價樂器音板木材的聲振動特性，很少涉及樂器木材在振動信號方面的定量研究。因此，筆者通過對樂器木材振動信號進行處理與分析，并與木材聲學參數評價指標建立聯系，為樂器木材的評價提供一個新思路。

振動信號分析是一門新興的技術科學，目前，木材振動信號的分析主要局限于快速傅里葉變換[7]，由于快速傅里葉變換是一種全局變換方法，只能選擇對整個時域或者頻域進行分析，不能顯示信號時頻局部化[8]，且不適用于突變和非平穩信號的分析；雖然短時傅里葉變換和小波變換克服了快速傅里葉變換的不足，但是短時傅里葉變換的窗口是固定的，因此無法滿足非穩態信號變化的頻率需求[9]。小波變換分析窗的面積是固定的，在高的時間分辨率處，它的頻率分辨率較差，因此對于包含許多中、高頻率的非平穩時變信號的頻率分析結果不理想，為了克服這一缺點，在小波變換的基礎上相關學者提出了小波包變換，對信號的高頻部分進行更精細的分解[10-11]，因此小波包變換具有更好的時頻分析能力。趙東等[12]應用小波包-能量法提取木材聲發射信號特征值，有效地分析了聲發射信號特征向量和木材缺陷之間的映射關系。Zhu等[13]采用小波變換和模態分析相結合的方法，通過分析小波包分解的能量譜來識別人造板缺陷的位置和程度。徐鋒等[14]將小波包分析與能量譜相結合，提出基于時頻和頻段能量占比的膠合板聲發射信號特征提取方法，以達到識別膠合板不同損傷類型的目的。董紅平等[15]依據應變能釋放產生的聲發射信號特征，提出一種基于信號瞬時頻率的聲發射辨別方法，以達到從能量的角度客觀評價木材損傷程度的目的。王鑫等[16]將小波包能量譜和結構振動測試應用于古木結構的損傷預警中，通過能量譜的變化可以定量地描述損傷的狀態。從前人的研究可以看出，小波分析和小波包分析等先進的信號處理技術在木材的聲發射信號、木質材料缺陷信號的分析中有較為深入的應用，但在樂器木材振動信號方面的應用較少開展。

木材傳聲與輻射聲能的基礎是振動，從木材或音板上采集到的振動信號含有豐富的信息，如何對其進行深入分析對木材聲學振動特性的研究具有積極的意義。本研究結合小波包分析方法，對樂器木材振動信號的時域和頻域信號進行定量研究，得出信號的能量特征規律，并與木材聲學參數指標建立聯系，以期實現對樂器木材聲學性能的客觀評價。

1 材料與方法

1.1 試驗材料

泡桐(Paulownia)木材由企業提供，樹齡在30 a左右，所選素材均為泡桐心材徑切板，表面紋理通直、無腐朽、無結疤，將素材的尺寸截取為300 mm(縱向)×30 mm(徑向)×10 mm(弦向)，共18塊；將試件放入恒溫恒濕箱的環境下(20 ℃，65%相對濕度)平衡含水率1個月后取出，使試件含水率保持在12%左右，試件的氣干密度為0.213～0.314 g/cm3。

1.2 試驗方法

1.2.1 木材聲學性質測定

木材振動性能測試：基于梁的振動理論，采用雙端自由的邊界條件，應用日本小野測器(ONO SOKKI)生產的雙通道快速傅里葉變換分析儀FFT(CF-5220Z)，在試件的基頻振動節點處(距試件端頭長度為總長度的0.224倍)，用泡沫三角架將試件水平撐起，利用刀片給試材一定的激勵，利用微音器收集其聲學信號，得到試件的時域以及頻域信息，記錄試件振動信號前5階峰值對應頻率。試驗原理示意圖如圖1所示。再根據式(1)～(5)計算出試件的動態彈性模量(E)、聲輻射品質常數(R)等反映木材聲學振動性能的參數[17]。

圖1 木材共振頻率測定試驗原理Fig. 1 Schematic diagram of the experimental principle of wood resonance frequency determination

通過彎曲共振法測得的動態彈性模量(E)計算公式為：

(1)

式中：ρ為試件密度；L為試件長度；f為試件彎曲共振頻率；m為振動階數所決定的系數；T為試件厚度。

木材長度方向的聲傳播速度(v)計算公式為：

(2)

聲輻射品質常數(R)表示木材及其制品向周圍空氣輻射聲功率的大小，可評價材料的聲輻射能力，其計算公式為：

(3)

對數衰減率(δ)表示木材因摩擦損耗所引起的能量損耗，自由振動時：

(4)

式中，A1和A2為兩個連續振動周期的振幅。

聲阻抗(ω)是表征介質性質的重要物理量，其計算公式為：

ω=ρv

(5)

1.2.2 小波包分析

小波包分析是小波分析的延伸，其基本思想是使信號的信息能量集中，為信號提供一種更加精細的分析方法[18]。小波包變換中的Daubechies系列小波是目前工程應用最廣泛的、最成熟的正交連續且緊支撐的小波函數族。Daubechies小波是由小波分析學者多貝西提出的二進小波函數，用dbN表示(N為小波的階數)。由于其尺度函數為低通函數且長度有限，因此Daubechies小波具有低通濾波器的特性，又因木材的能量主要分布在低頻段，所以在本研究中選擇Daubechies小波基符合木材振動信號的特點。基于Daubechies小波基對木材振動信號進行小波包分析，主要是利用小波包能量的分解與重構，將隱含的木材振動信號的特征分量提取出來，并將其映射到不同的頻帶上，通過對比分析不同頻帶能量分布的情況，可以體現不同木材振動信號的差異性，從而獲取不同木材振動信號的特征與其聲學性能之間的定量關系。

對信號S(t)進行小波包分解后，在第i分解層可得到2i個子頻帶，S(t)的表達式為：

(6)

式中：S(t)為總信號；fi,j(tj)是將木材振動信號小波包分解到相應節點(i,j)上的重構信號，其中，j=0,1,2,…,2i-1(i=1,2,3)。

由式(6)和巴什瓦(Parseval)定理可以得出第i層信號中的能量，其表達式為：

(7)

式中：i、j分別表示小波包分解的層數和采樣點數；Ei,j(tj)表示信號在第i層第j個節點處的小波包子頻帶能量，其中，mj,k(j=0,1,2,…,2i-1;k=1,2,…,l)表示木材振動信號分解后得到的重構信號fi, j(tj)離散點的幅值，在分解的第i層，有2i個子頻帶。

峭度因子(K)和峰值因子(C)是對振動信號進行時域處理最常用的無量綱參數指標，通過MATLAB軟件輸入相應程序可直接計算出來。峭度因子通常用于檢測振動信號中的沖擊成分，其定義為：

(8)

(9)

峰值因子可表示振動信號的峰值在波形中的極端程度，其定義為：

(10)

式中，xp為振動信號的峰值。

木材振動信號的處理：筆者選用應用較多的dbN小波函數系，它的優點是隨著N值的增加，支撐長度變長，頻率局部性變好，同時其濾波器長度增加，但隨著N值的變大，dbN小波系的計算量呈指數增加，因此，在本試驗中選用db4[19]小波對木材振動信號作3層小波包分解。在MATLAB的Wavelet Toolbox中用db4小波對木材時域振動信號進行3層小波包變換，并對變換后的信號進行重構，獲得信號在不同頻段的能量分布。測試選取的頻寬為8 kHz，信號的采樣頻率為頻寬的2.56倍，即20.48 kHz，把振動信號經過3層小波包分解，將振動信號劃分為8個等帶寬的頻段，所以式(7)中的i=3，振動信號的采樣點數j=2 048，并對第3層的系數進行重構，以重構信號小波包系數能量值作為研究對象，提取信號在不同頻段的能量特征分量，計算各子頻帶能量的占比，濾掉其他分量的干擾信號，得到信號特征與木材聲學參數之間的相關性，進而分析其與木材聲學性能之間的關系。

2 結果與分析

2.1 時域信號分析

木材以及木質復合材料都是具有彈性的固體材料，因此聲波在木材中的傳播與木材的彈性應變有關。動態彈性模量是木材以及木質復合材料的重要物理性質，與彎曲振動的共振頻率和縱波傳播速度均具有明確的函數關系，進而可以計算出表征木材振動特性的主要參數，如比動彈性模量、聲輻射品質常數以及聲阻抗等。動態彈性模量越大表示儲能模量越高，內摩擦能量損耗越小，用于聲輻射的能量越大，聲振動的轉換效率越高，所以動態彈性模量是評價材料聲學性能好壞的重要參數，通過動態彈性模量可以直觀地評價樂器音板木材的優劣。根據木材振動信號波形的特點，在時域內選擇了與泡桐木材動態彈性模量相關性較好的參數(峭度因子和峰值因子)作為特征。振動信號的時域特征參數與泡桐木材動態彈性模量之間的關系見圖2。

圖2 動態彈性模量與時域信號指標之間的關系Fig. 2 The relationship between dynamic elastic modulus and time-domain signal indicators

峭度是反映振動信號分布特性的數值統計量，可由式(8)計算得出，用來表示波形的平緩程度。正態分布的峭度值以3為界限，峭度大于3時分布曲線較“陡”，小于3時曲線較“平”。觀察圖2可知，隨著時域信號峭度因子的增加，木材動態彈性模量逐漸減小，峭度因子的增大表明振動信號中沖擊成分增多，信號波形衰減相對較快一些，振動持續時間相對較短，不利于信號能量的傳遞。當檢測木材的聲學振動性能時，不同的敲擊力度或者試驗環境，會引起信號標準差和幅值的變化，但其比值變化比標準差和幅值變化小得多，因此，峭度因子對振動信號的敏感性相對較小，可以對不同木材的振動信號進行分類。由式(10)可計算出峰值因子，峰值因子是信號峰值與有效值的比值，有效值一般可描述振動信號的變化大小，峰值則是在某個時間內振幅的最大值，因此峰值因子代表的是峰值在波形中的極端程度，可以用來檢測不同振動信號的異常。峭度因子和峰值因子均與木材動態彈性模量呈顯著的相關性，相關系數分別為0.841和0.860。進一步探究峭度因子和峰值因子之間的關系可以看出，兩者呈負相關關系，相關系數為-0.766，分別表示波形的平緩程度和峰值在波形中的極端程度。當峭度越大時，表示振動信號中的沖擊成分越多，信號波形衰減快則不利于信號能量的傳遞，因此會減少聲振動能量的轉換效率；峰值對應頻率點上的信號能量，峰值越高能量越高，則信號轉換為聲振動的能量越多。在樂器選材時，根據時域信號的特征指標，可以選擇時域振動信號峭度因子較小、峰值因子較大的木材，此時木材的動態彈性模量最大，為樂器的合理選材奠定了基礎。

2.2 基于小波包的木材振動信號特征分析

由于不同小波基分析同一個信號會產生不同的結果，因此選擇合適的小波基是進行信號處理、分析的重要環節。目前小波基的選擇是根據被檢測的信號成分與小波時域振蕩的波形相似或匹配的程度，因此振動信號的特性是小波基選取的重要參考因素。根據振動信號處理的小波基選擇經驗[20-22]，在目前比較常用的和成熟的小波基中選用對稱的雙正交小波和有一定對稱性的正交小波[23]。Daubechies小波系列(dbN)在時頻域是有限支撐的，同時具有相似對稱性和光滑性的特點，Daubechies小波具有低通濾波器的特性，比較適用于提取信號中的低頻分量，同時，木材振動信號的能量主要集中在低頻部分，在高頻部分振幅衰減較快，因此選擇Daubechies小波作為木材振動信號處理和分析的小波基符合木材振動信號的特點，并且其具有較好的緊支撐性、光滑性和近似對稱性[24]。dbN小波函數系，隨著N值的增加計算難度會大大增加，能量損失程度也有所不同，db4小波計算難度適中，并且采用db4小波進行小波包分解時原始信號能量損失相對較少，因此本研究選擇db4作為小波包基。對木材振動信號進行3層小波包分解，得到8組頻域分量，泡桐木材振動信號的每段頻率區間如圖3所示。

圖3 泡桐木材振動信號的小波包重構系數圖Fig. 3 Wavelet packet reconstruction coefficient graph of Paulownia wood vibration signal

通過圖3分析發現，木材振動信號在第1、2兩個頻段占原始信號的絕大部分能量，其中0～500 Hz頻段的低頻分量所占的能量最大，而且最能逼近原始信號。木材振動信號經過3層Daubechies小波包分解變換之后，可計算出木材振動信號不同頻帶的能量占總能量的百分比，即各層信號的能量率。觀察所有的樣品均具有相似的規律，不同木材試件振動信號的db4 3層小波包變換能量率變化趨勢如圖4所示。

圖4 泡桐木材振動信號小波包分解后各層的能量率Fig. 4 The energy rate of each layer of Paulownia wood vibration signal after wavelet packet decomposition

從圖3和圖4中可以看出，木材振動信號的不同頻段能量分布廣泛，但在0～1 000 Hz頻帶內的能量占總能量的90%以上，高頻部分的能量占比很少，說明木材振動信號主要集中在低頻范圍內，并且能量集中，此結論與小波包重構系數得出的結論一致。

2.3 木材振動信號的能量率與聲學振動參數之間的關系

時域分析能夠直觀地觀察木材振動信號的幅值大小及變化規律，但是無法確定包含振動信號頻率的關鍵信息，因此使用小波包變換將信號從時域轉換到小波域，可得到信號的能量率特征。能量是分析信號的一個重要物理量，其意義為信號傳遞能力的大小。為研究振動信號的能量率對木材主要聲學振動參數的影響，分析木材振動信號的能量率與木材聲傳播速度、動態彈性模量、聲輻射品質常數、聲阻抗以及對數衰減率之間的關系。小波包分解第1、2頻帶信號的能量率與木材聲學振動性能的關系分別如圖5和6所示，回歸方程及相關系數如表1和2所示。

表1 小波包分解第一頻帶信號能量率與木材聲學振動性能之間的回歸方程及相關系數Table 1 The regression equations and correlation coefficients between the energy rate of the first frequency band signal and the acoustic vibration performance of wood

表2 小波包分解第二頻帶信號能量率與木材聲學振動性能之間的回歸方程及相關系數Table 2 The regression equations and correlation coefficients between the energy rate of the second frequency band signal and the acoustic vibration performance of wood

由圖5和6分析可得，利用Daubechies小波基分解振動信號，把信號分解到更細的頻段，從信號在不同的頻段占整個信號的能量率去分析各頻段信號與木材聲學參數的關系，并把能量率作為描述信號的特征向量，降低了信號的維數；同時，泡桐木材的振動信號能量主要集中在低頻帶，Daubechies小波基比較適用于提取信號的低頻分量，Daubechies小波基的選取符合泡桐木材振動信號的特點。泡桐木材振動信號在0～500，>500～1 000 Hz這兩個頻帶中，信號的能量特征與聲學參數之間的變化規律相似。振動信號的能量率與聲傳播速度、動態彈性模量和聲輻射品質常數之間呈顯著正線性相關，隨著信號能量率的增加，木材聲傳播速度、動態彈性模量和聲輻射品質常數均呈現小幅度增加的趨勢；振動信號的能量率與聲阻抗和對數衰減率呈負線性相關，相關系數相對較小，隨著信號能量率的增加，聲阻抗和聲衰減系數則呈現小幅度下降的趨勢。這可能是由于木材的紋理角度、生長輪寬度、晚材率以及是否有缺陷等因素對其聲學振動性能產生一定的影響。由前人研究[25-28]可以得出，適宜的木材晚材率(15%～28%)和生長輪寬(1.0～1.5 mm)，并且晚材率變異系數、生長輪變異系數越小，木材的振動性能越好。木材動態彈性模量隨著紋理角度的增大而減小，即選擇紋理通直的木材聲能損耗較少，其聲學振動性能更佳，振動信號的能量越強。這是由于紋理通直有助于振動信號的傳遞，傳聲速度的快慢直接影響木材的聲輻射能力，大的傳播速度易使振動更快地傳遞給樂器的整個音板，從而使整個音板更容易均勻地振動起來，有利于將振動傳遞過來的能量輻射出去，而振動效率相對較高的音板，能把入射的能量大部分轉變為聲能輻射到空氣中去。進一步分析振動信號的能量率與木材密度之間的關系，發現兩者之間沒有固定的規律，相關性低，說明木材密度的大小對振動信號能量率的影響沒有明顯的規律。采用小波包分析方法，得出信號的能量主要集中在低頻部分，在振動過程中，能量逐漸減小，振幅逐漸降低。通過以上研究得出，在樂器選材時，應該選擇低頻部分能量率高的木材，當能量率特征值越高時，可以得到較高的v、E和R，較小的ω和δ，這樣的樂器木材具有相對較高的振動效率，說明在一定程度上可以通過分析木材振動信號的能量率指標來初步預測樂器的聲學品質。

圖5 小波包分解第1頻帶信號能量率與木材聲學振動性能之間的關系Fig. 5 The relationship between the energy rate of the first frequency band signal and the acoustic vibration performance of wood

圖6 小波包分解第2頻帶信號能量率與木材聲學振動性能之間的關系Fig. 6 The relationship between the energy rate of the second frequency band signal and the acoustic vibration performance of wood

3 結 論

基于MATLAB語言環境，以Daubechies小波函數作為小波基對木材振動信號進行了小波包分析；探討了木材振動信號頻帶能量分布規律以及與聲學振動參數之間的相關性，得出以下結論：

1)從木材振動信號的時域特征分析可以得出，信號的峭度因子和峰值因子與木材的動態彈性模量之間呈顯著的相關性，因此振動信號能量的多少以及衰減的快慢在一定程度上可以作為聲學性能評價的標準。

2)木材振動信號的能量主要集中在第1、2兩個頻帶，能量主要分布區域在0～1 000 Hz，高頻部分的能量衰減速度較快。

3)木材振動信號的特征能量率與木材聲學性能密切相關。聲傳播速度、動態彈性模量和聲輻射品質常數隨著信號特征能量率的增大而增大，聲阻抗和對數衰減率隨著信號特征能量率的增大而減小。通過Daubechies小波基對木材振動信號的分解與重構分析的結果表明，小波包分析對木材振動信號的分析是合理的，并且振動信號的能量指標可以初步預測木材的聲學品質。