動態規劃在水庫優化調度中的應用

公麗

摘 要 隨著科學技術的發展，用于解決水庫優化調度的數學方法越來越多，如線性規劃法、非線性規劃法、逐次逼近算法（POA）網絡分析法、動態規劃法、神經網絡模型法、大系統分解法、遺傳算法（GA）、免疫粒子群算法（PSO）等，其中應用較多的是線性規劃法和動態規劃法。動態規劃法能適應徑流、時間等因素的影響，是解決多階段決策過程的方法，概念和理論比較簡單，方法靈活，常為人們所使用。本文結合實例詳細介紹了動態規劃模型的建立，以及在水庫調度中具體的應用。該方法的應用為水庫調度提供了有力的根據，具有重要的價值意義。

關鍵詞 動態規劃 優化調度 數學模型

中圖分類號：TV697 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0745（2021）07-0060-05

1 優化的概述

在水庫調度過程中，如何能兼顧防洪、灌溉、發電等綜合效益，是當前面臨全球水資源短缺且在一定量的水資源下的重要問題[1]。為了充分發揮水利水電工程的經濟效益，需要進行水庫優化調度。

1.1 水庫優化調度的概念

水庫優化調度是一個多階段決策過程的最優化問題。水庫優化調度是運用系統分析的觀點和方法來研究水利水電工程的調度，即將一個水庫或者水庫群視為一個系統，水庫來水量作為輸入，防洪、發電等綜合效益視為輸出，庫容的大小、水位變幅、機組裝機容量等限制就是環境約束，通過建立以水庫調度效益為中心的目標函數，擬定相應的約束條件，然后用優化的方法求解目標函數和約束條件組成的系統方程組，使得目標函數取的極值，即獲得水利水電工程的最佳效益。

1.2 優化方法的概述

動態規劃是最優化技術中一種適用范圍很廣的基本數學方法，是解決多階段決策過程中最優化問題的一種數學方法[2]。應用水庫是，將徑流過程視為是確定的，把水庫蓄水量進行離散作為狀態變量，把放水量作為決策變量，把發電、防洪和灌溉綜合效益作為目標，每一時段的放水量使整個周期內的目標函數值達到最大的決策組成的策略就是最優的調度方案。

2 數學模型及動態規劃模型

數學模型是指為了某種目的，用字母、數字及其他數學符號建立起來的等式或者不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征以及內在聯系的數學結構表達式。為進行水利水電工程優化調度而建立的數學模型，通常是由最優化的目標函數和約束條件兩部分組成。

由貝爾曼提出的動態規劃方法是按時間或空間將過程分解為若干階段，是解決多階段決策過程的一種優化技術。一般將蓄水量作為狀態變量，放水量作為決策變量，用水量平衡方程作為狀態轉移方程，并按時間順序劃分為階段，根據所求目標及貝爾曼最優原理寫出遞推方程。這樣將具有最大量的變量的復雜問題分解為一系列簡單的小問題用地推方法求解。下面介紹在數學模型和動態規劃方法中的部分概念。

2.1 最優準則與目標函數

最優準則是衡量水庫運行方式是否達到最優的標準。對于單目標或以某一目標為主的水庫，最優準則較為簡單，如：（1）以發電為主的水庫，可以在滿足其他部門用水要求的前提下，電力系統的電力支出是最小、系統耗水量最小或者系統發電量最多等。（2）對于以防洪為主的水庫，可以是在滿足其他綜合利用的要求下，削減洪峰后的下泄成災流量最小或超過安全泄量的加權歷時最短的等。（3）對于多目標水庫或者復雜的水利系統，則應以綜合性指標最優為好，以國民經濟效益最大或者國民經濟費用最小等。

優化調度的目標函數的具體形式依據所擬定的最優準則而定，就拿以防洪為單一目標的水庫來說，為了避免下游地區在洪水來臨的時候造成太大的損失，一般都需要進行控制下泄流量，此時目標函數可以由三種形式：最大削峰準則、最短洪水淹沒歷時準則、最小洪災損失或最小防洪費用準則。在本次論文的應用實例中，采用了最大削峰為目標函數，在入庫洪水、區間洪水、防洪庫容、下游允許泄量和溢洪道泄洪能力等均已知的情況下，最大削峰準則就是要在蓄滿防洪庫容的條件下盡量使下泄流量均勻。數學上已經給出了結論，當使下泄流量均勻的時，即使下泄流量的平方和最小。

2.2 約束條件

水庫優化調度中的約束條件，一般包括水庫運行中的蓄水位的限制、水庫泄水能力的限制、水電站裝機容量的限制、水庫及下游防洪要求的限制和水量與電量平衡的限制以及調度時必須考慮的邊界條件等，通常以數學方程的形式表達，包括等式約束與不等式約束，組合成約束條件組。

水庫發電的約束條件一般有以下幾個方面：

1.水庫蓄水位的限制：各個時段的庫容大于相應時段允許的最小庫容和最大庫容。

2.水電站機組容量的限制：各個時段水電站的出力大于水電站的最小出力和最大出力。

3.下泄流量約束：各個時段的下泄流量大于水電站的最小和最大下泄流量。

4.水量平衡方程：在某個時間段內，入庫流量與出庫流量之差等于庫容的變化。

5.非負條件約束：qi>=0（i=1，2，3，4，.....T）。

2.3 階段變量、狀態變量及決策變量

把調解期劃分為T個時段，以i（i=1，2，3，......T）表示，其中i-1～i時段為當前面臨的時段，將年內的離散時段取為階段變量。以水庫的蓄水位為狀態變量，分別以Zi-1、Zi表示第i時段的初、末蓄水位，本階段末的水庫蓄水位即是下階段初水庫蓄水位。決策變量就是模型的目標變量，當以調解期內發電量最大為目標函數時，決策變量就是水電站發電出力，但本次論文是要求各時段的下泄流量，所以把水庫各時段的放水量作為決策變量。

2.4 動態規劃的遞推方程

用動態規劃方法解決水庫的最優調度問題時，主要是逐階段使用遞推方程擇優。遞推方程的具體形式與遞推順序和階段變量的編號有關，若逆序遞推且階段變量的序號與階段初的序號一致時，水電站水庫優化調度問題的遞推方程式為：

式中：Ni（V（i-1），qi）為面臨第i個時段在時段初狀態為V（i-1）和該時段決策變量為qi時所得的出力;f（i+1）（Vi）為余留期最優出力之和;fi（V（i-1））為從第i個時段初庫容V（i-1）出發，到第T個時段的最優出力之和。

本題就是用逆序遞推法找最優的下泄流量。

3 應用實例

題目：某水庫設有泄流底孔和河岸式溢洪道。防洪限制水位110m，設計洪水位115.9m，防洪高水位114.25m，水庫庫容曲線與泄流曲線見上表1。水庫下游標準P=1%，當起調水位為防洪限制水位，遇P=1%洪水時，求以最大削峰準則的最優防洪調度過程（見上表2）。

解：將以上洪水過程劃分為n=4個時段，將庫水位110～114.25m防洪庫容按6（m3/s）h分格。然后逐時段運用動態規劃的逆推方法求解。最大削峰流量的目標函數為下泄流量的平方和最小，可表示為：

式中：qi為第i時段的下泄流量;Qi為對應i時段的入庫流量;Vi為第i時段的水庫庫容。

約束條件：

以上式子中：Qi為第i個時段的區間來水量;qi為第i個時段的下泄流量;V防為水庫的防洪庫容;Zi為第i時段初始時刻的蓄水位，Bi為第i個時段溢洪道的寬度;q（Zi，Bi）為第i個時段的最大下泄能力;q安為下游安全泄量;q汛限為汛期限制流量;Vi為第i個時段的水庫庫容。

建立逆時序的遞推方程：

運用狀態轉移方程Vi=V（i-1）+（Qi-qi）Δt，可求得各對應時段末庫容的泄量，其中Qi為時段平均入庫流量。保留滿足諸約束條件的q值，并平方，再與余留期的最小泄量平方值相加，求得相應于某一時段初庫水位的下泄流量平方和最小值，即最優子策略。一直到n=1的第一時段，即可得最優防洪調度線。計算期末和計算期初庫容是已知的定值（見表3～表6）。

由表6可知，最小累積量平方值min∑qi^2=16610557，對應的第一階段初庫容為60500（m?/s）h，時段末庫容為71632（m?/s）h，第一階段最優泄量為1744，對應的余留時期最小泄流平方值為13569021（m?/s）h，由該值對應到第2階段可得，相應的時段末庫容為90018，第二階段最優泄量為1996，對應的余留時期最小泄量平方值為9585005，由該值對應到第三階段可得，相應的時段末庫容為103050，第三階段最優泄量為2281，對應的余留時期最小泄量的平方值為4382044，由該值對應到第四階段可得，相應的時段末庫容為109370，第四階段的最優泄量為2093，由此逆推得整個防洪優化調度過程。

故min∑qi^2=16610557（m?/s）^2，所得最優調度庫容是由防洪限制水位對應的60500（m?/s）、71632（m?/s）、90018（m?/s）、103050（m?/s）至防洪高水位對應的109370（m?/s）。

綜上，本例求得的最優調度線是由防洪限制水位110m經111.06m、112.73m、113.77m再到114.25m，各時段最優泄量分別為1744（m?/s）、1996（m?/s）、2281（m?/s）、2093（m?/s）。

4 結語

動態規劃基本原理簡單明了，容易理解，方法比較靈活，結果精度較高，被廣泛的應用于各個領域。

參考文獻：

[1] 楊峰，黃懷禮，張強.用動態規劃法對水庫進行優化調度[A].河南科學，2005，23（01）：17-19.

[2] 許新發，黃俊民.動態規劃[J].江西水利科技，1995，21 （04）：234-238.