水泵調度的多階段線性規劃優化

申 林

(江蘇省江都水利工程管理處，江蘇 揚州 225200)

1 引 言

近年來，許多研究都集中在優化水泵調度計劃上；隨著能源價格的不斷上漲，抽水的電力成本在配水系統總運行成本中占最大比例。為了最小化成本和最大限度地節省能源，水泵的調度通常是在接近實時的情況下進行的，這就需要一個計算效率高的算法，能夠快速地確定一個可行的解決方案[1-3]。

根據所考慮的變量和目標的數量，優化泵的調度問題可能變得非常復雜，尤其是對于大型網絡。在以多個水庫為特征的配水系統(WDSs)中，已經應用了更復雜的技術來生成優化的水泵調度計劃。YU等[4]提出了一種基于非線性規劃的方法，其中使用了一種廣義的、簡化梯度技術來計算減少全網絡仿真次數的最佳策略。該方法不需要任何網絡簡化，即使需要提高模擬器的效率，也可以用于近實時的應用。線性規劃(LP)已被證明適用于此應用。LP模型的優點是可以快速求解，但要求目標函數和約束都是線性的。它假定泵站和管網內的運行條件接近線性。線性模型可用于多泵站系統，但其精度和可靠性較差。PASHA等[5]提出了LP優化問題，利用能量、泵流量、用戶需求和水箱水位之間的關系將泵站關系線性化。特別是能量消耗被近似為泵站流量和初始水箱水位的線性函數；然后在單個水箱系統上對LP模型進行了測試，作者指出此方法可以很容易地擴展到更復雜的系統。GIACOMELLO等[6]提出了一種快速的混合優化方法，將LP與貪婪算法相結合作為局部搜索方法。前者求解“低復雜度”的水力模型，而后者求解“高復雜度”水力模型：貪婪算法從LP方法識別的水泵調度開始執行搜索。他們證明了組合法能夠以更高的計算效率解決實際泵的調度問題。

本文提出了一個確定水泵的最佳調度的方法。該方法應用于從基準Anytown網絡得出的案例研究。為了評估線性規劃的可靠性，將其與由混合離散動態尺寸搜索(HD-DDS)算法生成的解進行了比較。由于線性化帶來的誤差，所建立的模型不能保證水泵調度計劃是最優解，但它可以提供在實踐中可應用的高質量的解決方案。

2 研究方法及內容

如前所述，水泵調度問題可以表述為優化問題，其目標是使能耗成本最小化，同時保持物理和操作約束。優化周期被劃分為若干離散控制區間，電價結構和系統元件特性決定了離散控制區間的時長越短，分析的準確性越高。然而，決策變量和制約因素的數量隨著定義的控制區間數量的增加而顯著增加，導致對解決方案的計算和內存需求增加。為了減少變量的總數，可以為每個泵站和時間步長開發一個單獨的決策變量，該變量與在此期間運行的特定泵組相關[7]。

考慮到以上這些影響因素，本研究將目標函數定義為泵站流量Qt，而不是單泵狀態，同時考慮了網絡水力和嵌入系數ct中的電價，見式(1)。優化周期被劃分為1h的間隔。考慮了進入水箱的最高和最低水位，見式(2)；以及泵站負荷的限制，見式(3)。進一步的約束條件可確保優化期結束時的水箱水位不低于下一個周期開始時的水位，并且滿足每個控制間隔的水箱質量平衡，見式(4)和式(5)。

(1)

Smin≤St≤Smax

(2)

Qmin≤Qt≤Qmax

(3)

(4)

QtΔt+(St-St-1)A=qtΔt

(5)

式中Qt——未知泵站流量,m3/s；

ct——目標函數系數；

qt——已知需求量，m3/s；

A——水箱的表面積，m2；

St——t時刻的水箱水位,m；

St-1——t-1時刻的水箱水位,m；

Δt——優化控制間隔,通常定為1h;

Smin——水箱水位的下限,m;

Smax——水箱水位的上限,m;

Qmin、Qmax——與泵站流量有關,m3/s。

式(1)～式(5)表示一個線性模型，在本分析階段，計算了每個時間間隔的最佳泵站流量和水箱水位，但后者未被明確視為決策變量。為了提供調度計劃，將產生的泵站流量轉換為離散泵組合，以提供24h的相似流量。隨后進行了長周期模擬，以驗證所得的水泵調度計劃的可行性。

在求解線性方程組之前，考慮到水箱水位的變化對能耗的影響很小，而需求變化更為敏感，尤其是當泵站直接連接到配水管網時，假設初始水箱水位固定，目標函數系數ct為受到能源價格影響的一個系數，該斜率內插了與水泵調度流量相關的能耗。

該模型運行是通過將EPANET液壓解算器直接連接到MATLAB軟件應用程序來完成的；然后輸出的是與定義良好的邊界條件相關的水泵調度計劃。

2.1 混合離散動態維搜索算法(HD-DDS)

混合離散動態維搜索算法(HD-DDS)被用于評估LP可靠性。HD-DDS是一種啟發式的全局優化算法，與遺傳算法相比，其主要優點是其搜索能力(即找到接近全局最優解的能力)良好，同時計算效率顯著提高。

與大多數進化優化技術不同的是，HD-DDS是在單個解上運行，而不是在一組解上運行。該算法首先根據概率分布對決策變量進行置換，實現全局搜索。然后，該搜索與專門針對泵調度問題開發的局部搜索方法耦合，該方法在算法的多個點執行。局部搜索單元試圖通過改變單個泵在給定時間間隔的狀態并重新估值來改進水泵調度計劃。從線性規劃中得到的調度方案被用來代替隨機初始化，作為HD-DDS優化的初始種子解。然后將LP初始解的結果與使用不同隨機種子重復運行HD-DDS所得的結果進行比較。

2.2 測試過程

該方法被應用于從基準Anytown網絡(見圖1)衍生的案例研究中。它由19個接頭、1個水箱、37根管道和1個蓄水池組成，代表唯一的外部水源，四個不同的水泵從中并聯，向系統的其余部分供水。如圖2所示，用水需求根據峰值系數在0.4～1.2之間的需求模式而變化。白天的電費是夜間的兩倍。

圖1 測試配水系統：Anytown

圖2 用水模式

針對所分析的網絡，為了評估目標函數系數，對所有水泵組合進行了測試。在所有穩態網絡模擬中，任意設置相同的初始水箱水位(等于最高水位的50%)。這一假設是基于這樣的考慮：與需求變化相比，水箱初始水位的變化對泵站工作點的影響較小。對于兩種需求模式，評估了三種不同水箱初始水位(最大水箱水位的75%、50%和25%)的穩態模擬，得出了泵站排水量和相應的能耗，見圖3。所選初始水位(最大水位的50%)與其他水位之間的變化在泵流量方面約為±1.3%，在能耗方面為±0.5%。

圖3 兩種需求模式下泵流量與能耗的關系

圖4顯示了所有泵組合和需求模式的穩態網絡模擬中與泵站流量相關的能耗。數據用線性函數插值和直線的斜率代表能量和泵送流量之間的比例因子。由于不同需求模式之間的斜率變化不大，因此在本分析中考慮了平均值從而對目標函數系數進行了評估。為了保證計算結果的可比性，采用能量函數的截距表示與可用泵總揚程相關的勢能，來更新通過求解LP問題得到的成本。

圖4 能量與泵流量的關系

3 測試結果與分析

圖5和圖6分別給出了優化期間的泵站流量和水箱水位；給出了LP模型解和與導出的進度計劃相關的EPS結果。此外，還給出了用戶需求曲線和電價。油箱在低成本期間加注，而在更昂貴的日間電價期間，油箱幾乎可以排空，此時泵站幾乎可以滿足用戶的全部需求。與衍生計劃相關的成本約為3770元/天。

圖5 LP模型的泵站流量和模擬得出的所有優化控制間隔時間表

圖6 LP模型的水箱水位和模擬得出的進度表

與此導出計劃相關的流量必須視為小時平均值：因為可能的組合(見圖4)產生的泵流量最小值高于大多數的LP模型計算結果。選擇能夠提供更接近流量的泵組合(除了“無泵運行”組合)，并且強制工作時間少于1h，以確保每個低壓控制間隔內的質量平衡，公差合理(約10%)。相反，在整個控制周期內保持泵狀態為“開”，可能會導致水箱溢流。在這種情況下，液壓解算器(EPANET)關閉泵，可以對泵入系統的水量進行任何控制。案例研究將LP 24h解決方案轉化為間隔15min的計劃，以驗證質量平衡約束是否滿足。

為了評估線性規劃的可靠性，將其與混合離散動態維數搜索(HD-DDS)算法生成的解進行了比較。該算法以1h為間隔運行，因此，先前導出的時間表相應地進行了轉換；簡單地假設相同的泵組合工作1h；與此計劃相關的成本為4790元。從不同的隨機選擇的起始點執行了10次不同的優化運行。

表1顯示了由HD-DDS算法生成的解決方案，測試了LP導出的調度和作為初始種子解的隨機初始化。與LP計劃初始解決方案得出的結果相關的成本在3753.3元和3931元之間，平均為3846.5元。這些值低于使用隨機初始化的HD-DDS獲得的值。最佳改善出現在運行9中，LP導出的計劃初始解決方案將HD-DDS解決方案提高了11.9%。因此，值得注意的是，間隔15min的時間表的成本非常接近3770元。

表1 不同初始種子的最佳解的比較

4 結論與展望

本文采用線性規劃的方法研究了水泵調度問題。一旦確定了約束條件和目標函數系數，通過求解上述優化問題的線性方程組，可以快速得到決策變量：泵流量。然后，將LP解轉化為一個離散的時間表，能夠在24h內提供相同的速率。該步驟揭示了每個控制間隔選擇合適的水泵組合的臨界性。為了克服這個問題，計劃以15min的時間間隔來評估，而不是每小時一次；這種不同的離散化確保了質量平衡約束條件，并被證明是一個很好的解決方案。

因此，LP方法證明了可以采用這種方法快速地確定一個近似的解決方案。將每小時間隔的調度作為初始種子解應用到HD-DDS算法中時，得到的成本比隨機初始化10次不同的優化運行所得到的成本低。

為了驗證所提出的方法對實際系統應用的可靠性，還需要進一步的研究，對目標函數系數評估所必須執行的水泵組合進行更有效的選擇；測試以LP導出的計劃作為種子解，以加速其他優化算法。