可壓縮Navier-Stokes-Poisson方程的線性穩定性

范焱龍，武瑞麗

(1.四川大學數學學院， 成都610064； 2.四川大學錦城學院, 成都611731)

1 引 言

Jeans不穩定性首先由Jeans[1]于1902年提出.在經典天體物理理論[1]中,因為星際氣體十分稀薄, 氣體的Jeans不穩定性由如下 Euler-Poisson方程描述：

(1)

(2)

并考慮其對應線性算子Lλ的特征值問題， 其中λ為系統的控制參數，G(u;λ) 為關于u的高階項. 若Lλ特征值的實部全部小于0，則系統是線性穩定的；若存在實部大于0的特征值，則系統是線性不穩定的. 此即考察線性算子的特征值βi(λ) 序列(計入重數)是否滿足如下穩定性交換準則 (Principle of Exchange of Stabilities)[2-3]：

Reβj(λ)<0,?j≥m+1

(3)

對于穩態解的線性穩定性來說，研究線性算子Lλ的譜是至關重要的. 當前，對不可壓縮流體方程所對應的線性算子譜的研究已經比較完善[2-3]. 近年來，諸多學者對可壓縮流體方程對應的線性算子進行了一系列研究. 對線性算子不依賴于參數的情形， Núez[4]和Levitin[5]使用Fourier分析的方法將問題轉化成對矩陣的研究， 證明了這類可壓縮流體方程對應線性算子的譜由特征值和特征值的唯一有界聚點組成；Kagei等[6-7]研究了可壓縮Navier-Stokes方程對應線性算子的譜，并由此得出了穩態解的漸進性質；Brezina 和Kagei[8]對時間周期平行流也做了類似的研究.當線性算子依賴于參數對，Kagei和Nishida[9]研究了可壓縮Navier-Stokes方程平面Poiseuille流的線性不穩定性，得到了平面Poiseuille流穩定時Mach數和Reynolds數的關系；王軍禮、張興偉和劉健[10]在文獻[8]的基礎上研究了平面Couette-Poiseuille流的線性不穩定性，得到了平面Couette-Poiseuille流穩定時Mach數和Reynolds數的關系.

本文對模型(1)進行一些改進，首先不再假設氣體是無粘性的； 其次，鑒于星際氣體多以等離子體的形式存在，我們在原方程基礎上耦合了磁場項，以考察宇宙磁場對平凡穩態解的影響.

2 模 型

本文主要考慮如下的磁耦合可壓縮 Navier-Stokes-Poisson (NSP)方程：

其中v，H，μ0和k0分別代表速度場和磁場，真空中磁導率，磁擴散率， 壓強p(ρ) 滿足多方過程

p(ρ)=αρβ， 1≤β<2，

取無量綱參數

得到如下無量綱模型：

ρ=1,v=0,H=H0=(h1,h2,h3)T

(6)

其中(h1,h2,h3)T表示向量 (h1,h2,h3) 的轉置. 為考慮方程穩態解的穩定性，一般的做法是將方程(5)的解寫成如下形式

其中u′ 表示擾動. 將上述表達式代入方程(5)并且考慮到φ=Δ-1ρ,得到如下線性擾動方程

(7)

其中線性算子

(8)

另外，質量守恒定律要求密度要滿足方程

3 特征值

本節主要考慮 NSP 方程的特征值以及穩定性交換準則，并以此來判斷 Jeans 不穩定性何時出現. 在周期邊界條件下，考慮空間X和Y如下：

(9)

?i=1,2,3,n∈Z},

其中ei(i=1,2,3) 是xi方向的單位向量. 定義空間

(10)

其中

Lλu=βu

(11)

注意到周期邊界條件允許我們尋找有如下展開式的特征函數u

將上述表達式代入(11)式，得到

Lλu=βu?Lλ,kUk=βUk,?k∈Z3{0}

(12)

其中

(13)

分塊矩陣中的子矩陣表示如下：

其中k=(k1,k2,k3)∈Z3{0} 是波數. 直接計算可以得到矩陣Lλ,k的特征多項式D(β)

D(β)=(β+E)(β2+(E+M)β+K)

(β4+C3β3+C2β3+C1β+C0)

(14)

其中

E=4π2η|k|2,M=4π2ν|k|2,

K=4π2(4π2|k|4νη+(k·H0)2),

C0=4π2(4π2|k|2λ2-1)(4π2|k|4νη+(k·H0)2),

C1=4π2|k|2(η+ν)(4π2λ2|k|2-1)+

C2=4π2|k|2(|H0|2+4π2|k|2(ην+

解方程D(β)=0，可以得到

βk,1(λ)=-4π2η|k|2<0,

βk,2(λ)=-2π2(ν+η)|k|2+

βk,3(λ)=-2π2(ν+η)|k|2-

(15)

是Lλ,k的三個負實部的特征值，即 Reβk,j(λ)<0(j=1,2,3). 此外，特征多項式(14)的另外四個根βk,j(j=4,…,7) 是下面多項式的根

f(β)=β4+C3β3+C2β3+C1β+C0

(16)

容易得到Lλ,k有零特征值當且僅當C0=0， 即

(17)

由此可知當λ>1/(2π) 時，對任意k=(k1,k2,k3)∈Z3{0}，Lλ,k不含零特征值,為了確定在λ≥1/(2π) 時沒有實部為零的虛根出現，有如下引理.

引理3.1若λ≥λk，則Lλ,k不含任何純虛特征值.

證明 反證法. 假設當λ≥λk時，Lλ,k至少有一個純虛特征值,即方程f(β)=0 有純虛根. 易知f(β) 有純虛根當且僅當其系數滿足

(18)

首先證明特殊情況,即當λ=λk時方程不存在純虛根. 在此條件下，我們可以得到C0=0. 又因C1>0，所以Lλ,k有純虛特征值當且僅當C2C3=C1. 但是，直接計算發現C2C3-C1>0.這說明Lλ,k在此情況下沒有純虛特征值.

下面考慮λ>λk的情況. 為了簡便，使用記號G=4π2|k|2λ2-1>0. 注意到當k和 |H0| 固定時，(k·H0)2在 0 到 |H0|2|k|2之間取值. 為了方便計算，設 (k·H0)2=x|H0|2|k|2，x∈[0,1]. 若(18)式成立，則有如下關于x的二次方程 Θ(x)=0 成立:

P2x2+P1x+P0=0

(19)

其中

P0=-16π4|k|4·

P1=64π6|H0|2|k|6·

若Θ(x)<0 對任意的x∈[0,1]，G>0 和H0∈R3成立，則(18)式不可能成立，由此導出矛盾. 事實上，當 |H0|=0 時，通過計算可知P2=0，Θ(0)=P0<0，

由此可知Θ(x)<0，?x∈[0,1].

當|H0|≠0 時，同樣有P2>0，Θ(0)=P0<0及

[G2+8π2G|k|2(2π2|k|2(2ν2+(ν+η)·

為確定Θ(1)的符號，考慮方程Θ(1)=0，即

其中

注意到

當Ψ±是實數時，Ψ±的符號由 Ψ1控制，也就是說，只有當

又已知當|H0|=0 時 Θ(1)<0，這意味著任意G>0，H0∈R3,x∈[0,1] ，有 Θ(x)[0,+∞)，即(18)式不成立. 進而可知Lλ,k不含任何純虛特征值. 證畢.

引理3.2對每個k∈Z3{0}，存在一個εk>0,使得下面關于矩陣Lλ,k的特征值的的命題成立:

(i) 存在唯一的m∈{4,5,6,7} 使得對λ≥λk-εk下面的穩定性交換準則成立：

(20)

(ii) 若λ≥λk-εk，則 Reβk,j(λk)<0 對j∈{1，…,7}{m} 成立.

證明 首先證明 (i). 由(17)式和引理3.1 知Lλ,k有零特征值當且僅當λ=λk. 對于特征值βk,i(λ)(i=1,2,3)，由式(15)可知

Reβk,i(λ)<0,i=1,2,3

對λ≥λk成立,則存在m∈{4,5,6,7} 使得βk,m(λk)=0.注意到特征值βk,i(λ)(i=4,…,7) 是由(16)式給出的多項式f(β) 的四個根且m的唯一性可由λ=λk?C1>0 得到，且βk,m是方程f(β)=0 的解，所以對方程兩邊關于λ求導并令λ=λk可得

從而(20)式成立.

Reβk,l<0,?λ≥λk,

只需要證明當λ=λk且

3|H0|2

(21)

時Reβk,l<0. 注意到當λ=λk時βk,j(λk) 是下面三次方程的零點：

g(β)=β3+C3β2+C2β+C1,

其系數Ci(i=1,2,3) 都為正數，若(21) 式成立，則

g′(β)=3β2+2C3β+C2

(22)

有兩個不同的負實根. 這是因為

3|H0|2>0

和三次方程根的判別式保證了g(β)=0 的根都是實和負的.定理得證.

將臨界參數λc表示為

即臨界 Mach 數為2π. 則由引理3.2，有如下的PES 條件.

定理 3.3對于線性算子Lλ:X→Y，存在唯一的m∈{4,5,6,7} 使得對某個ε>0 和λ≥λc-ε，Lλ的特征值滿足如下 PES 條件：

Reβk,j(λ)<0，當j≠m,|k|2=1時，

Reβk,j(λ)<0，當|k|2>1時.

4 結 論