兩種標準正交化方法的比較

丁照銀

（安徽三聯學院 基礎部，安徽 合肥 230601）

1 概述

施密特方法可以輕松實現將歐式空間中的任意一組基變換成標準正交基，借助矩陣的初等變換也可以實現同樣的目的。

2 主要結論及其證明

定理1[1]對于n 維歐式空間中任意一組基ε1，ε2，···，εn，都可以找到一組標準正交基η1，η2，···ηn，使L（ε1，ε2，···εi）=L（η1，η2，···ηi），i=1，2，···，n。

證明 設ε1，ε2，···，εn是一組基，我們來逐個地求出向量η1，η2，···ηn。

定理2[3]歐式空間中的一組基是標準正交基的充分必要條件是它的度量矩陣是單位矩陣。

定理2 的證明是十分容易的。實際上，定理2 給出了一種從矩陣的角度來求標準正交基的思路。具體步驟敘述如下:（1）計算出已知歐式空間一組基ε1，ε2，···，εn的度量矩陣A，顯然度量矩陣A是正定陣。（2）模仿二次型中尋找對稱矩陣合同標準型的方法對度量陣實施初等行列變換[5]，找到非退化的矩陣C，使得C'AC=E。（3）則（η1，η2，···ηn）=（ε1，ε2，···εn）C 就是歐式空間的一組標準正交基。

應該指出，C的確定是多種多樣的，即C 是不唯一的。這樣的結果是很容易被接受的，因為歐式空間中標準正交基本來就不是唯一的。

上述過程中的矩陣C 是由基ε1，ε2，···εn到基η1，η2，···ηn的過度矩陣。再看施密特正交化的結果，由基ε1，ε2，··εn到基η1，η2，···ηn的過度矩陣是一個主對角線上元素是正值的上三角形矩陣。其實，在實行初等變換的過程中完全可以保證C的結果是一個主對角線上的元素是正值的上三角形矩陣。

易見，利用初等變換的方法來求解所得到的結果與之前利用施密特方法所得的結果是完全一致的。

引理1[5]上三角的正交矩陣必為對角矩陣，且對角線上的元素為+1 或-1。

得a2ii=1 所以aii=1 或-1。

定理3[6]設A是一個n 級實矩陣，且A 是非退化的，則必然可以找到唯一一個主對角線上元素是正值的上三角形矩陣C，使得AC是一個正交矩陣。

證明 由定理1 或結合利用初等變換方法求標準正交基過程的敘述，主對角線上元素是正值的上三角形矩陣C的存在性是顯然的。接下來就是要說明C的唯一性。

假設滿足條件的C有兩個，記為C1和C2。記A的度量矩陣為B=A/A。

3 結論

施密特正交化過程，從歐式空間已知的一組基出發來構造歐式空間的一組新的基并且這組基是標準正交基。其實，可以把標準正交化視為兩個過程，即正交化過程和標準化過程。施密特方法求標準正交基既可以交叉實現這兩個過程，也可以待正交化完成以后再實現標準化的過程。初等變換方法求標準正交基的過程，是利用歐式空間中度量矩陣的性質來實現的，而且度量矩陣的初等變換方法更能體現全局性。殊途同歸是對施密特正交化過程和度量矩陣的初等變換過程兩者之間關系最為形象和貼切的概括。