零模關(guān)于一致模的條件分配性方程

侯曉東 張繼鵬

（泰山科技學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部，山東 泰安 271000）

聚合算子廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，如：人工智能、信息融合及決策理論。條件分配性[1-8]作為兩個(gè)聚合算子之間的一個(gè)重要性質(zhì)，極具研究?jī)r(jià)值。作為信息論最優(yōu)化中比較直接的應(yīng)用，偽分析通常要求算子之間要滿足一定的條件分配性方程[9，10]。

一致模和零模作為三角模、三角余模的兩種推廣，研究領(lǐng)域如：不同類一致模的結(jié)構(gòu)、特征刻畫、有關(guān)的吸收方程以及函數(shù)方程等。文獻(xiàn)[9，10]研究了零模關(guān)于一致模的條件分配性方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F(xiàn)（x，z）），x、y、z∈[0，1]，0

關(guān)于零模F 關(guān)于一致模U的條件分配性方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F(xiàn)（x，z）），x、y、z∈[0，1]，0

文獻(xiàn)[11]已給出取小、取大一致模時(shí)的完整解。在此基礎(chǔ)上，本文討論帶有連續(xù)、阿基米德基礎(chǔ)算子的一致模類的條件分配性方程。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出文中涉及到的概念及結(jié)論。

定義1：若二元函數(shù)U:[0，1]2→[0，1]，對(duì)于任意x、y、z∈[0，1]滿足下列條件：

（1）U（x，y）=U（y，x）， （交換性）

（2）U（x，U（y，z））=U（U（x，y），z）， （結(jié)合性）

（3）U（x，y）≤U（x，z），y≤z （單調(diào)性）

（4）U（e，x）=x， （單位元e∈[0，1]）

稱U為一致模，e 為一致模U的單位元。當(dāng)e=1 時(shí)，一致U退化為三角模T；當(dāng)e=0 時(shí)，一致模U退化為三角余模S。若U為帶有單位元e∈]0，1[的一致模，根據(jù)定義可構(gòu)造二元函數(shù)TU、SU:[0，1]2→[0，1]:[12]：

分別記公式（1）中的一致模為Umin，公式（2）中的一致模為Umax。

定理3：設(shè)U是帶有單位元e∈]0，1[的一致模。TU與SU均為嚴(yán)格的，則下列之一成立：

（i）U∈Umin；（ii）U∈Umax；（iii）U是可表示一致模；

定理4：設(shè)U是帶有單位元e∈]0，1[的一致模。TU為嚴(yán)格的，SU為冪零的，則下列之一成立：

（i）U∈Umin；（ii）U∈Umax；

定理5：設(shè)U是帶有單位元e∈]0，1[的一致模。TU為冪零的，SU為嚴(yán)格的，則下列之一成立：

（i）U∈Umin；（ii）U∈Umax；

定理6：設(shè)U是帶有單位元e∈]0，1[的一致模。TU與SU均為冪零的，則下列之一成立：

（ii）U∈Umin；（ii）U∈Umax。

下面介紹零模的概念及相關(guān)結(jié)論。

定義7[13]：設(shè)二元函數(shù)F:[0，1]2→[0，1]，滿足交換性、結(jié)合性、非遞減性，并且存在吸收元k∈[0，1]，即：

F（k，x）=k，x∈[0，1]，F(xiàn)（0，x）=k，其中x≤k；F（1，x）=k，其中x≥k；

稱F 為零模。顯然，當(dāng)k=0 時(shí)，零模F 退化為三角模T；當(dāng)k=1時(shí)，零模F 退化為三角余模T。

定理2.12[13]：設(shè)F 是帶有吸收元k∈]0，1[的零模，則F 的結(jié)構(gòu)如下：

其中：T為三角模，S為三角余模。

2 主要結(jié)論

基于具有連續(xù)基礎(chǔ)算子的一致模，在給定基礎(chǔ)算子類型的條件下研究方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F(xiàn)（x，z）），x、y、z [0，1]，0

討論如下三種情況：TU和SU為冪等的或者阿基米德的；TU=min 且SU為連續(xù)的；

TU為連續(xù)的且SU=max。

定理2.1：設(shè)F 是帶有吸收元k∈]0，1[的連續(xù)零模，一致模U具有連續(xù)基礎(chǔ)三角模TU和基礎(chǔ)三角余模SU，單位元e∈]0，1[。若連續(xù)零模F 與一致模U滿足條件分配性方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F(xiàn)（x，z）），x、y、z [0，1]，0

（i）e

其中：T2*是連續(xù)三角模，T2**是嚴(yán)格三角模，S2*和S2**是連續(xù)三角余模，S*是冪零三角余模，并且冪零三角余模S*中滿足s（1）=1的加法生成子也是嚴(yán)格三角模T2**的乘法生成子。

（iii）e

因此，e 是零模F 的冪等元，從而其基礎(chǔ)三角余模SF具有序和結(jié)構(gòu)。

②區(qū)間[e，k]是一致模U的冪等元。令x∈]0，1[，y=z=e，代入（3）得

F（x，e）=F（x，U（e，e））=U（F（x，e），F(xiàn)（x，e））。

由于F 是連續(xù)的，{F（x，e）:x∈[0，1]}=[e，k]均是U的冪等元。所以，SU具有序和結(jié)構(gòu)，對(duì)任意的（x，y）∈[0，e]2]k，1]2，有U（x，y）=max（x，y）。

由于TU=min，所以對(duì)任意的（x，y）∈[0，e]2，有U（x，y）=min（x，y），SF是連續(xù)三角余模。

③接下來討論當(dāng)（x，y）∈[k，1]2時(shí)，零模F 和一致模U 的結(jié)構(gòu)。若存在a∈]k，1[是U的冪等元，則對(duì)任意的x∈]k，1[，有

F（x，a）=F（x，U（a，a））=U（F（x，a），F(xiàn)（x，a）），

由于F 是連續(xù)的，{F（x，a）:x∈[k，1]}=[k，a]都是U的冪等元。

若a=1，則x∈[k，1]是U 的冪等元：任意的（x，y）∈[e，1]2，有SU（x，y）=max（x，y）。由于任意的三角模都關(guān)于SU（x，y）=max（x，y）分配，所以TF為任意連續(xù)三角模。

若存在一致模U的最大非平凡冪等元a<1，則（ii）成立。

反之，通過計(jì)算得知：若零模F 和一致模U具有上述定理中的任何一種形式，則（3）顯然成立。同理可證其它結(jié)論成立。

3 結(jié)論

本文討論一類連續(xù)零模關(guān)于一致模的條件分配性方程，其中U為帶有連續(xù)阿基米德基礎(chǔ)算子的一致模。我們證明了基礎(chǔ)三角余模TU=min 和基礎(chǔ)三角余模SU=max時(shí)方程的非空解。在未來的工作中，我們計(jì)劃討論上述結(jié)論效用理論中的應(yīng)用[13]。