“學科育人”視角下的《函數的概念》教學設計

孫書剛

[摘 要]函數是中學數學最基本的概念之一，函數在高中數學有著極其廣泛的應用.“學科育人”視角下的《函數的概念》的教學設計，以“問題導學”新授課教學模式為基礎，踐行思維育人、史料育人、審美育人和活動育人，以問題串的形式開展教師主導下的學生自主合作探究學習.

[關鍵詞]學科育人;問題導學;函數的概念

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）29-0001-05

為了更好地落實數學學科育人目標，我們嘗試以思維育人、史料育人、審美育人和活動育人四個維度為抓手，在數學教學各個環節努力挖掘學科育人的內涵，努力使數學教學從形式到內容都有“立德樹人”目標的引領.下面以《函數的概念》這一節課為例，談談筆者的思考與實踐.

一、新課引入

“新課引入”是一節新授課的開始，它的內容與形式對調動學生學習的積極性具有很重要的作用.新課引入效果的好壞影響整節課學生的關注度和參與度.本課以數學史為切入點，融入中外數學家關于函數的經典數學故事，讓學生深入了解函數的發展史，以史料育人.

“函數”有著漫長的發展史，函數的概念是在幾代數學家不懈的研究和精益求精的追求之中逐步形成并完善的.最早提出函數（function）概念的是17世紀德國數學家萊布尼茨，最初萊布尼茨用“函數”一詞表示冪.以后，他又用函數表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標.1718年，萊布尼茨的學生約翰·貝努利（BernoulliJohann，瑞士，1667-1748） 在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義：“由某個變量及任意的一個常數結合而成的數量.”意思是凡變量x和常量構成的式子都叫作x的函數，他強調函數要用公式來表示.1755年，歐拉（L.Euler，瑞士，1707-1783） 把函數定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數.”并給出了沿用至今的函數符號.1821年，柯西（Cauchy，法國，1789-1857） 給出了類似現在中學課本的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫作函數.” 在柯西的定義中，首先出現了“自變量”一詞.1822年，傅里葉（Fourier，法國，1768-1830）發現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把人們對函數的認識又推進了一個新的層次.1837年，狄利克雷（Dirichlet，德國，1805-1859） 認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓展了函數概念，指出：“對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有唯一確定的值與之對應，那么y叫作x的函數.”狄利克雷的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受.至此，函數概念和函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義.等到康托爾（Cantor，德國，1845-1918）創立的集合論被大家接受后，用集合對應關系來定義函數概念就是現在高中教材里用的了.

中文數學書上使用的“函數”一詞是一個翻譯詞，它是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1895年）一書時，把“function”譯成“函數”的.中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，因此李善蘭給出的函數定義是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，也即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，或者說一個量中包含另一個量，“變化”之意偏重初中數學描述性定義，而“包含”則更多蘊含高中數學對應思想.

設計意圖：函數是高一學生在學完集合后的第一個也是高中數學最抽象、最重要的概念.函數在高中數學中的地位很重要，高中數學中的導數、不等式、方程、數列、取值范圍等很多模塊都可以用函數思想來解決.從函數概念的起源開始，用大量的史料引入，讓學生了解函數的發展史，使數學教學與數學學習不枯燥、不乏味，既開闊了學生的視野，又提高了學生的學習熱情，同時增強了數學課堂的文化體驗.加入史料教學可以使學生不走前人走過的彎路，可以讓學生更深刻地理解教材中的知識點以及文化內涵，了解自己解決不了的問題跟前人不解的問題的一致性，從而不懼怕數學，進而以史怡情、以史料育人.

二、概念形成

“概念形成”是一節新授課的重點，它對學生構建自身的認知結構起關鍵作用.這一環節的重要任務就是讓學生理解概念形成的合理性.本環節通過六個問題的層層推進，讓學生體會發現問題、思考問題、解決問題的過程，逐步加深學生對函數概念的理解和感悟.

學生在初三時已學過函數，從學生認知的最近發展區入手，可以讓學生自然而然地由已知得到新知，可以有效培養學生的知識遷移能力和用已知解決未知的思維習慣，這對于高中生解決傳統文化題和數學創新題很有幫助.

問題1：同學們在初中已學過函數，初中函數是怎么定義的？初中都學過哪些函數呢？

生： 在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就稱y是x的函數，其中把x稱為自變量，把y稱為因變量.

生：初中學過常值函數、一次函數、二次函數、反比例函數.

設計意圖：通過復習初中函數的定義，重溫學生對于函數的記憶，從學生認知的最近發展區入手，便于本節課基于集合與對應思想的高中函數的概念及其思想方法的學習.最近發展區有利于發展學生的思維品質，培養學生的知識遷移能力，引導學生從新的角度看問題，培養創造性思維.

問題2：初中的這四類函數的自變量和因變量的取值范圍是確定的嗎？可以用我們剛剛學過的集合來表示嗎？這些集合的公共特征是什么？它們可以是空集嗎？從集合與對應關系的角度怎么描述函數的概念呢？

生：四類函數的自變量和因變量的取值范圍都是確定的，都可以用集合來表示，而且這些集合都是實數集或者其真子集，而且都不是空集.

生：函數可以視為非空數集A到非空數集B的一種對應關系，這種對應關系需要滿足集合A中的任何一個元素在集合B中都有唯一確定的元素與之對應.

設計意圖：把初中函數的概念和四類重要函數基于集合與對應關系的視角加以二次理解，提升學生用新知深入研究和理解舊知的能力，提升學生的數學思維品質，培養學生獨立思考和批判性思維的能力.

問題3：請同學們認真閱讀教材17頁的三個實例，它們之間的共同點和不同點是什么？

師：對實例1，你能得出炮彈飛行1 s、5 s、10 s、20 s 時距地面多高嗎？其中t的變化范圍是多少？

生：能.t的范圍在0到26之間.

師：對實例2，你從圖中可以看出哪一年的臭氧空洞面積最大？其中t的取值范圍是什么？

生：由圖可以直觀看出1993年、1998年、2000年和2001年的臭氧空洞面積最大. t的取值范圍在1979到2001之間.

師：對實例3，恩格爾系數與時間的關系是否和前兩個實例中的兩變量之間的關系相似？它們的共同點是什么？如何用集合與對應關系的語言描述這一對關系？

生：三個實例十分相似，都是在一定范圍內的任意一個數值，都對應另外一個唯一確定的數值，也就是說對于數集A中的每一個元素，在數集B中都有唯一確定的元素與之對應.

師：三個實例的不同點呢？

生：實例1的對應關系是以函數解析式的形式表達的，實例2的對應關系是以圖像的形式表達的，實例3的對應關系是以表格形式表達的.

設計意圖：教材是很寶貴的學習資源，它是幾代人集體智慧的結晶，值得好好研究、利用.通過問題串的形式引導學生觀察、分析、思考、對比三個實例，落實思維育人和活動育人，提升發現問題、分析問題和解決問題的能力，培養學生數學抽象、數學直觀和數據分析核心素養.分析三個典例的不同點目的是為下一節《函數的表示》的學習埋下伏筆.

問題4：集合與對應關系視角下的初中函數與三個實例的共同點是什么呢？能否從集合與對應關系的角度給函數一個全新定義呢？

生：都有兩個非空數集，兩個非空數集之間都有一種確定的對應關系，這種對應關系都能實現把一個數集中的任意一個數變成另外一個數集中的唯一數.

師：如何從集合與對應關系的角度給函數一個全新定義呢？

生：對于任意兩個非空數集A、B，如果按照某種確定的對應關系，集合A中的任意一個元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對應，那么我們就把從集合A到集合B的這種對應關系叫作函數.

設計意圖：從全新視角，對初中函數的集合與對應關系進行全新理解.結合教材豐富的三個不同的實例，挖掘現象背后的數學本質，發現數學視角下的共同點，找到獨具魅力的特殊對應關系，也就是函數關系.通過“抽絲剝繭”般的引導，可以提升學生的數學思維品質，提高學生的數學抽象核心素養.

問題5：數學有幾種語言？數學的獨特魅力主要通過哪種語言來體現？函數一詞用英語該怎么說？

生：數學有四種語言：文字語言（也叫自然語言）、圖形語言、符號語言和肢體語言.這幾種語言可以相互轉化.符號語言是數學獨有的語言，它具備簡潔美、和諧美、對稱美等美學特征.

生：函數在英語中翻譯為function.

師：看來數學與英語不分家，在學過的知識中，還有沒有這樣的例子呢？

生：自然數在英語中翻譯成Nature，自然數集寫成N;實數在英語中翻譯為Real，實數集寫成R，這樣的例子還很多，數學與英語真的不分家呀！

設計意圖：通過提問提升學生的思維品質和學科整合能力，引導學生回憶已有知識中的跨學科知識，洞察科學文化知識是一脈相承的.在學生對若干規定的跨學科知識理解之后，豁然開朗地理解符號的本真意義，不由得感嘆自然科學發展的完美和規范.為學生理解函數相關概念的符號語言打下基礎，為跨學科融合奠定基礎.

問題6：怎么用規范的數學語言給函數一個完美定義呢？

生：對于兩個非空數集A、B，如果對于某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數[f（x）]和它對應，那么就稱[f ：A→B]為從集合A到集合B的一個函數，記作[y=f（x）]，[x∈A].

師：函數的其他相關概念呢？

生：x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域;與x的值相對應的y值叫作函數值，函數值的集合[f（x）x∈A]叫作函數的值域.

設計意圖：培根說過 “數學使人周密”，指的是數學可以用規范的符號語言和文字語言來準確描繪抽象化的科學世界，引導學生充分體驗數學獨有的美學價值和獨特魅力，培養學生用數學語言規范表達的習慣和能力，為數學學習的良性循環發展奠基.同時，充分照顧學生認知需要螺旋上升的特征，逐步補充完善內容，在一步一步地引導中讓學生自然而然地總結出函數的概念以及相關知識，引導學生體會數學的嚴謹性.

三、概念深化

“概念深化”是一節新授課的靈魂，它直接影響學生思維品質的培養，直接影響學生對數學核心概念理解的高度、深度和靈活度，直接決定學生從數學本質上理解核心概念的程度.這個環節要善于挖掘概念的內涵和外延，要加強對學生數學核心素養的培養.

問題1：函數概念中的關鍵詞可以用哪幾個字進行高度概括？函數關系[f ： A→B]可以實現集合A中的一個數對應集合B中的多個數嗎？

生：濃縮成“非空數集，任意唯一”這八個字.也就是說函數必須是非空數集之間的一種對應關系，它只能把一個集合中的每一個實數變成另一個集合中的唯一一個實數.

師：函數可以把一個實數變成多個實數嗎？

生：根據函數的定義，函數可以把一個實數變成一個實數，也可以把多個實數變成一個實數，但不可以把一個實數變成多個實數.

設計意圖：通過提煉函數概念中的核心關鍵詞，讓學生學會提煉和概括主旨和要義，便于學生迅速抓住知識的核心和要點，便于學生精準記憶.通過“函數可以把一個實數變成多個實數嗎？”引發學生思考可能出現的幾種可能性，從而培養學生的發散性思維能力和批判性思維能力，提升學生的思維品質.

問題2：函數[f ： A→B]的定義域是非空數集A嗎？函數的值域是非空數集B嗎？

生：根據函數概念中的這段描述，我們知道自變量x的取值范圍A叫作函數的定義域，函數值的集合[ f（x）x∈A]叫作函數的值域，因此函數的值域[ f（x）x∈A?B]，也就是說值域是集合B的子集，但是定義域就是集合A.

生：不是.因為由題意x的取值范圍為空集，而函數必須建立在非空數集上.

設計意圖：通過函數概念的關鍵詞語的解讀，引導學生學會多角度地思考和理解概念的本質特征，引導學生找出微小的不同點加以分析，這對培養學生思維的深刻性有著很高的訓練價值.通過讓學生獨立思考函數的值域是否為非空數集B，培養學生的邏輯推理和數學抽象學科核心素養，避免學生出現想當然地認為“值域就是集合B”的先入為主的錯誤，從而培養學生思維的深刻性.通過比較、分析、概括，學生對函數概念的關鍵屬性理解得更加深刻.

生：兩函數對應法則分別為f和g，因此它們是兩個完全不同的函數.

設計意圖：符號語言是數學的獨特語言，是數學學科區別于其他學科的獨具魅力的核心特征，只有深入理解數學符號語言的意義才能規范準確表達.問題3的設計目的是夯實數學架構的根基，培養學生數學抽象核心素養，并通過規范的符號語言鍛煉理性思維能力，同時通過研究[f（a）]的意義，引導學生加強對含參數問題的研究，強化分類與整合思想.

問題4：[y=f（x）]與[u=f（v）]是同一個函數還是兩個函數呢？

師：這兩個函數的三要素均相同，所以它們是同一函數，盡管自變量和因變量分別用不同的英文字母表示，但是它們的定義域、對應法則和值域都相同，因此研究函數就要研究函數的本質.

設計意圖：此問題突出培養數學抽象核心素養，引導學生通過觀察分析表面現象研究表象背后的本質問題.

問題5：類比數軸的三要素，函數有幾個要素呢？函數的要素之間有沒有必然的某種關系？怎么判斷兩個函數是同一個函數？

師：數軸有三要素：原點、正方向和單位長度，那么函數有幾個要素呢？

生：函數有定義域、對應法則、值域三個要素，三者缺一不可.

師：如果兩個函數的定義域和對應法則相同，那么它們的值域相同嗎？

生：值域一定相同.

師：如何判斷兩個函數是否為同一函數？

生：只需看它們的三要素是否相同即可.

設計意圖：運用類比的方法研究函數的三要素，可以有效提升學生的知識遷移能力.從學生的最近發展區著手進行數學問題的設計，有利于發展學生的思維品質，培養學生的知識遷移能力，培養學生的創造性思維和創新能力.

設計意圖：突出函數、方程、不等式三位一體思想，培養一切盡在函數的圖像中的解題意識，讓學生在研究方程的解的問題、不等式的解集的問題時學會用函數的圖像來解決.強化數形結合和轉化化歸思想，落實邏輯推理和直觀想象核心素養培養.

四、應用探索

“應用探索”是一節新授課的關鍵.該環節的根本目的是培養學生的學以致用能力，通過對典型題目的典型分析、思考、解析、反思，促使學生學會靈活運用所學知識解決數學問題和實際問題.這一環節要教會學生從正確的解題思路中總結數學思想和數學方法，從而提高學生對數學思想和方法的理解和運用能力.

設計意圖：通過例1和練習1的訓練，可以強化學生對函數概念的理解和運用，特別是加深對函數概念的核心關鍵詞“非空數集、任意唯一”的理解，為以后函數更深入的學習奠定良好的基礎.

設計意圖：通過判斷，理解“關鍵詞”“函數構成要素”“值域是集合B的子集”等難點知識.函數概念屬于概念性知識，進一步引導學生通過把握概念的關鍵詞及概念內涵，加強理解.

設計意圖：目的是加強對定義域、函數值等的理解和運用，重點強化定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，比如分母不為零、偶次方數非負等.練習3是一道經典易錯題，學生很容易先化簡再求定義域，而恰恰是化簡改變了函數的定義域.只有學生經歷了解題的完整過程，特別是給足學生犯錯的機會，才能提高解題能力，實現數學教學的知行合一，達到數學課堂的實踐育人.

設計意圖：讓學生理解函數概念的本質，強化關鍵詞集合A中的任意一個元素中的“任意”的理解，強化在集合B中都有唯一確定的元素與之對應的理解.本練習突出分類思想，只要做到統一標準、不重不漏，就可以完美解決問題，從而落實數學運算、數據分析學科核心素養培養，培養學生思維的嚴謹性.

五、總結歸納

“總結歸納”是一節新授課的升華，它對學生能否深入理解新知識的重點和關鍵，能否構建起知識網絡，起著十分重要的作用.教師要精心設計課堂總結，讓學生真正得到提高和升華，在課堂教學中產生充實和愉悅的感受.

師：同學們，今天我們站在數學先賢的肩膀上，在回顧初中函數的基礎上，從集合和對應關系的角度學習了函數的概念.我們了解了函數近三百年的發展史，了解到函數的概念是在萊布尼茨等幾代數學家的不懈研究和精益求精的追求之中逐步形成并完善的.我們還知道了清代數學家李善蘭對于函數的翻譯做出的巨大貢獻;我們還合作探究概括出了集合與對應角度上的函數的概念，深入挖掘了“非空數集、任意唯一”的意義，深刻理解了函數概念的內涵和外延，對函數的概念有了一個比較全面的理解和掌握.

設計意圖：通過回顧函數近三百年的發展史，復習初中函數知識，引入集合與對應視角下的函數的概念，深入剖析函數概念的要義，讓學生感受到科學知識來之不易，感受到數學家追求真理、獻身科學的鍥而不舍的精神，感受到數學四種語言特別是符號語言的獨特魅力，讓學生在回味無窮中結束這節課的學習，在迫不及待中迎接下一節課的學習，從而踐行四維育人，落實學科核心素養的培養目標.

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[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2020.

[3]? 黃河清.高中數學“問題導學”教學策略[M].南寧：廣西教育出版社，2019.

[4]? 何志奇.高中數學新課標案例解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2020.

（責任編輯 黃桂堅）