2021年美國物理奧賽電磁學試題分析與求解①

朱瑞林

(南京師范大學物理科學與技術(shù)學院，江蘇 南京 210023)

1 引言

物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)及其相互作用一直是物理研究與教學的核心問題，近年來在全國中學生物理競賽(CPhO)、美國物理奧賽(USAPhO)和國際物理奧賽(IPhO)的試題中考查了粒子、磁單極和物質(zhì)結(jié)構(gòu)的簡化模型等，這類問題涉及到的物理概念極具前沿性，求解的關(guān)鍵在于弄清題意、準確建模。對物理競賽試題進行深入分析，有利于對問題舉一反三，促進對物理概念的理解。本文以2021年美國物理奧賽的一道電磁學試題為例，結(jié)合命題組提供的參考答案，運用圖像法和量綱分析法求解。希望可以加深學生對角動量、磁矩、電磁場能量和粒子簡化模型的理解，并能熟練運用圖像法和量綱分析法解決問題。

2 試題呈現(xiàn)

設電子的電荷量為-e、質(zhì)量為m、磁矩為μ，本題將探討能否用一個經(jīng)典的模型解釋電子的靜止能量E0=mc2。假設電子是一個電荷均勻分布的半徑為R的薄球面，而一個平面電流閉合回路的磁矩總是等于電流與回路面積的乘積。對于電子，其磁矩可以認為是由帶電球面圍繞穿過球心的固定軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生。

(4) 根據(jù)靜止能量E0和精細結(jié)構(gòu)常數(shù)，粗略估計電子儲存的磁場能。提示：假設球體內(nèi)部具有大致恒定的磁場大小，球體外部的磁場忽略不計。

(5) 分析電子的電場和磁場貢獻的總能量，與靜止能量E0進行對比。

3 解析

該題涉及幾個物理學中重要的物理量，如角動量、磁矩、電場能和磁場能等，需要學生深刻理解物理概念和各物理量之間的聯(lián)系，這個題目也要求學生能準確建模、掌握物理圖像、熟悉微分和量綱分析法。

第(1)小問的常規(guī)求解方法是根據(jù)磁矩的定義進行計算。為了便于讀者理解常規(guī)求解方法以及后面的角動量與磁矩的關(guān)系，筆者在圖1中描繪了電子的均勻帶電旋轉(zhuǎn)薄球面模型圖像。

圖1

對于第(5)小問，當精細結(jié)構(gòu)常數(shù)α遠小于1時，第(3)小問中計算的電場總能量和第(4)小問計算的磁場總能量遠小于電子靜止能量E0，因此電子的經(jīng)典均勻帶電旋轉(zhuǎn)薄球面模型無法解釋電子的靜止能量。

4 關(guān)于電子自旋的一個小故事

這道題給出了電子的一個經(jīng)典的均勻帶電球體模型的解釋，顯然不符合物理事實。但這個模型在歷史上實實在在出現(xiàn)過，1922年德國物理學家施特恩和格拉赫進行了一項實驗，將高溫爐中的銀原子從一個狹縫中導出，通過一個不均勻的磁場，最后在屏上形成了幾條清晰的黑斑，僅從銀原子的軌道角動量出發(fā)，無法解釋實驗結(jié)果。1925年德國年輕物理學家克勒尼希提出：電子類似于一個帶電球體，存在自轉(zhuǎn)，以此來解釋實驗結(jié)果。之后與物理學家泡利交流后，受到泡利的嚴厲批評，泡利指出：為了產(chǎn)生足夠的角動量，電子在球體表面必須超光速運動，因而違反了愛因斯坦狹義相對論，克勒尼希因而沒有發(fā)表他的結(jié)果。同時期荷蘭物理學家烏倫貝克和古德斯米特也提出相同的想法，并指出電子有新的角動量量子數(shù)，即自旋，自旋量子數(shù)為為電子的內(nèi)稟性質(zhì)。通過自旋量子數(shù)的引入，成功地解釋了施特恩-格拉赫實驗數(shù)據(jù)，最終烏倫貝克和古德斯米特獲得了電子自旋的發(fā)現(xiàn)權(quán)。

5 反思與小結(jié)

在尋找物理量之間的聯(lián)系時，創(chuàng)建物理圖像有時候能起到事半功倍的作用，能深化學生對物理概念的理解。比如在第(1)小問求解磁矩時，利用圖1能使學生意識到磁矩、角動量都是矢量，這兩個矢量都沿著轉(zhuǎn)軸Z方向，兩者一定成比例關(guān)系，經(jīng)過簡單的推導發(fā)現(xiàn)，比例系數(shù)恒定。此外通過圖像法，能夠把宏觀量進行微分處理，先分解成無窮小量，再對無窮小量求和，既方便學生進行微分、積分計算，也便于對物理概念的理解。在第(2)小問中引入了普朗克常數(shù)，會發(fā)現(xiàn)磁矩是量子化的，磁矩有一個最小的單元。此試題也體現(xiàn)了量綱分析的重要性，比如第(2)小問可以通過海森堡的不確定性原理來估算電子的半徑。試題的第(4)小問提示球體內(nèi)部具有大致恒定的磁場大小，如果考慮到無窮小環(huán)帶上電荷做圓周運動需要向心力的話，當建立等式后(同時考慮線速度和角速度的關(guān)系)，可以證明薄球面內(nèi)各點的磁感應強度正比于角速度和總質(zhì)量、反比于總電荷量，因而與圓電流得到的磁感應強度結(jié)論相矛盾，這也反映出該試題在編制中存在欠妥之處。

本題采用了經(jīng)典的帶電球面模型，事實上精密的粒子物理實驗指出電子是一個類點粒子，其半徑小于10—18m，電子的結(jié)構(gòu)仍然是物理學研究的前沿問題。