設而不求巧解題,培養學生創造力

羅紅麗

◆摘? 要：數理化解題猶如作戰，審題則似偵查敵情。作戰中若部隊前行遇到江河障礙，則“開路先鋒”舟橋部隊就會“遇水架橋”，保障部隊快速通過。而在解題中若條件和結論關系隱蔽，除了加強審題，通過假設未知量構建它們之間的橋梁亦是解題的重要技巧之一。在數理化解題中，往往各種學科思想、解題方法綜合運用、靈活搭配。而其中通過設輔助未知數“設而不求，鋪路搭橋”并輔之以其它思想來求解問題就一種巧妙的解題方法。本文以該方法求解幾道小學數學題，以期與大家一窺該方法的巧妙之處，體會數學思維培養的重要性，以期起到拋磚引玉的作用。

◆關鍵詞：數理化;解題;作戰;設而不求

例1

六年級（9）班的所有同學都分別參加了英語競賽和數學競賽，有的同學還同時參加了這兩個競賽。如果同時參加兩個競賽的人數是參加英語競賽人數的20%，是參加數學競賽人數的2/9，那么這個班只參加英語競賽和只參加數學競賽的人數之比是多少？

解析：本題考查容斥原理。設該班有x人同時參加兩個競賽。

則據題意只參加英語競賽和只參加數學競賽的人數依次為4x，3.5x。因此這個班只參加英語競賽和只參加數學競賽的人數之比為8：7。

簡析：容斥原理是小學階段求兩量疊加問題（如陰影部分面積問題）的經典方法。同時也是初高中數學（及幾何）的重要解題方法。如2020山東德州中考試卷第10題、2019全國卷3文科數學第4題都是對容斥原理的考查。

例2

在一次飛行演習任務中，由于機械故障，油箱開始持續勻速漏油。經測算，若保持400千米/時的速度飛行8小時，油箱中的油恰好耗盡;若保持600千米/時的速度飛行6小時，油箱中的油也恰好耗盡（飛機飛行每千米消耗的油量相同）。若飛機需要在油箱里的油耗盡前飛到距離為4000千米處的機場進行維修，則至少需要保持平均? ? 千米/時的速度飛行。

解析：設飛機每小時漏剩余油的1/x，飛行每千米消耗剩余油的1/y，則據題意有8/x+3200/y=6/x+3600/y，解得1/x=200/y（即1小時漏掉的油可供飛機飛行200千米），飛機剩余油量為24/x（或4800/y）。由飛機必須飛行4000千米得飛行時間t=4小時（4800/y-4000/y=800/y=4/x），則飛機至少需要保持的平均速度為1000千米/時。

簡析：本題屬行程問題。該解法的巧妙之處在于假設了飛機每小時的漏油量和飛行每千米的耗量占剩余油（量）的比例。卻未考慮最初飛機剩余多少油（只是用含參數的式子表達），根據“剩余油一定情況下，飛行距離決定飛行時間（和飛行速度）”進行代換即求解問題。本解法較用特殊值法設飛機飛行單位行程的耗油量進行求解更直接、更易理解。

針對性練習：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，排隊的人數按一定的速度增加如果開放一個檢票口，則要20分鐘檢票口前的隊伍才消失;如果同時開放兩個檢票口，則8分鐘隊伍就消失.設檢票的速度是一定的，問同時開放三個檢票口，隊伍要幾分鐘就消失？

提示：設檢票開始時有a人等候檢票，每個檢票口每分鐘檢票x人，隊伍每分鐘增加y人[1]。求解過程利用a與x、y及x、y之間的關系解題，而不直接求解a、x、y。

例3

有甲、乙、丙三種商品，買甲3件乙7件丙1件，共需32元;買甲4件乙10件丙1件，共需43元，則甲、乙、丙各買1件需? ? ?元。

簡析：本題屬于經濟問題。求解設了甲、乙、丙的單價，但未直接求解，而是通過解不定方程直接求甲、乙、丙的單價之和。

例4

甲、乙、丙三人合修一堵墻，甲、乙合修6天完成1/3，乙、丙合修2天完成余下工程的1/4，剩下的工程由甲、乙、丙三人合修5天完成后領工資共計3600元。按工作量分配甲應得多少元？

簡析：本題求解設了乙、丙單獨修完這堵墻所需要天數，但未進行求解，卻使問題明朗化。最終通過解不定方程解決問題。“設而不求”思想是解方程的“利劍”，學生尤其要掌握不定方程問題的常用求解方法，為該技巧的熟練使用夯實基礎。

例5

如圖1由三角形ADG和三角形BCF拼成，線段AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65。已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，那么三角形ADG的面積是多少？

針對性練習1：如圖2，在一個梯形內有兩個三角形的面積分別為10 平方厘米和12平方厘米，已知梯形上下底的比是2：3，那么陰影部分的面積是? 23? 平方厘米。

提示：先設梯形的上下底和△AOD及△COB的高，再設而不求通過數量代換求解問題。

例6

有甲、乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重120克，乙杯鹽水重80克。現在從兩杯中倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中。這時兩杯新鹽水的含鹽率相同。從每杯中倒出的鹽水是多少克？

簡析：該解法是利用方程的思想，求解過程假設了甲、乙兩杯鹽水的含鹽率，但未求解。而是通過方程反映出題目的核心關系。因此有時在準確理解問題的基礎上我們要合理地、大膽地進行假設未知量。從本題求解可看出題述背景下倒出交換的溶液的質量與兩原溶液濃度無關。其數值為：兩原溶液質量之積除以兩原溶液質量之和。

變式題：有一塊銅重400克，有一塊鐵重600克，現從銅和鐵上各挖一塊質量相同的金屬互換，形成兩塊合金，結果這兩塊合金的銅鐵質量比相同，那么挖下的那塊金屬的質是? 240? 克。

提示：本題的常規解法是利用整體思想，從新形成的兩塊合金的銅鐵質量比相同，也等于原兩塊銅鐵（總體）的質量比角度入手進行求解。從題型角度對本題也可把鐵和銅分別看作溶質和溶劑（相互對應）進行求解。由例題6求解得出的結論“倒出交換的溶液的質量與兩原溶液度無關”，近而易求出挖下的那塊金屬的質量是240克[240=（600x400）/（600+400）]。從例題6到本題的求解可看出只有對相關題型、知識模塊深刻理解才能作到以不變應萬變，并優選解題方法。

設而不求法的解題范圍廣泛，是求解行程問題、工程問題、濃度問題、小學（初、高中）幾何問題等的常用重要解題技巧。尤其是在題述條件較少（常需設相關系數，化隱為顯使問題明朗化）或題述條件間邏輯關系較多（常需設多個未知數，列多個方程，再求解不定方程）的情況下要依據題述問題情景合理地、大膽地"設而不求"，進行推導（演算）或求解方程，近而解決問題。有時解題“不厭其（設未知數）繁”恰是問題求解的可行思路。設而不求解題技巧常配合（或需輔之以）整體思想、代換思想、消除法等技巧一起使用而發揮其獨到作用。

參考文獻

[1]黃東坡.《數學探究應用新思維·七年級》[M].武漢：湖北人民出版社，2016年：6.

[2]劉嘉.小學數學競賽年鑒.MO2019[M].武漢：湖北科學技術出版社，2020.264.