靜磁場下熱電磁效應的數值模擬研究

盧振遠

(西安航空學院 材料工程學院，西安710077)

0 引言

傳統觀點認為，液態金屬凝固過程施加磁場有助于抑制金屬熔體的流動，減輕偏析，改善凝固組織，從而改善金屬材料的性能[1]。不過，最新研究發現，金屬材料定向凝固過程中，由于熱電效應的存在，凝固界面附近會產生熱電流，熱電流和磁場相互作用會在液相中產生熱電磁流動，同時在固相上產生熱電磁力，這一現象被稱為熱電磁效應[2-4]。熱電磁效應與特征尺度有關，不同尺度(試樣尺度和枝晶尺度)上的競爭導致了靜磁場下金屬材料凝固組織的演化與常規凝固過程的不同。

為了分析磁場對凝固過程的影響，研究人員采用實驗和數值模擬等不同方法進行了大量研究。實驗研究結果表明，施加磁場可導致凝固組織發生明顯的改變。例如，實驗研究發現隨著磁場強度的增加可使凝固組織的晶粒細化，誘導柱狀晶向等軸晶轉變等。此外，施加磁場對金屬材料的凝固組織也有一些負面影響，如雀斑的形成、凝固組織的傾斜、不規則的固液界面形狀和宏觀偏析等[5]。由于絕大多數實驗研究都依賴于凝固事后的微觀組織觀察，無法確定凝固過程中的溶質傳輸，熱流運動和晶體結構的拓撲演變，因此，實驗研究的方法不易確定外加磁場對凝固組織演變的作用機制。與實驗研究不同，數值模擬的方法為研究磁場下凝固組織的演化提供了新的有力工具[6-8]。采用數值模擬的方法可使磁場與凝固過程的耦合涉及更多的物理場，包括溫度場、電磁場、流場和凝固動力學。目前，相場法和有限元法常被用來模擬凝固過程中晶體生長過程。相場法可用來研究微觀尺度上的晶體生長，但該方法計算量非常大，不易實現樣品尺度上流體流動與凝固的耦合計算分析。多物理場耦合COMSOL Multiphysics有限元軟件的優勢是多物理場耦合分析，其本質是求解偏微分方程組。只要是能用偏微分方程組描述的物理過程，利用COMSOL Multiphysics軟件能夠很好地進行計算、模擬和仿真。

本文利用COMSOL Multiphysics軟件在進行模擬計算基礎上，結合合金定向凝固組織的金相分析來討論Pb-Bi合金在給定的溫度梯度下施加靜磁場時試樣尺度和枝晶尺度上熱電流、熱電磁力和熱電磁流動的大小和分布情況。同時，對Fe-Ni、Zn-Cu和Cu-Sn合金定向凝固的液相熱電磁流動也進行了模擬分析，旨在為控制這些合金的凝固組織提供參考。

1 理論模型的建立

1.1 假設條件

為了簡化分析計算，本文對凝固過程的分析采用了研究人員常用的一些假設條件，具體如下：

(1)固相無運動，液相無窮遠處無流動，處于靜止狀態；

(2)施加的磁場是恒定均勻的；

(3)液相為不可壓縮流體，忽略浮力的影響；

(4)液相無窮遠處液體流速和電流密度均為零；

(5)溫度場恒定，即溫度梯度恒定不變；

(6)固相和液相的物性參數在凝固過程中不變；

(7)考慮熱電效應中的Seebeck效應，忽略對凝固過程影響較小的Peltier效應和Thomson效應；

(8)假設試樣尺度是直徑3 mm的宏觀微凸固液界面，枝晶尺度是直徑0.1 mm的微觀胞狀枝晶界面。

1.2 基本方程

(1)連續性方程

·j=0

(1)

·u=0

(2)

2Ti=0,i=S or L

(3)

式中：j為電流；u為液相流速；T為溫度；S和L分別表示固相和液相。

(2)歐姆定律方程

在考慮熱電效應的情況下，歐姆定律的表達式可以表示為：

j=σE+σST+σu×B

(4)

式中：σ為電導率；E為外加電場的電場強度；S為熱電系數；B為磁場強度。式(4)中：等式右邊第一項是外加電場直接產生的電流；第二項是熱電效應所產生的熱電流；第三項是導電流體在流動過程中和磁場相互作用所產生的感應電流。

(3)動量方程

液相為不可壓縮流體且不考慮浮力影響的情況下，Navier-Stokes方程的表達式可以表示為：

=-p+σE×B+σST×B+σ(u×B)×B+ρμ2u

(5)

式中：ρ為密度；μ為運動粘度；p為壓力。

1.3 邊界條件及參數選擇

(1)固液界面處邊界條件

固液界面處電流密度條件為：

(6)

式中：VL和VS分別為固液界面處液相和固相的單位標量；n為摩爾質量；G為溫度梯度，界面處固相和液相的溫度梯度相等且保持恒定。

(2)無窮遠處邊界條件

無窮遠處液相中電流密度應滿足下式：

jL=0

(7)

無窮遠處溫度條件為：

T=GiZ

(8)

式中，iz為沿z方向(定向凝固的方向)的單位向量。

(3)數值模擬過程中所使用的物性參數

以Pb-Bi合金為例，利用COMSOL Multiphysics軟件在進行模擬計算，結合合金定向凝固實驗組織的金相分析來討論在給定的溫度梯度下施加靜磁場時不同合金定向凝固過程中試樣尺度和枝晶尺度上熱電流、熱電磁力和熱電磁流動的大小和分布情況。并在此基礎上，模擬計算在磁場作用下Fe-Ni、Pb-Bi、Cu-Sn和Zn-Cu四種合金系定向凝固過程中熱電磁流動的大小和分布情況。四種合金的物性參數參見表1。

表1 數值模擬過程中使用Fe-Ni、Pb-Bi、Zn-Cu和Cu-Sn合金系的物性參數

2 結果與討論

2.1 熱電流的數值模擬

圖1所示為模擬計算Pb-Bi合金定向凝固過程中試樣尺度(上圖)和枝晶尺度(下圖)上網格劃分、溫度場和熱電勢的分布圖。由圖1可見，在給定的溫度梯度的條件下，Pb-Bi合金定向凝固過程中試樣尺度和枝晶尺度上溫度場和熱電勢所確定的溫度梯度和熱電勢梯度分布比較均勻。

圖1 定向凝固Pb-Bi合金試樣尺度和枝晶尺度上網格劃分(左圖)、溫度場(中圖)和熱電勢(右圖)

圖2所示為模擬計算Pb-Bi合金定向凝固過程中試樣尺度和枝晶尺度上熱電流大小和分布的三維圖和二維圖，圖中顏色不同表示熱電流的大小不同，箭頭方向表示熱電流的方向。圖2中，圖(a)和(b)分別為合金試樣尺度上的熱電流三維圖和二維圖，圖(c)和(d)分別為合金枝晶尺度上的熱電流三維圖和二維圖。由圖2可見，凝固過程中固液界面和枝晶附近都有熱電流的“環流”形成，且在固液界面邊緣以及枝晶頂端和底端所形成的“環流”較強，遠離這些區域熱電流逐漸變弱。此外，所形成的熱電流始終分布在固液界面和枝晶附近，隨著凝固過程的進行“環流”并沒有進一步向液相和固相中的遠端擴展。

圖2 Pb-Bi合金凝固過程中試樣尺度和枝晶尺度上熱電流三維圖和二維分布圖

2.2 熱電磁力的數值模擬

圖3所示為施加1 T縱向強磁場時Pb-Bi合金定向凝固過程中試樣尺度(圖(a))和枝晶尺度(圖(b))固相上熱電磁力的大小及其分布，圖中不同顏色表示熱電磁力的大小不同，箭頭方向為熱電磁力的方向。由圖3可見，磁場作用下固液界面附近的固相和深入液相的枝晶底部都產生“環形”電磁力，即固液界面附近的固相和枝晶根部都受到一個扭轉作用的熱電磁力。該熱電磁力會在固相內形成扭矩，當熱電磁力足夠大時，將導致枝晶從根部斷裂，破壞枝晶生長。

圖3 施加1 T縱向強磁場時Pb-Bi合金試樣尺度和枝晶尺度上熱電磁力

圖4所示為不同磁場強度下Pb-Bi合金定向凝固過程中枝晶尺度固相上熱電磁力的大小及其分布的三維立體圖。由圖4可見，隨著磁場強度的增加，作用在枝晶根部的熱電磁力隨之增大。當施加的磁場強度為6 T時，枝晶根部附近所產生的熱電磁力可達105 N·m-3，這樣的力足以剪斷枝晶的根部，破壞枝晶生長。

圖4 不同磁場強度下Pb-Bi合金枝晶尺度上熱電磁力：(a)1 T；(b)2 T；(c)4 T；(d)6 T

為了驗證熱電磁力對枝晶生長的影響，分別對Pb-25 at.% Bi合金進行了施加縱向強磁場(B≤6 T)和橫向靜磁場(B<1 T)的定向凝固實驗。圖5是凝固速度為5 μm/s施加縱向強磁場和橫向靜磁場時，不同磁場強度下Pb-25 at.% Bi合金定向凝固固液界面附近凝固組織。由圖5可見，當施加2 T縱向強磁場時Pb-25 at.% Bi合金的凝固組織仍為定向凝固典型的枝晶列組織。和1 T磁場強度的凝固組織相比較，不同之處在于其特征尺度發生了變化：枝晶一次間距變小，局部區域枝晶二次間距變大。而在施加磁場強度為6 T縱向強磁場時，Pb-25 at.% Bi合金的凝固組織呈等軸晶的特點，表明枝晶在凝固過程中發生了碎斷，其原因在于外加磁場下凝固過程產生的熱電磁力比較大破壞了原來定向凝固枝晶列的正常生長。這與前述的數值模擬結果相吻合。另外，對比施加橫向磁場的凝固組織可以發現，除枝晶間距發生不明顯的變化外，凝固組織沒有明顯不同。由于前述模擬仿真只考慮了施加縱向磁場的情況，下面對施加橫向磁場的情況進行分析。

圖5 不同磁場強度下Pb-25 at.% Bi合金定向凝固的凝固組織：生長速度5 μm/s

2.3 熱電磁流動的數值模擬

圖6所示為施加0.1 T橫向靜磁場時Pb-Bi合金定向凝固過程中試樣尺度和枝晶尺度上液相中熱電磁力和熱電磁流動的大小和分布。其中，圖6(a)和圖6(d)分別是橫向靜磁場下試樣尺度和枝晶尺度上液相中的熱電磁力模擬結果。由圖6(a)和圖6(d)可見，施加橫向靜磁場導致界面和枝晶附近液相中都產生了單向的熱電磁力，該熱電磁力進一步可誘導液相形成熱電磁流動。此外，液相的熱電磁流動特點與其特征尺度有關。圖6(b)和圖6(c)所示為在試樣尺度上固液界面前沿形成兩個徑向的熱電磁流動“環流”；圖6(e)和圖6(f)所示為在枝晶尺度上圍繞著枝晶形成單個軸向熱電磁流動“環流”。可知，在施加較小橫向電磁場時，在靠近凝固界面處產生單向的熱電磁力，可誘導液相產生熱電磁流動，且液相的熱電磁流動特點與特征尺度有關。

圖6 施加0.1 T橫向靜磁場時Pb-Bi合金試樣尺度和枝晶尺度上液相中熱電磁力和熱電磁流動

為進一步分析所加橫向磁場強度的影響，考察了不同磁場強度下試樣尺度和枝晶尺度上液相中的熱電磁流動情況。圖7所示為模擬施加不同橫向磁場強度下Pb-Bi合金定向凝固過程中試樣尺度上液相中熱電磁流動的大小和分布圖。由圖7可見，在試樣尺度上，當磁場強度小于0.2 T時隨著磁場強度的增加熱電磁流動逐漸增強。當磁場強度增加到約0.2 T時，液相中的熱電磁流動達到最大值。當磁場強度高于0.2 T時，隨著施加磁場強度的增加液相中的熱電磁流動逐漸減小。此外，由圖7還可見，液相中熱電磁流動的分布范圍隨著磁場強度的增加逐漸向凝固界面收縮。

圖8所示為模擬施加不同橫向磁場強度下Pb-Bi合金定向凝固過程中枝晶尺度上液相中熱電磁流動的大小和分布。由圖8可見，在枝晶尺度上，當磁場強度小于0.5 T時，隨著磁場強度的增加液相中的熱電磁流動不斷增強，當磁場強度達到0.5 T時，液相中的熱電磁流動達到最大值，此后，隨著施加磁場強度的增加液相中的熱電磁流動趨于穩定，基本保持不變。綜合圖7和圖8可知，施加不同磁場強度的橫向磁場時，對凝固過程界面處的液相熱電磁流動有顯著影響，且液相的熱電磁流動特點與特征尺度有關。

圖7 施加不同橫向磁場強度時Pb-Bi合金試樣尺度上液相的熱電磁流動

圖8 施加不同橫向磁場強度時Pb-Bi合金枝晶尺度上液相的熱電磁流動

圖9所示為模擬所得的施加橫向靜磁場的磁場強度為0～1 T時Fe-Ni、Pb-Bi、Cu-Sn和Zn-Cu四種合金定向凝固過程中液相熱電磁流動的大小隨磁場強度的變化關系曲線。圖9中圖例為3 mm和0.1 mm的曲線分別為試樣尺度和枝晶尺度上熱電磁流動隨磁場強度變化曲線。由圖9可見，四種合金特征尺度不同時，隨磁場強度的變化，外加磁場對液相的熱電磁流動的影響都不同。此外，每種合金隨外加磁場強度的增加，液相達到最大熱電磁流動所需施加的磁場強度也不同。Fe-Ni、Pb-Bi和Cu-Sn合金的試樣尺度的液相熱電磁流動呈現快速上升，達到極值后慢速下降，而Cu-Zn合金上升速度較慢，且達到極值后下降非常緩慢。和試樣尺度相比較，枝晶尺度的液相熱電磁流動隨磁場強度的變化比較平緩。Cu-Zn合金與另外三種合金不同，其枝晶尺度的液相熱電磁流動與磁場強度呈簡單的線性關系。

圖9 四種合金試樣尺度和枝晶尺度上熱電磁流動隨磁場強度變化曲線

為了驗證熱電磁流動對定向凝固組織的影響，在定向凝固裝置上對Pb-25 at.%Bi合金進行了橫向靜磁場(B<1 T)下的定向凝固實驗。圖10所示為不同磁場強度條件下凝固速度分別為1.5 μm/s(左列)、5 μm/s(中列)和10 μm/s(右列)時該合金定向凝固固液界面下方1 mm處的橫截面凝固組織。由圖10可見，未施加橫向磁場時，在不同凝固速度條件下所得的凝固組織都比較均勻。隨著凝固速度的增加，凝固試樣的組織不斷細化。而施加橫向靜磁場均可導致不同凝固速度條件下所得凝固試樣凝固組織的變化。總體上看，施加橫向磁場導致不同凝固速度條件下凝固試樣橫截面組織具有如下特點：在試樣的一側邊緣處形成相偏析，而在另一側組織發生細化。這是由于試樣在凝固過程中液相熱電磁流動作用導致其成分和溫度發生改變的結果。此外，在不同的磁場強度條件下，偏析相的分數和凝固組織細化的程度不同，這可能是由于施加的磁場的強度不同在凝固過程中導致液相的熱電磁流動程度不同所致。

圖10 不同磁場強度下和不同凝固速度調價下定向凝固Pb-25 at.% Bi合金橫截面凝固組織

3 結論

構建了靜磁場下熱電磁效應的三維模型，采用有限元數值模擬的方法研究了Pb-Bi合金靜磁場下金屬材料定向凝固過程中試樣尺度和枝晶尺度熱電磁力和熱電磁流動的大小和分布情況。模擬結果與實驗結果相吻合。在此基礎上，對Fe-Ni、Pb-Bi、Cu-Sn和Zn-Cu四種合金系定向凝固過程中熱電磁流動隨磁場的變化進行分析，所得主要結論如下：

(1)在外加磁場的作用下，金屬材料定向凝固過程中產生熱電流。試樣尺度上，熱電流產生的區域限于凝固固液界面附件；枝晶尺度上，熱電流產生的區域僅限于枝晶周圍。試樣尺度和直徑尺度所產生的熱電流在凝固過程中都沒有進一步向液相中擴展。

(2)在外加縱向磁場的作用下，隨著磁場強度的增加，凝固過程中所產生的熱電磁力逐漸增大。在施加高強度縱向強磁場所產生的熱電磁力足以剪斷枝晶干，破壞定向凝固枝晶列的生長。

(3)在外加橫向磁場時，隨著磁場強度的增加，熱電磁流動先增大后減小；對于不同合金，靜磁場對熱電磁流動的影響不同，達到最大熱電磁流動所需施加的磁場強度也不同。