義務(wù)教育階段一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架

崔志翔，楊作東

義務(wù)教育階段一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架

崔志翔1，楊作東2

（1．華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062；2．南京師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210097）

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力．義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、模型思想、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析觀念6個(gè)成分，針對(duì)這6個(gè)核心素養(yǎng)成分可以建立知識(shí)學(xué)習(xí)與技能掌握、數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)表達(dá)、問(wèn)題解決與實(shí)踐能力、數(shù)學(xué)情感4個(gè)評(píng)價(jià)維度．

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；義務(wù)教育；核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)

1 義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

1.1 核心素養(yǎng)的概念

作為數(shù)學(xué)課程深化改革的新導(dǎo)向，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和教材編制等層面的研究一直是數(shù)學(xué)教育研究的重點(diǎn)問(wèn)題之一[1]．高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下稱(chēng)《高中課標(biāo)》）頒布后，許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何推廣到義務(wù)教育階段進(jìn)行了探索性研究．李星云在PISA對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定基礎(chǔ)上，提出以數(shù)學(xué)交流為統(tǒng)領(lǐng)性的6個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]；馬云鵬指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下稱(chēng)《義務(wù)教育課標(biāo)》）中“四基”之?dāng)?shù)學(xué)基本思想在學(xué)習(xí)等領(lǐng)域內(nèi)容中的具體表現(xiàn)，并具有綜合性、階段性和持久性的特征[3]；周淑紅將小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分為應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力、幾何直觀4個(gè)成分，并建立了小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成和內(nèi)容與表征模型[4]；熊麗給出了以“數(shù)學(xué)抽象”等6個(gè)成分為評(píng)價(jià)指標(biāo)的數(shù)學(xué)第二學(xué)段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，并將6個(gè)成分的具體內(nèi)容劃分作為了評(píng)價(jià)框架的二級(jí)指標(biāo)[5]．縱觀學(xué)者們對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的探索性研究可以發(fā)現(xiàn)：不同學(xué)者對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分劃分不盡相同；針對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)維度有不同觀點(diǎn)；義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架研究欠缺．

1.2 義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分

義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的確定是建立義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架的首要任務(wù)．而不同學(xué)者對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分劃分的不盡相同，根源在于成分汲取的來(lái)源不同．近年來(lái)，將《高中課標(biāo)》中對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個(gè)成分的劃分經(jīng)過(guò)一定的修改后將其作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的做法，已成為一種趨勢(shì)．其中，無(wú)論是曹培英基于教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)提出了抽象、模型、推理、運(yùn)算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)分析觀念6個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分[6]，還是熊麗利用專(zhuān)家咨詢法析出的數(shù)學(xué)抽象、推理能力、模型思想、運(yùn)算能力、空間觀念和數(shù)據(jù)分析觀念的6個(gè)核心素養(yǎng)成分[5]，這些核心素養(yǎng)成分的劃分都能夠與《高中課標(biāo)》中對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個(gè)成分做到一一對(duì)應(yīng)．然而，這種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的劃分方式是否能夠真正既準(zhǔn)確又全面地應(yīng)用于義務(wù)教育的各個(gè)學(xué)段，仍然存在許多問(wèn)題．（1）將《高中課標(biāo)》中對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個(gè)成分的劃分直接移植成為、或經(jīng)過(guò)一定修改后將其作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的做法是否合理，其是否能夠滿足對(duì)義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要求？（2）如若問(wèn)題1的做法存在不合理情況，那么對(duì)于義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的確定，是應(yīng)當(dāng)在此基礎(chǔ)上加入其它核心素養(yǎng)成分進(jìn)行補(bǔ)充，還是對(duì)部分核心素養(yǎng)成分進(jìn)行修改和替換，或者完全摒棄高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分劃分的影響，提出新的義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的劃分依據(jù)呢？

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)核心能力，核心素養(yǎng)培養(yǎng)的本質(zhì)是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力的要求[7]．在此基礎(chǔ)上，想要解決上述問(wèn)題，除了從其它關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的研究中尋找答案外，追本溯源地從以往的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容中進(jìn)行核心素養(yǎng)成分的探索，也許能夠給出更好的參考答案．事實(shí)上，與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》相比，《義務(wù)教育課標(biāo)》增加了在課程內(nèi)容中應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生數(shù)感、數(shù)據(jù)分析觀念等能力與意識(shí)培養(yǎng)的內(nèi)容，這對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的劃分提供了重要的參考依據(jù)．基于這種研究視角，可將《高中課標(biāo)》與《義務(wù)教育課標(biāo)》為研究基礎(chǔ)，定義出新的義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分．

表1 《高中課標(biāo)》核心素養(yǎng)與《義務(wù)教育課標(biāo)》核心概念

通過(guò)對(duì)《高中課標(biāo)》中的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分與《義務(wù)教育課標(biāo)》中提出的10個(gè)核心概念進(jìn)行對(duì)比分析可以看出，要將《高中課標(biāo)》中對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個(gè)成分的劃分經(jīng)過(guò)一定修改后，將其作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分，則仍然需要解決另外兩個(gè)問(wèn)題．（1）《義務(wù)教育課標(biāo)》數(shù)感、符號(hào)意識(shí)等未能與《高中課標(biāo)》核心素養(yǎng)成分一一對(duì)應(yīng)的核心概念是否能夠融入到相對(duì)應(yīng)的核心素養(yǎng)成分當(dāng)中？（2）已確定的6個(gè)核心素養(yǎng)成分是否能夠做到對(duì)核心概念中的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)這些一般能力和品格的培養(yǎng)？

在《義務(wù)教育課標(biāo)》中，數(shù)感被定義為學(xué)生關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟．曹培英基于數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義以及數(shù)感在運(yùn)算中的表現(xiàn)，結(jié)合了小學(xué)階段運(yùn)算教學(xué)的課時(shí)數(shù)和應(yīng)用機(jī)會(huì)相對(duì)較大這一基本事實(shí)，將數(shù)感歸屬于運(yùn)算能力[6]．需要厘清的是，數(shù)的概念的形成要在運(yùn)算能力的形成之前產(chǎn)生，這種概念形成的本質(zhì)是基于現(xiàn)實(shí)情境的抽象思維，這就是數(shù)感與數(shù)學(xué)抽象能力息息相關(guān)而非單純歸屬于運(yùn)算能力的重要依據(jù)之一．馬云鵬認(rèn)為數(shù)感是人們主動(dòng)地、自覺(jué)地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)，數(shù)感的培養(yǎng)有利于學(xué)生有意識(shí)地將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題與數(shù)量關(guān)系建立起聯(lián)系[8]．而徐文彬?qū)?shù)感的成分劃分為“對(duì)數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識(shí)”，以及運(yùn)用這種對(duì)數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識(shí)“靈活地解決數(shù)字問(wèn)題的能力”兩個(gè)部分[9]．史寧中指出：“學(xué)生數(shù)感的發(fā)展過(guò)程包括感悟多少、用數(shù)表示多少、建立數(shù)之間的關(guān)聯(lián)、對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算、形成數(shù)系概念等過(guò)程．”[10]基于學(xué)者們對(duì)數(shù)感能力的定義與成分劃分，研究者認(rèn)為數(shù)感的內(nèi)涵包括：要求學(xué)生能夠抽象出數(shù)與數(shù)量的概念，能夠理解數(shù)量關(guān)系并具有運(yùn)算、推理和分析的能力，以及掌握運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題等多個(gè)維度．那么，對(duì)《義務(wù)教育課標(biāo)》中數(shù)感的概念進(jìn)行核心素養(yǎng)的劃分后，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際上數(shù)感涉及到對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模5個(gè)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的部分內(nèi)容．

《義務(wù)教育課標(biāo)》中符號(hào)意識(shí)主要被分為能夠理解與運(yùn)用符號(hào)與數(shù)之間的知識(shí)內(nèi)容，以及能夠使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理、表達(dá)和思考．李艷琴認(rèn)為掌握符號(hào)意識(shí)包括對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的感受、體會(huì)、認(rèn)識(shí)、理解和運(yùn)用5個(gè)過(guò)程，具體表現(xiàn)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行信息加工和處理能力的反應(yīng)[11]．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)可劃分為對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的表征、推理、運(yùn)算、感知4個(gè)維度[12]，其基礎(chǔ)是具備一定的數(shù)學(xué)符號(hào)能力，在數(shù)學(xué)對(duì)象與符號(hào)能力間建立敏感性反應(yīng)，這是在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)、操作、思考的一種傾向[13]．培養(yǎng)學(xué)生對(duì)符號(hào)意識(shí)感受、理解與運(yùn)用的本質(zhì)是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的要求，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生還需要達(dá)到能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理的高度．因此，可以發(fā)現(xiàn)符號(hào)意識(shí)是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理3個(gè)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的部分內(nèi)容．

對(duì)于應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)兩個(gè)一般能力要求的核心概念，其本質(zhì)是對(duì)學(xué)生基本能力而非數(shù)學(xué)能力的要求．不應(yīng)被劃入義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分，而是應(yīng)當(dāng)作為對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)水平劃分的依據(jù)．學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)以及創(chuàng)新意識(shí)能夠通過(guò)其對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的掌握來(lái)獲得和提高，但這并非是獲得和提高這兩項(xiàng)意識(shí)的唯一途徑．事實(shí)上，《高中課標(biāo)》在課程目標(biāo)的設(shè)置上，也要求學(xué)生通過(guò)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，獲得和提高“四基”與“四能”，并發(fā)展自身的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力等一般素養(yǎng)．

另外，《義務(wù)教育課標(biāo)》中的“數(shù)據(jù)分析觀念”與“幾何直觀”“空間觀念”3個(gè)核心內(nèi)容與《高中課標(biāo)》中“數(shù)據(jù)分析”與“直觀想象”的核心素養(yǎng)成分的對(duì)比．盡管名稱(chēng)相似，但在實(shí)際內(nèi)涵上仍有很大差別．義務(wù)教育階段對(duì)于學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力要求處于起步階段：更多的是讓學(xué)生能夠?qū)?shù)據(jù)分析有基本的了解和認(rèn)識(shí)后，掌握最基本的數(shù)據(jù)分析觀念，而非掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、處理、分析、推斷的能力與素養(yǎng)．同樣在“直觀想象”層面，也并不要求義務(wù)教育階段的學(xué)生掌握通過(guò)數(shù)形結(jié)合建立模型解決問(wèn)題的思路與能力．

從而，將《高中課標(biāo)》中的6個(gè)核心素養(yǎng)成分與《義務(wù)教育課標(biāo)》中的10個(gè)核心成分進(jìn)行補(bǔ)充和結(jié)合后，將“數(shù)學(xué)抽象”“邏輯推理”“模型思想”“直觀想象”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“數(shù)據(jù)分析觀念”作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架的核心素養(yǎng)成分使用，能夠與《義務(wù)教育課標(biāo)》中的8個(gè)數(shù)學(xué)核心概念相對(duì)應(yīng)和補(bǔ)充．需要注意的是，部分?jǐn)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的內(nèi)涵在移植的過(guò)程中已經(jīng)相應(yīng)地進(jìn)行了調(diào)整、擴(kuò)充或縮減．以義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)為例，包括的內(nèi)容已經(jīng)擴(kuò)充為從數(shù)與數(shù)量關(guān)系、數(shù)與符號(hào)關(guān)系、數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、物體與圖形關(guān)系等成分中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)并予以表征．在上述理論研究的基礎(chǔ)上，同樣可以對(duì)本節(jié)最初的兩個(gè)問(wèn)題給予回答：將《高中課標(biāo)》中對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個(gè)成分的劃分需要經(jīng)過(guò)一定修改后方可將其作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的劃分，其能夠滿足課標(biāo)對(duì)義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要求．但是，這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的深度、廣度等在義務(wù)教育階段具體已經(jīng)發(fā)生了轉(zhuǎn)變，其內(nèi)容實(shí)質(zhì)與高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個(gè)成分存在一定程度上的區(qū)別（如圖1）．

2 義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)維度

由經(jīng)濟(jì)合作發(fā)展組織OECD舉辦的PISA不但開(kāi)始關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)內(nèi)容上的學(xué)習(xí)，而且極為重視數(shù)學(xué)過(guò)程的評(píng)價(jià)．PISA將學(xué)生核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)分為內(nèi)容、過(guò)程和情境3個(gè)維度．部分學(xué)者也在此框架和基礎(chǔ)上，編制了學(xué)生核心素養(yǎng)的測(cè)試題[5]．然而PISA的核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)模型仍存在一些問(wèn)題：它過(guò)多地強(qiáng)調(diào)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，過(guò)分追求數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境化．為了解決這個(gè)問(wèn)題，喻平結(jié)合了PISA、彼格斯的SOLO模型以及布魯姆的目標(biāo)分類(lèi)法，提出了將學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)的3種形態(tài)（知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新）作為學(xué)生核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的3個(gè)維度[7]．但這種評(píng)價(jià)維度的本質(zhì)是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的要求，沒(méi)有考慮對(duì)學(xué)生品格等其它因素的發(fā)展需要．這仍然不能滿足學(xué)界對(duì)于核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)多元化的價(jià)值觀念，也不能滿足《義務(wù)教育課標(biāo)》中評(píng)價(jià)方式多樣化的要求．

除了已有的研究文獻(xiàn)外，合理的評(píng)價(jià)維度的產(chǎn)生與落地必然需要與課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行一定程度上的結(jié)合．事實(shí)上，將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)保持一致，也是數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)研究中國(guó)內(nèi)外研究者的主流做法．《義務(wù)教育課標(biāo)》將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)分為了“知識(shí)技能”“數(shù)學(xué)思考”“問(wèn)題解決”“情感態(tài)度”4個(gè)維度，盡管這4個(gè)維度是否能夠適用于義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)有待商榷，但這對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)維度的確立具有重要的參考價(jià)值．

在PISA、喻平的知識(shí)學(xué)習(xí)理論以及《義務(wù)教育課標(biāo)》中的學(xué)業(yè)水平劃分維度的基礎(chǔ)上，對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)維度劃分還要適當(dāng)?shù)乜紤]到當(dāng)今數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)問(wèn)題和內(nèi)容，在理論與實(shí)際教學(xué)相結(jié)合的情境下做到對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的多維評(píng)價(jià)．另外，問(wèn)題解決、問(wèn)題提出、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)文化等國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育研究最為關(guān)注的熱點(diǎn)詞匯[14–15]，也將成為義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)維度的參考標(biāo)準(zhǔn)之一．從而可以將義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分為4個(gè)維度：知識(shí)學(xué)習(xí)與技能掌握、數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)表達(dá)、問(wèn)題解決與實(shí)踐能力、數(shù)學(xué)文化與情感．

圖1 義務(wù)教育核心素養(yǎng)的成分及其主要內(nèi)容

2.1 知識(shí)學(xué)習(xí)與技能掌握

對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的要求是對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平評(píng)價(jià)的最基本要素．知識(shí)是指數(shù)學(xué)概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法，技能是指能夠按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、作圖或畫(huà)圖、進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理[16]．而對(duì)于“知識(shí)學(xué)習(xí)與技能掌握”維度的水平劃分，則需要重新回到布魯姆提出的知識(shí)觀上去．按照定義，“知識(shí)學(xué)習(xí)與技能掌握”維度中的“知識(shí)”一詞，指的是狹義的“知識(shí)”．而根據(jù)布魯姆在《教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué):認(rèn)知領(lǐng)域》的修訂版中的知識(shí)觀，廣義的知識(shí)包含著陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)，其中所定義的狹義的“知識(shí)”以及“技能”“思維”“算法”“策略”等概念皆在其中[17]．因此，對(duì)涉及這些概念的核心素養(yǎng)成分維度的水平劃分，也完全可以參考喻平對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的水平劃分，即將其按照知識(shí)學(xué)習(xí)的3種水平：知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新來(lái)進(jìn)行[7]．這樣，“知識(shí)學(xué)習(xí)與技能掌握”維度，就可以劃分為知識(shí)理解與技能形成、知識(shí)遷移與技能遷移、知識(shí)創(chuàng)新與技能突破．

2.2 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)表達(dá)

學(xué)科思維的形成是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的最高層次，它的本質(zhì)是學(xué)科知識(shí)的創(chuàng)新[7]．而數(shù)學(xué)表達(dá)則是基于數(shù)學(xué)思維發(fā)展的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的表述、評(píng)價(jià)、總結(jié)與拓展．對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)包括兩個(gè)概念：“使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”和“通過(guò)數(shù)學(xué)使學(xué)生學(xué)會(huì)思維”[18]，二者相輔相成．應(yīng)當(dāng)明確的是，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成即為學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程，隨著學(xué)生對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)水平的提高，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也在逐漸形成．它同樣可分為3種水平：一是數(shù)學(xué)思路的產(chǎn)生，這是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，通過(guò)思考產(chǎn)生了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感悟，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的意義、作用和思想；二是數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生，在這一階段學(xué)生理解了不同知識(shí)間的邏輯關(guān)系，建立了網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu)；三是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)生，學(xué)生開(kāi)始具備“數(shù)學(xué)專(zhuān)家型直覺(jué)”，利用數(shù)學(xué)思維方式看待和處理問(wèn)題，形成特定的世界觀和方法論[7]．因此，“數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)表達(dá)”維度可以劃分為：數(shù)學(xué)思路與簡(jiǎn)單表達(dá)、數(shù)學(xué)思想與邏輯表達(dá)、數(shù)學(xué)思維與思維表達(dá)．

2.3 問(wèn)題解決與實(shí)踐能力

問(wèn)題解決與實(shí)踐能力是側(cè)重于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用能力的考察維度，這種應(yīng)用能力代表了知識(shí)學(xué)習(xí)的可操作性．需要指出的是，實(shí)踐能力是問(wèn)題解決在現(xiàn)實(shí)情境中的表現(xiàn)，而問(wèn)題的難度差別則主要取決于問(wèn)題所處的情境．問(wèn)題情境的核心價(jià)值是其“思考性”[19]，這種對(duì)學(xué)生“思考性”的要求同樣是學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)的組成部分．因此，“問(wèn)題解決與實(shí)踐能力”維度的水平亦可分為3個(gè)階段：第一，問(wèn)題理解與實(shí)踐能力發(fā)展，在熟悉的數(shù)學(xué)情境中解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題；第二，問(wèn)題解決與實(shí)踐能力獲得，在新的或關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境中解決復(fù)雜問(wèn)題；第三，問(wèn)題與實(shí)踐能力創(chuàng)新，在綜合的數(shù)學(xué)情境中創(chuàng)新問(wèn)題．

2.4 數(shù)學(xué)情感

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)情感對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性已經(jīng)存在了大量理論與實(shí)證方面的研究[20–22]．但需解決的核心問(wèn)題是：如何定義核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)情感之間的關(guān)系．喻平認(rèn)為核心素養(yǎng)成分的本質(zhì)是能力，因此他對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架中并沒(méi)有考慮數(shù)學(xué)情感方面的因素[7]．但這種定義顯然存在問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不可能忽略對(duì)學(xué)生必備品格方面的要求．蔡金法和徐斌艷認(rèn)為數(shù)學(xué)情感應(yīng)該是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的組成成分[23]，但這種做法會(huì)使得“數(shù)學(xué)情感”的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)與其它核心素養(yǎng)成分的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)出現(xiàn)較大的差異，甚至可能要為其設(shè)置獨(dú)立的評(píng)價(jià)維度．這容易導(dǎo)致“數(shù)學(xué)情感”與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中其它成分的分離，也會(huì)使得教師在具體的教學(xué)過(guò)程中面臨極大的挑戰(zhàn)．

《高中課標(biāo)》認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀．那么對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)要求就不應(yīng)局限于能力范圍．為了滿足核心素養(yǎng)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)、情感、態(tài)度與價(jià)值觀的評(píng)價(jià)要求，首先需要了解這4個(gè)成分的本質(zhì)以及它們相互之間的關(guān)系．布魯姆將教育目標(biāo)分為認(rèn)知、情感與動(dòng)作技能3類(lèi)，他認(rèn)為學(xué)生的情感在教育中存在著一種逐漸形成的過(guò)程，這種過(guò)程包含5個(gè)層次：接受或注意、反應(yīng)、價(jià)值評(píng)價(jià)、價(jià)值觀的組織和品格形成．這就意味著思維品質(zhì)、態(tài)度與價(jià)值觀是教育情感目標(biāo)的組成部分，他們代表的只是學(xué)生情感目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的不同程度[17]．因此完全可以單列一個(gè)情感維度去對(duì)學(xué)生基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思維品質(zhì)、情感、態(tài)度與價(jià)值觀進(jìn)行評(píng)價(jià)．事實(shí)上，在芬蘭與德國(guó)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)中，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)情感也作為評(píng)價(jià)維度而非學(xué)科素養(yǎng)成分或能力存在[24–25]．學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的情感目標(biāo)的培養(yǎng)需要教師能夠帶領(lǐng)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在價(jià)值，做到“深度教學(xué)”[26]．這種超越表層的知識(shí)符號(hào)學(xué)習(xí)的教學(xué)方式，能夠做到真正培養(yǎng)學(xué)生的能力與情感．而在這種“深度教學(xué)”當(dāng)中，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)情感目標(biāo)的生成存在兩種路徑，一是由數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分本身引出數(shù)學(xué)情感：例如學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模本身引起注意、產(chǎn)生興趣，進(jìn)而對(duì)其價(jià)值觀與品質(zhì)產(chǎn)生影響；二是由數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分相關(guān)聯(lián)的哲學(xué)、藝術(shù)、歷史、教育、思維科學(xué)、環(huán)境等數(shù)學(xué)文化作為載體，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感的生成與發(fā)展[27]：例如學(xué)生在圖形知識(shí)的學(xué)習(xí)中感受到了數(shù)學(xué)美，進(jìn)而對(duì)其產(chǎn)生好奇心，因此促進(jìn)了學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的情感發(fā)展．由于這種基于數(shù)學(xué)文化的影響是非常復(fù)雜的，因此將數(shù)學(xué)文化與情感維度的水平劃分著力于“情感”層面，即“數(shù)學(xué)情感”維度：分別為情感的接受或注意、情感反應(yīng)、情感的價(jià)值評(píng)價(jià)、價(jià)值觀的組織和品格的形成5個(gè)階段．

3 義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架

3.1 一個(gè)評(píng)價(jià)框架

在確定了義務(wù)教育階段的核心素養(yǎng)成分及其評(píng)價(jià)維度后，就可以直接得到義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的理論框架（如表2）．該理論框架以基本的教育學(xué)理論為說(shuō)理，具備針對(duì)性以及多元的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，能夠滿足對(duì)于義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的整體性要求；能夠?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的測(cè)量以及教師在設(shè)計(jì)針對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)過(guò)程中提供實(shí)質(zhì)性的幫助．

需要注意的是，對(duì)于不同的知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)模塊，能夠體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分都是不同的，在能夠匹配的評(píng)價(jià)維度以及相匹配各維度的對(duì)應(yīng)水平劃分上也存在差異[28–31]．這需要使用者在實(shí)際的教學(xué)以及對(duì)學(xué)生的測(cè)量當(dāng)中根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選擇和變化．

表2 義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)評(píng)價(jià)框架

3.2 具體操作示例

接下來(lái)結(jié)合義務(wù)教育第二學(xué)段中“圓的面積”章節(jié)的內(nèi)容給出更具體的實(shí)例說(shuō)明：

作為小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，“圓的面積”章節(jié)相關(guān)的核心素養(yǎng)成分相對(duì)較多，包含了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、模型思想、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算5個(gè)核心素養(yǎng)成分．下面對(duì)學(xué)生通過(guò)該知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)后，各個(gè)核心素養(yǎng)成分達(dá)到的水平進(jìn)行舉例說(shuō)明（如表3）．

需要指出的是，在使用該評(píng)價(jià)框架對(duì)學(xué)生的核心素養(yǎng)進(jìn)行具體評(píng)價(jià)時(shí)，教師作為評(píng)價(jià)者除了應(yīng)當(dāng)保證對(duì)知識(shí)點(diǎn)的各個(gè)核心素養(yǎng)成分的評(píng)價(jià)全面性、不遺漏或偏重于某些成分的測(cè)量外，還應(yīng)對(duì)學(xué)生采用多元化的評(píng)價(jià)手段來(lái)保證對(duì)其各水平維度的評(píng)價(jià)準(zhǔn)確性．例如在該章節(jié)的知識(shí)學(xué)習(xí)與技能掌握評(píng)價(jià)維度上，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)試題的編纂保持一定的開(kāi)放性，考察學(xué)生在圓的面積公式內(nèi)容創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓的面積公式采用多種方式進(jìn)行推導(dǎo)、歸納和總結(jié)．而在數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)表達(dá)評(píng)價(jià)維度層面，應(yīng)當(dāng)盡可能地創(chuàng)設(shè)多種情境對(duì)學(xué)生的思維能力和表達(dá)能力進(jìn)行考察，如應(yīng)當(dāng)將學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)學(xué)口語(yǔ)表達(dá)情況納入評(píng)價(jià)范圍．在問(wèn)題解決與實(shí)踐能力維度上，可以盡量模擬真實(shí)環(huán)境，考察學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中結(jié)合已學(xué)習(xí)的內(nèi)容尋找問(wèn)題、提出解決方案、實(shí)際解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力：如讓學(xué)生觀察生活中常見(jiàn)的各類(lèi)井蓋并測(cè)量其面積，思考為何不同類(lèi)型和用處的井蓋規(guī)格不一，探索為什么要將其設(shè)置成不同形狀的原因，以及有沒(méi)有更好的形狀和類(lèi)型可以替代現(xiàn)有井蓋的標(biāo)準(zhǔn)；再結(jié)合其在各個(gè)層面的表現(xiàn)情況進(jìn)行評(píng)價(jià)．而在數(shù)學(xué)情感維度的評(píng)價(jià)上則更需要教師等評(píng)價(jià)者對(duì)學(xué)生個(gè)體進(jìn)行長(zhǎng)期、深入的觀察與互動(dòng)，最終的評(píng)價(jià)結(jié)果也應(yīng)當(dāng)在與學(xué)生個(gè)體、學(xué)生家長(zhǎng)、學(xué)生同伴等群體進(jìn)行交流后綜合評(píng)判給出．

表3 “圓的面積”章節(jié)學(xué)生核心素養(yǎng)水平維度示例

研究者旨在對(duì)參與者的解題情緒過(guò)程進(jìn)行深入、細(xì)致、整全的解釋性詮釋?zhuān)辉诹炕饬x上進(jìn)行推廣．研究的相關(guān)發(fā)現(xiàn)和結(jié)論可為量化研究提供借鑒．若把多種情緒因素放在一起綜合分析，不難發(fā)現(xiàn)，影響個(gè)體數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的原因可能大相徑庭，個(gè)體之間存在明顯的差異，但有一點(diǎn)是共同的，即情緒因素顯著地影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決．之所以如此，其核心在于，認(rèn)知與情緒均是整體心理機(jī)制的組成部分，二者融為一體，在問(wèn)題解決中相互影響、密不可分[10]．因此，情緒、動(dòng)機(jī)、效能感等情感因素會(huì)積極參與到學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程之中，同時(shí)又扮演著認(rèn)知處理的風(fēng)向標(biāo)、阻礙物以及助推器的角色．

[1] 杜宵豐，周達(dá)，劉堅(jiān)．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程沿革：核心素養(yǎng)的視角——以問(wèn)題解決為例[J]．教育理論與實(shí)踐，2018，38（17）：10–13．

[2] 李星云．論小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)建——基于PISA2012的視角[J]．課程·教材·教法，2016，36（5）：72–78．

[3] 馬云鵬．關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問(wèn)題[J]．課程·教材·教法，2015，35（9）：36–39．

[4] 周淑紅，王玉文．小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特質(zhì)與建構(gòu)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（3）：57–61．

[5] 熊麗．小學(xué)第二學(xué)段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系構(gòu)建研究[D]．重慶：西南大學(xué)，2017：1．

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An Evaluation Framework of Mathematics Key Competencies in Compulsory Education

CUI Zhi-xiang1, YANG Zuo-dong2

(1. School of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;2.School of Teacher Education, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

The key competencies of mathematics are the correct values, essential character, and key abilities that students develop gradually through subject study. The evaluation framework of mathematics key competencies in compulsory education consists of six components: mathematical abstraction, logical reasoning, model thinking, intuitive imagination, mathematical operation, and the concept of data analysis. According to these six key competencies of mathematics, four evaluation dimensions can be established: knowledge learning and skill mastery, mathematical thinking and expression, problem solving and practical ability, and mathematical emotion.

key competencies of mathematics; compulsory education; evaluation of key competencies

G632.4

A

1004–9894（2021）05–0047–06

崔志翔，楊作東．義務(wù)教育階段一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（5）：47-52．

2021–06–14

教育部學(xué)校規(guī)劃建設(shè)發(fā)展中心重大課題——基于“博雅云課堂”的“雙螺旋交互”智慧學(xué)習(xí)模型的研究（CSDP18FS1101）

崔志翔（1995—），男，安徽滁州人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]