平面調和映射的Schwarz導數與對數導數的新定義

譚俊鍵,張琴,馮小高

(西華師范大學數學與信息學院,四川 南充 637009)

1 引言

解析函數的Schwarz導數和對數導數是研究復分析理論的重要工具,其相關理論在Teichmüller空間及擬共形延拓等方面中有著很重要的應用[1-3].文獻[4-5]通過對解析函數的Schwarz導數的研究得到了許多判定單位圓盤上局部單葉解析函數全局單葉的判定方法.隨后,文獻[6-8]對解析函數的Schwarz導數和對數導數的相關問題進行了更廣泛而深入的研究.最近文獻[9]給出了新的定義,本文重新定義了平面調和映射的Schwarz導數和對數導數.

首先,介紹一些基本概念[7,10].設f=h+在單位圓Δ內是保向調和映射,其中h和g在單位圓內解析且g(0)=0.ω=g′/h′是單位圓內的一個解析函數且 |ω|<1,稱之為f的第二伸縮商.

設φ是單位圓Δ內的局部單葉解析函數.它的對數導數Pf和Schwarz導數Sf定義為

2 對數導數的新定義

3 Schwarz導數的新定義

4 新定義的一些性質